2024年浙江省九年级中考数学三模冲刺试卷解析

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 如图是国家级非物质文化遗产衢州莹白瓷的直口杯，它的主视图是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据视图的意义，从正面看所得到的图形即可．
【详解】
解：该直口杯的主视图为
故选：D．
2 . 从2023年4月3日国新办举行第六届数字中国建设峰会新闻发布会获悉，
我国数字经济规模稳居世界第二．数字经济已成为推动我国经济增长的主要引擎之一．
截至2022年底，累计建设开通5G基站2310000个，千兆光网具备覆盖超过5亿户家庭的能力．
数据2310000可用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：．
故选：D．
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．根据中心对称图形和轴对称图形的概念逐项分析即可，轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】解：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意；
B、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意；
C、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，本选项符合题意；
D、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意．
故选：C．
4．已知一次函数y＝kx＋b，其中k从1，－2，5中随机抽取一个值，b从－2，－1，0中随机抽取一个值，则该一次函数的图象经过第二、三、四象限的概率是（ ）
A．13B．29C．16D．49
【答案】B
【分析】先根据题意画出树状图，再结合一次函数图象性质找出符合要求的情况数，然后根据概率公式进行计算即可．
【详解】解：根据题意画图如下：
共有9种情况，其中满足一次函数y＝kx＋b经过第二、三、四象限，即k＜0，b＜0的情况有2种，
则该一次函数的图象经过二、三、四象限的概率为29，故B正确．
故选：B．
5．已知a，b是一元二次方程x2-3x-m3-1=0的两个根，则a2+3b+ab的值等于（ ）
A．8B．9C．10D．与m的值有关
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，利用一元二次方程的解及根与系数的关系，找出“a2-3a=m2+1，a+b=3，ab=-m2-1”是解题的关键．利用一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2-3a=m2+1，a+b=3，ab=-m2-1，再将其代入a2+3b+ab=a2-3a+3(a+b)+ab中即可求出结论．
【详解】解：∵a，b是一元二次方程x2-3x-m2-1=0的两个根，
∴a2-3a=m2+1，a+b=3，ab=-m2-1，
∴a2+3b+ab=a2-3a+3a+3b+ab=a2-3a+3(a+b)+ab=m2+1+3×3-m2-1=9．
故选：B．
如图，圆规两脚张开的角度为α，，
则两脚张开的距离为（ ）

A． B． C．D．
【答案】C
【分析】过点O作，垂足为C，则通过等腰三角形可知，结合用三角函数值表示即可．
【详解】解：过点O作，垂足为C，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
故选C．
如图，在▱ABCD中，P是AD边上的一个点，连接PB，PC，M，N分别是PB，PC的中点．
若S四边形BMNC=6，则S▱ABCD的值是（ ）

A．12B．14C．16D．18
【答案】C
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，由三角形中位线性质可得MN∥BC，MNBC=12，进而得到△PMN∽△PBC，即可得S△PMNS△PBC=14，得到S四边形BMNC=34S△PBC，可得S△PBC=8，又由S△PBC=12S▱ABCD即可求解，由相似三角形得到S四边形BMNC=34S△PBC是解题的关键．
【详解】解：∵M，N分别是PB，PC的中点，
∴MN∥BC，MNBC=12，
∴△PMN∽△PBC，
∴S△PMNS△PBC=MNBC2=122=14，
∴S四边形BMNC=34S△PBC，
∴S△PBC=43S四边形BMNC=43×6=8，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴S△PBC=12S▱ABCD，
∴S▱ABCD=2S△PBC=2×8=16，
故选：C．
8．明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，列方程求解即可．
【详解】解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶，
根据“总共饮19瓶酒”可得：
根据“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了”，可得：
综上：，
故选：A
9 .如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，
分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点P，连接，
过点P作直线，交OB于点E，过点P作直线，交于点F．
若，，则四边形的面积是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过P作于M，再判定四边形为平行四边形，再根据勾股定理求出边和高，最后求出面积．
【详解】解：过P作于M，

由作图得：平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，，
∴，
∴，
设，
在中，，
即：，
解得：，
∴．
故选：B．
如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上(与B，C不重合)，四边形ADEF为正方形，
过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：
①AC＝FG；②S△FAB∶S四边形CBFG＝1∶2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ·AC，
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【详解】试题解析：∵四边形ADEF为正方形，
∴∠FAD=90°，AD=AF=EF，
∴∠CAD+∠FAG=90°，
∵FG⊥CA，
∴∠GAF+∠AFG=90°，
∴∠CAD=∠AFG，
在△FGA和△ACD中，
，
∴△FGA≌△ACD（AAS），
∴AC=FG，①正确；
∵BC=AC，
∴FG=BC，
∵∠ACB=90°，FG⊥CA，
∴FG∥BC，
∴四边形CBFG是矩形，
∴∠CBF=90°，S△FAB=FB•FG=S四边形CBFG，②正确；
∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，
∴∠ABC=∠ABF=45°，③正确；
∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，
∴△ACD∽△FEQ，
∴AC：AD=FE：FQ，
∴AD•FE=AD2=FQ•AC，④正确；
故选D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．若 x-1+y+9=0，则x+y的立方根是 ．
【答案】-2
【分析】此题考查非负数的性质，立方根和绝对值，解题关键在于掌握非负数的性质．根据非负数的性质，求出x，y的值，代入即可得出结果．
【详解】解：∵ x-1+y+9=0，
∴ x-1=0，y+9=0，
解得：x=1，y=-9，
∴ x+y=1+-9=-8，
∴ x+y 的立方根是-2，
故答案为：-2．
12．分解因式：2x2﹣8=
【答案】2（x+2）（x﹣2）
【分析】先提公因式，再运用平方差公式．
【详解】2x2﹣8，
=2（x2﹣4），
=2（x+2）（x﹣2）．
13．在一个不透明的袋子中装有6个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.3附近，则估计袋子中的红球有 个．
【答案】14
【分析】根据口袋中有6个白球和若干个红球，利用白球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等求出即可．
【详解】解：通过多次重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.3附近，
从袋子中任意摸出1个球，是白球的概率约为0.3，
设袋子中红球有个，
根据题意，得：，
解得，
经检验：是分式方程的解，
估计袋子中的红球有14个，
故答案为：14．
14．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的中线，若AB=3，BC=4，则BD的长为 ．
【答案】2.5
【分析】先由勾股定理求出AC的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得BD的长．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
由勾股定理得：AC=AB2+BC2=32+42=5，
∵D是AC中点，
∴BD=12AC=2.5．
故答案为：2.5．
如图，矩形中，，，以为直径的半圆O与相切于点E，连接，则阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
【答案】π
【分析】如图所示，连接交于点F，根据切线的性质证四边形为正方形，再证，即可将阴影部分面积转化为扇形的面积，最后利用扇形面积公式求解即可得出答案．
【详解】如图所示，连接交于点F，
∵以为直径的半圆O与相切于点E，
∴，，
在矩形中，
，，
∴四边形为正方形，
∴，，
，
，
，
，
阴影部分面积，
故答案为：．
16 . 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，
，以AB为边向上作正方形ABCD．若图像经过点C的反比例函数的解析式是，
则图像经过点D的反比例函数的解析式是 ．

【答案】
【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设，，结合正方形的性质，全等三角形的判定和性质，得到≌≌，然后表示出点C和点D的坐标，求出，即可求出答案．
【详解】解：过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，如图：
∵，
设，，
∴点A为（，0），点B为（0，）；
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴，
∴，
同理可证：，
∵，
∴≌≌，
∴，，
∴，
∴点C的坐标为（，），点D的坐标为（，），
∵点C在函数的函数图像上，
∴，即；
∴，
∴经过点D的反比例函数解析式为；
故答案为：
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（本题满分6分）
（1）先化简，再求值：2a-1a-1-a2-3a，其中a=1-2．
（2）解方程组：-4x+y=-32x-5y=-3
【答案】解：（1）2a-1a-1-a2-3a
=2a2-3a+1-a2+3a
=a2+1
∵a=1-2
∴原式=a2+1=1-22+1=4-22
（2） -4x+y=-3①2x-5y=-3②
由①得：y=4x-3③，
把③代入②得：2x-54x-3=-3，
解得：x=1，
把x=1代入③得y=4×1-3=1，
∴方程组的解为x=1y=1．
【分析】本题主要考查二元一次方程组的求解及二次根式的运算：
（1）先计算平方差，再进行去括号，合并同类项即可，然后把a的值代入化简以后的式子中求值即可．
（2）按照代入消元法解方程组即可．
（本题满分6分）
图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹．
(1)在图①中以AB为边画一个面积为3的等腰三角形ABC；
(2)在图②中以AB为边画一个面积为3的钝角三角形ABD；
(3)在图③中在线段CD上找一点E，画一个面积为4的△ABE．
【答案】（1）解：如图①中，△ABC即为所求；
；
（2）解：如图②中，△ABD即为所求；
（3）解：如图③中，△ABE即为所求．
．
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的定义，平移的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
（1）画一个底为2，高为3的等腰三角形即可；
（2）画一个底为2，高为3的钝角三角形即可；
（3）利用分割法作出一个面积为4的△ABF再平移AB，使点B和点F重合，平移的线段交CD于点E，△ABE即为所作．
19．（本题满分6分）
一条笔直的路上依次有三地，其中两地相距1000米．
乙两机器人分别从两地同时出发，去目的地，匀速而行．
图中分别表示甲、乙机器人离地的距离（米）与行走时间（分钟）的函数关系图象．

(1)求所在直线的表达式．
(2)出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇？
(3)甲机器人到地后，再经过1分钟乙机器人也到地，求两地间的距离．
【答案】(1)
(2)出发后甲机器人行走分钟，与乙机器人相遇
(3)两地间的距离为600米
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）利用待定系数法求出所在直线的表达式，再列方程组求出交点坐标，即可；
（3）列出方程即可解决．
【详解】（1）∵，
∴所在直线的表达式为．
（2）设所在直线的表达式为，
∵，
∴解得
∴．
甲、乙机器人相遇时，即，解得，
∴出发后甲机器人行走分钟，与乙机器人相遇．
（3）设甲机器人行走分钟时到地，地与地距离，
则乙机器人分钟后到地，地与地距离，
由，得．
∴．
答：两地间的距离为600米．
20．（本题满分8分）
中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图．
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次调查所得数据的众数是________部，中位数是________部；
（2）扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角为________度；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．
【答案】（1）1，2；（2）°；（3）见解析；（4）见解析，
【分析】（1）先根据调查的总人数，求得2部对应的人数，进而得到本次调查所得数据的众数以及中位数；
（2）根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°，即可得到“4部”所在扇形的圆心角；
（3）根据2部对应的人数，即可将条形统计图补充完整；
（4）根据列表所得的结果，可判断他们选中同一名著的概率．
【详解】解：（1）调查的总人数为：10÷25%=40，
∴2部对应的人数为40-2-14-10-8=6，
∴本次调查所得数据的众数是1部，
∵2+14+10=26＞21，2+14＜20，
∴中位数为2部．
故答案为：1，2
（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：
故答案为：72°.
（3）2部对应的人数为：40-2-14-10-8=6人
补全统计图如图所示．
（4）将《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别记作A，B，C，D，
画树状图可得：
由图可知，共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有4种，．
故答案为：．
21．（本题满分8分）
如图，点E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，BE∥DF．
(1)求证：AF=CE；
(2)若AC=8，BC=6，∠ACB=30°，求平行四边形ABCD的面积．
【答案】（1）证明：∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，
∴∠ACB=∠CAD，
又∵BE∥DF，
∴∠BEC=∠DFA，
在△BEC和△DFA中，∠BEC=∠DFA∠ECB=∠FADBC=DA，
∴△BEC≌△DFAAAS，
∴AF=CE；
（2）解：如图所示，过A点作AG⊥BC，交CB的延长线于G，

在Rt△AGC中，AC=8，∠ACG=30°，
∴AG=12AC=4，
∵BC=6，
∴平行四边形ABCD的面积=BC⋅AG=4×6=24．
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定：
（1）根据平行四边形的性质可证△BEC≌△DFAAAS，可得AF=CE；
（2）过A点作AG⊥BC，交CB的延长线于G，根据含30°角的直角三角形的性质可求出AG的长，根据平行四边形面积的计算方法即可求解．
22．（本题满分10分）
如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，
量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，
且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．
如图2，若．
(参考数值，，)
(1)求点C到直线的距离(精确到0.1cm)；
(2)求点A到直线的距离(精确到0.1cm)．
【答案】(1)点C到直线的距离约为13.8cm
(2)点A到直线的距离约为21.5cm
【分析】（1）如图2，过点C作，垂足为N，然后根据三角函数可得，即，最后将已知条件代入即可解答；
（2）如图2，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，再说明中，，，然后根据三角函数和线段的和差即可解答．
【详解】（1）解：如图2，过点C作，垂足为N
由题意可知，，
在中， ，
∴．
答：点C到直线的距离约为．
（2）解：如图2，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，
∴
在中，，，
∴，
∴．
答：点A到直线的距离约为21.5cm．
23．（本题满分10分）
如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）．
(1)若，；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围；
(2)若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值．
【答案】(1)①,；②；③
(2)
【分析】（1）①根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可；
②设根据对称性求出平移规则，再根据平移规则由C点求出B点坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过F点，下边缘抛物线，计算即可；
（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，设出D、F坐标计算即可．
【详解】（1）（1）①如图1，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设．
又∵抛物线经过点，
∴，
∴．
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
当时，，
∴，（舍去）．
∴喷出水的最大射程为．
图1
②∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
即点是由点向左平移得到，则点的坐标为．
③如图2，先看上边缘抛物线，
∵，
∴点的纵坐标为0.5．
抛物线恰好经过点时，
．
解得，
∵，
∴．
当时，随着的增大而减小，
∴当时，要使，
则．
∵当时，随的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则．
∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，
∴的最大值为．
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴的最小值为2．
综上所述，的取值范围是．
（2）的最小值为．
由题意得是上边缘抛物线的顶点，
∴设上边缘抛物线解析式为．
∵上边缘抛物线过出水口（0，h）
∴
解得
∴上边缘抛物线解析式为
∵对称轴为直线，
∴点的对称点的坐标为．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴下边缘抛物线解析式为．
当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，
∵DE=3
∴设点，，，
∵D在下边缘抛物线上，
∴
∵EF=1
∴
∴，
解得，
代入，得．
所以的最小值为．
（本题满分12分）
小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：
如图1，的直径垂直弦AB于点E，且，．

(1)复习回顾：求的长．
(2)探究拓展：如图2，连接，点G是上一动点，连接，延长交的延长线于点F．
①当点G是的中点时，求证：；
②设，，请写出y关于x的函数关系式，并说明理由；
③如图3，连接，当为等腰三角形时，请计算的长．
【答案】(1)；
(2)①见解析；②；③的长为或．
【分析】（1）先求得的直径为10，再利用垂径定理求得，在中，利用勾股定理即可求解；
（2）①连接，由点G是的中点，推出，根据等角的余角相等即可证明结论成立；
②利用勾股定理求得，利用垂径定理得到，推出，证明，利用相似三角形的性质即可求解；
③分两种情况讨论，当和时，证明，利用相似三角形的性质求解即可.
【详解】（1）解：连接，

∵的直径垂直弦AB于点E，且，，
∴，，
∴，，
在中，，
∴；
（2）解：①连接，

∵点G是的中点，
∴，
∴，
∵的直径垂直弦AB于点E，
∴，
∴，
∴；
②∵，，，
∴，

∵的直径垂直弦AB于点E，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
③当时，

在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
当时，

在中，，
在中，，
∴，
同理，
∴，即，
∴；
综上，的长为或．