2024年浙江省杭州市中考数学三模冲刺试卷解析

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），
请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（有10小题，每小题3分，共30分．）
1. 2024的相反数是（ ）
A. B. 2024C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可．
【详解】解：2024的相反数是，
故选：A．
2 . 运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，则它的左视图是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：由左视图的定义知该领奖台的左视图如下：

故选D．
3. 第十九届亚运会在杭州举行，旅游市场活力得到进一步释放． 据统计，中秋国庆假期，
浙江共接待游客43720000人次． 数据43720000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，n为整数，正确确定a的值是解题的关键．
根据科学记数法的表示方法表示即可．
【详解】解：43720000用科学记数法表示为．
故答案为：C．
2023年3月份，杭州市某周的日最低气温统计如下表，
则这七天中日最低气温的众数和中位数分别是（ ）
A．14，14B．15，14C．14，13D．14，14．5
【答案】A
【分析】根据中位数和众数的定义进行求解即可．
【详解】解：把这组气温数据从低到高排列为：12，13，14，14，15，16，17，处在最中间的数据是14，
∴中位数是14，
∵数据14出现了2次，出现的次数最多，
∴众数为14，
故选A．
5. 若点在平面直角坐标系的第二象限内，则x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是点的坐标和解一元一次不等式组，根据坐标符号特点列出不等式和正确求出每一个不等式解集是解答此题的关键．
根据第二象限内点的坐标特点列出关于的不等式组，解之可得．
【详解】解：∵点在平面直角坐标系的第二象限内，
，
解得：，
故选：C．
6 . 如图是“小孔成像”示意图，保持蜡烛与光屏平行，测得点到蜡烛、光屏的距离分别为，．
若长为，则长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的实际应用，根据题意，运用相似三角形的性质可得结论
【详解】解：如图，
∵
∴，
∴
∴，
∴
故选：D
7 .如图是一把圆规的平面示意图，是支撑臂，是旋转臂，已知，
使用时，以点为支撑点，笔芯端点可绕点旋转作出圆．若支撑臂与旋转臂的夹角，
则圆规能画出的圆的半径长度为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先作交于点，然后根据等腰三角形的性质和锐角三角函数即可表示出．
【详解】解：作交于点，
，
平分，点是的中点，
，
，
，
，
，
故选：A．
8.如图，点在上，，连接并延长，交于点，
连接，若，则的大小为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由两直线平行内错角相等、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质及三角形内角和得到、，从而确定，再由圆周角定理求解即可得到答案．
【详解】解：连接，如图所示：
，
，
，
，
在中，由三角形内角和定理得，
，
，
，
，
故选：C．
如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，
分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点，
作射线交于点．若，，则的长为（ ）

A. B. 1C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】过点作于点，勾股定理求得，根据作图可得是的角平分线，进而设，则，根据，代入数据即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，

在中，，，
∴，
根据作图可得是的角平分线，
∴
设，
∵
∴
解得：
故选：C．
由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．
连结并延长交于点，若是中点，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的运用，理解全等三角形的性质，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，勾股定理求线段的长的方法是解题的关键．
根据题意，设，则正方形的边长为，，在中，，在中，，，再根据，即可求解．
【详解】解：设，
∴根据题意得，，，
∴，
∵四边形正方形，
∴，
∵点是的中点，
∴，
在中，，
∴，整理得，，
∴，
∵四个三角形全等，且是正方形，
∴，
∴在中，，
∴，
在中，点是中点，
∴，
∴，即，
∴，
两边平方得，，
∴
令，则，
∴，
∴，
即，
∴，
故选：A ．
二、填空题（有6小题，每小题4分，共24分）
11. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查提公因式法与公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解决问题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
12 .一只不透明的袋中装有2个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同，
搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为，那么黑球的个数是 ．
【答案】6
【分析】根据概率公式建立分式方程求解即可
【详解】∵袋子中装有2个白球和n个黑球，摸出白球的概率为，
∴=，
解得n=6，
经检验n=6是原方程的根，
如图已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，
则围成的圆锥的底面积为_________

【答案】
【分析】根据弧长公式即可求出圆锥的底面周长，从而求出圆锥的底面半径，根据圆的面积公式即可求出结论．
【详解】解：圆锥的底面周长为：，
设圆锥的底面半径为r，则，
解得：r=2，
∴圆锥的底面积为
故答案为：
14. 年元旦期间，小华和家人到杭州西湖景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：
2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．
则1艘大船可以满载游客的人数为 ．

【答案】人
【分析】设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，由题意：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，
依题意得：，
解得：，
即1艘大船可以满载游客的人数为人，
故答案为：人．
15 .如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，B分别在y轴、x轴上，OA＝2，OB＝1，
斜边AC∥x轴．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AC的中点D，则k的值为 ．

【答案】5
【分析】作CE⊥x轴于E，根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，即可求得CE=OA=2，T通过证得△AOB∽△BEC，求得BE=4，进而得到D点坐标，代入y=，利用待定系数法求出k．
【详解】解：作CE⊥x轴于E，
∵AC∥x轴，OA=2，OB=1，
∴OA=CE=2，
∵∠ABO+∠CBE=90°=∠OAB+∠ABO，
∴∠OAB=∠CBE，
∵∠AOB=∠BEC，
∴△AOB∽△BEC，
∴，即，
∴BE=4，
∴OE=5，
∵点D是AB的中点，
∴D（，2）．
∵反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象经过点D，
∴k=×2=5．
故答案为：5．
如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，
延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：
①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF=．
在以上4个结论中，其中一定成立的 （把所有正确结论的序号都填在横线上）

【答案】①②④．
【详解】解：由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，
∴∠DFG=∠A=90°，
∴△ADG≌△FDG，①正确；
∵正方形边长是12，
∴BE=EC=EF=6，
设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12-x，
由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，
即：（x+6）2=62+（12-x）2，
解得：x=4
∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，②正确；
BE=EF=6，△BEF是等腰三角形，
则△GED不是等腰三角形，
△GDE与△BEF不相似， ③错误；
S△GBE=×6×8=24，S△BEF=S△GBE=×24=，④正确.
故答案为：①②④
三、解答题（本大题有8小题，共66分）
17 .（1）计算：．
（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来；
【答案】（1）2，（2）
解：（1）
．
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图所示，
∴原不等式组的解集为．
18 .“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．
我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽
（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，
在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？
（2）将两幅不完整的图补充完整；
（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数；
（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．
用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．
【答案】（1）600；（2）见解析；（3）3200；（4）
【详解】（1）60÷10%=600（人）．
答：本次参加抽样调查的居民有600人．
（2）如图，
（3）8000×40%=3200（人）．
答：该居民区有8000人，估计爱吃D粽的人有3200人．
（4）如图；
共有12种等可能的情况，其中他第二个吃到的恰好是C粽的有3种，
∴P（C粽）==．
答：他第二个吃到的恰好是C粽的概率是．
近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图1所示的护眼灯，
其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图2所示，其中灯柱BC＝18cm，灯臂CD＝33cm，
灯罩DE＝20cm，BC⊥AB，CD，DE分别可以绕点C，D上下调节一定的角度．经使用发现：
当∠DCB＝140°，且ED∥AB时，台灯光线最佳．求此时点D到桌面AB的距离．
（精确到0.1cm，参考数值：sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19）

【答案】点D到桌面AB的距离约为43.4cm
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数，即可得到DF的长，再根据FG＝CB，即可求得DG的长，从而可以解答本题．
【详解】解：过点D作DG⊥AB，垂足为G，过点C作CF⊥DG，垂足为F，如图所示，

∵CB⊥AB，FG⊥AB，CF⊥FG，
∴∠B＝∠BGF＝∠GFC＝90°，
∴四边形BCFG为矩形，
∴∠BCF＝90°，FG＝BC＝18cm，
又∵∠DCB＝140°，
∴∠DCF＝50°，
∵CD＝33cm，∠DFC＝90°，
∴DF＝CD•sin50°≈33×0.77＝25.41（cm），
∴DG≈25.41+18≈43.4（cm），
答：点D到桌面AB的距离约为43.4cm．
20．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求反比例函数的解析式和的值；
（2）根据图象直接写出不等式的的取值范围；
（3）求的面积．
【答案】（1），2；（2）或；（3）8
【分析】（1）把的坐标代入反比例函数解析式即可求得的值，然后把代入即可求得的值；
（2）根据一次函数和反比例函数的图象即可直接求解；
（3）利用待定系数法求得一次函数的解析式，设直线与轴相交于点，然后根据即可求解．
【详解】解：（1）在的图象上，
，
反比例函数的解析式是．
又∵在的图象上，
；
（2）由图像可知：当或时，；
（3），在函数的图象上，
，
解得：，
则一次函数的解析式是，
设直线与轴相交于点，则的坐标是．
∴
．
21. 第19届亚运会”于2023年9月23日至10月8日在杭州举办第19届亚运会，吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，如图，某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动，拟购买30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”）作为竞赛奖品．某商店有甲，乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵20元．
(1)若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格；
(2)在（1）的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？
【答案】(1)甲规格吉祥物每套价格为70元，乙规格每套为90元
(2)乙规格购买10套、甲规格购买20套总费用最少
【分析】
（1）根据等量关系：700元购买甲规格数量900元购买乙规格的数量，列出方程求解即可；
（2）设乙规格购买套，根据题意列出总费用与所满足的关系式为一次函数，再求出的取值范围，用一次函数的增减性可求解．
【详解】（1）解：设甲规格吉祥物每套价格元，则乙规格每套价格为元，
根据题意，得，
解得．
经检验，是所列方程的根，且符合实际意义．
．
答：甲规格吉祥物每套价格为70元，乙规格每套为90元．
（2）解：设乙规格购买套，甲规格购买套，总费用为元
根据题意，得
，
解得，
，
，
随的增大而增大．
当时，最小值．
故乙规格购买10套、甲规格购买20套总费用最少．
22 . 某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，
大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有根支架，，
相关数据如图所示，其中支架，，这个大棚用了根支架．
为增加棚内空间，农场决定将图中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，
如图所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为元/米（接口忽略不计），
需要增加经费元．
(1)分别以和所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．
①求出改造前的函数解析式．
②当米，求的长度．
(2)只考虑经费情况下，求出的最大值．
【答案】(1)①；②米
(2)米
【分析】
（1）①设改造前的函数解析式为，根据所建立的平面直角坐标系得到，，，然后代入解析式得到关于、、的方程组，求解即可；
②根据已知条件得到函数的解析式，再利用函数解析式得到、的坐标即可得到结论；
（2）根据已知条件表示出、的坐标得到的不等式，进而得到的最大值．
【详解】（1）
解：①如图，以为原点，分别以和所在的直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可知：，，，
设改造前的抛物线解析式为，
∴，
解得：，
∴改造前的抛物线的函数表达式为；

②如图，建立与（1）相同的平面直角坐标系，
由①知改造前抛物线的解析式为，
∴对称轴为直线，
设改造后抛物线解析式为：，
∵调整后与上升相同的高度，且，
∴对称轴为直线，则有，
当时，，
∴，
∴，，
∴改造后抛物线解析式为：，
当时，
改造前：，
改造后：，
∴（米），
∴的长度为米；
（2）
如（2）题图，设改造后抛物线解析式为，
∵当时，，
当时，，
∴，，
∴，
由题意可列不等式：，
解得：，
∵，
要使最大，需最小，
∴当时，的值最大，最大值为米．
23. 已知：是的外接圆，连接并延长交于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点是弧上一点，连接，于点，且，
求的值；
（3）在（2）的条件下，若，，求线段的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）1 （3）
【解析】
【分析】（1）连接，根据三角形外角定理得，
由圆心角是圆周角的一半得，再用外角定理得，
两边加上等腰的两个相等底角得，即得；
根据和的内角和，根据对顶角相等及第（1）问结论，
转化成与，，相关的角，最后得到，即得；
过作于，连接，如图所示，根据（1）（2）中结论，
由垂径定理及等腰直角三角形判定与性质确定，设，则，
由三角形相似的判定与性质，根据相似比列方程求解得到的值，在中，
由勾股定理求解即可得到答案．
【小问1详解】
证明：连接，如图所示：
，，
，即，
，
，
，而，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：设与交于点，如图所示：
，且，
，
，
，
，
由（1）知，
，
，
，即，
，即，
，
；
【小问3详解】
解：过作于，连接，如图所示：
由（1）知，由（2）知，
，
，
是等腰直角三角形，即，
设，则，
，，
，
，即，解得，
在等腰中，，
，
在中，由勾股定理可得．
24．【基础巩固】
（1）如图①，在四边形中，对角线平分，，求证：．
【尝试应用】
如图②，在四边形中，，，对角线平分，
若的面积为6，求对角线的长．
【拓展提高】
如图③，在中，，，，D是上一点，连结，
点E，P分别在，上，连结，，，若，，，
求的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）根据两组对角相等证明，利用相似三角形对应边成比例即可证明；
（2）利用三角形内角和定理，通过导角证明，同（1）推出，利用的面积求出，即可求解；
（3）过点E作于点H，于点N，作交的延长线于点M，通过证明，，求出和，进而求出，再证求出，最后证明，即可求出的值．
【详解】解：（1）证明：平分，
，
又，
，
，
；
（2），平分，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图，过点E作于点H，于点N，作交的延长线于点M，
，，
，，
在中，，，
，
，
；
，
，
又，
，
，即，
，
同理，可证，
，即，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
；
，
，
，
，
，即，
又，即，
，
，
；
，
，，
，
．
日期
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