2023-2024学年北京市贸大附中高二（下）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年北京市贸大附中高二（下）期中数学试卷，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．曲线y＝ex+2x在点（0，1）处的切线方程为（ ）
A．y＝x+1B．y＝x﹣1C．y＝3x+1D．y＝﹣x+1
2．盒中装有10个乒乓球，其中6个新球，4个旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次取出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．若奇函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是减函数，且最小值是1，则它在[2，6]上是（ ）
A．增函数且最小值是﹣1B．增函数且最大值是﹣1
C．减函数且最大值是﹣1D．减函数且最小值是﹣1
4．若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数，则这样的三位数一共有（ ）
A．20个B．48个C．52个D．120个
5．的展开式中，x2的系数为（ ）
A．﹣5B．5C．﹣10D．10
6．函数f（x）＝的定义域为（ ）
A．[1，10]B．[1，2）∪（2，10]
C．（1，10]D．（1，2）∪（2，10]
7．设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y＝f（x）和y＝f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．“2a＞2b”是“lg2a＞lg2b”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
9．若函数f（x）＝x3﹣ax2+x在区间（0，1）内为增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．[2，+∞）B．（0，2）C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，2]
10．已知函数f（x）＝﹣（x﹣）（x﹣）（其中x∈（0，+∞）），g（x）＝lnx和函数h（x）＝，若方程h（x）＝kx有四个不同的解，则实数k的取值范围是（ ）
A．（0，）B．（0，）C．（，）D．（，）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．二项式的展开式中的常数项为 ．
12．袋中有大小相同、质量相等的3个白球和2个黑球，若每次抽取1个球，有放回地连续抽取3次，则恰有1次取到黑球的概率为 ；取到黑球的个数X的数学期望 ．
13．已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤2）＝0.4，则P（ξ＞2）＝ ．
14．已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1恰有两个零点，则实数a的取值范围是 ．
15．已知函数关于函数f（x）的性质，有以下四个推断：
①f（x）的定义域是（﹣∞，+∞）；②f（x）的值域是；
③f（x）是奇函数； ④f（x）是区间（0，2）上的增函数．
其中推断正确的题号是 ．
三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
16．（13分）设R为全集，集合A＝{x|a+1≤x≤2a+1}，B＝{y|y＝x2+2x﹣2，0≤x≤2}．
（1）若a＝3，求A∩B，（∁RA）∩B；
（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．
17．（15分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+5（其中常数a，b∈R），f′（1）＝3，x＝﹣2是函数f（x）的一个极值点．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最大值和最小值．
18．（15分）某商场举行有奖促销活动，凡10月13日当天消费每超过400元（含400元），均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球（其中红球有3个，白球有3个），抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案．
方案一：从抽奖箱中，一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则打6折；若摸出1个红球，则打8折；若没摸出红球，则不打折．
方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取1个球，连摸2次，每摸到1次红球，立减100元．
（1）若小方、小红均分别消费了400元，且均选择抽奖方案一，试求他们其中有一人享受6折优惠的概率．
（2）若小勇消费恰好满600元，试比较说明小勇选择哪种方案更划算．
19．（15分）某区为检测各校学生的体质健康状况，依照中小学生《国家学生体质健康标准》进行测试．参加测试的学生统一从学生学籍档案管理库（简称“CIMS系统”）中随机选取本次测试要求每校派出30人，其中男女学生各15人，参加八个项目的测试．八项测试的平均分为该学生的综合成绩满分为100分．测试按照分数给学生综合成绩定等级，分数在[90，100]内为“优秀”，[80，90）为“良好”，[60，80）为“及格”，[0，60）为“不及格”如表为某学校30名学生本次测试综合成绩的数据：
（I）分别求出该学校男、女生综合成绩的优秀率；
（Ⅱ）从表中综合成绩等级为“良好”的学生中随机抽取3人进行后续监控，若X表示抽取3人中的女生人数．求X的分布列及其数学期望；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当这3名学生综合成绩的方差取得最大值时请直接写出所有符合条件的3名学生的综合成绩．
20．（17分）已知函数f（x）＝1﹣，a∈R．
（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于直线y＝x，求该切线方程；
（Ⅱ）若a＝1，求证：当x＞0时，f（x）＞0；
（Ⅲ）若f（x）恰有两个零点，求a的值．
2023-2024学年北京市贸大附中高二（下）期中数学试卷
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．【答案】C
2．【答案】C
3．【答案】C
4．【答案】C
5．【答案】C
6．【答案】D
7．【答案】D
8．【答案】B
9．【答案】D
10．【答案】C
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．【答案】15．
12．【答案】
；
．
13．【答案】0.3．
14．【答案】（0，1）．
15．【答案】①②③．
三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
16．【答案】（1）（∁RA）∩B＝{x|﹣2≤x＜4}；
（2）．
17．【答案】（1）∵f′（x）=3x2+2ax+b,
∴f′（-2）=3×（-2）2+2a×（-2）+b=0，
化简得：12-4a+b=0 ①
又f′（1）=3+2a+b=3 ②
联立①②得：a=2，b=-4，
∴f（x）=x3+2x2-4x+5；
（2）∴f′（x）=3x2+4x-4=（3x-2）（x+2），
x∈[0，1]时，f′（x），f（x）的变化情况如下：
由上表可知，f（x）在[0，1]上的最大值是5，最小值是
．
18．【答案】（1）．
（2）X的分布列见解答，期望为480．小勇方案二的期望为1，小勇选择方案一更划算．
19．【答案】（Ⅰ）男生为
，女生为
。（Ⅱ）X的分布列为：
。
（Ⅲ）3名学生的综合成绩为88，87，80。
20．【答案】（Ⅰ）y＝x+1．
（Ⅱ）x＞0时，f（x）＞0．
（Ⅲ）a＝．男生
98
92
92
91
90
90
88
87
87
85
82
79
77
67
57
女生
97
99
96
93
92
91
90
87
85
81
80
77
76
76
48
54
125
6
5
95
27
2
5
7
15
X
0
1
2
3
P

5
42

10
21
5
14
1
21
4
3