2024年中考广东省数学三模冲刺训练试卷（解析版）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），
请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1 .中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果某天中午的气温是，记作，那么这天晚上的气温是零下可记作（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】此题考查负数的意义，解题的关键是运用负数来描述生活中的实例．首先审清题意，明确正数和负数所表示的意义；再根据题意作答．
【详解】解：某天中午的气温是，记作，那么这天晚上的气温是零下可记作，
故选：A．
2．如图所示的几何体的左视图是（ ）

A． B． C．D．
【答案】B
【分析】根据左视图即从左边观察得到的图形可得．
【详解】解：从左边看，可得如选项B所示的图形，
故选：B
3．在一个不透明纸箱中放有除数字不同外，其它完全相同的2张卡片，分别标有数字1、2，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之积为偶数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，两次摸出的数字之积为偶数的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果，两次摸出的数字之积为偶数的结果有3种，
∴两次摸出的数字之积为偶数的概率为，
故选：D．
4.下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选A．
5. 如图，，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此题根据平行线的性质和三角形内角和综合计算出角度即可．
【详解】如图，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C
6．我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据“现在拿30斗谷子，共换了5斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：依题意，得：．
故选：A．
已知反比例函数的图象上有点A（2，y1），B（1，y2），C（﹣3，y3），
则关于y1，y2，y3大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y1＞y3＞y2D．y3＞y1＞y2
【分析】画出函数图象，即可求解．
【解答】解：函数图象如下：
点A、B在y轴右侧且y随x的增大而增大，
故y1＞y2；
点C在y轴的左侧，函数值y为正，
故y3＞y1＞y2，
故选：D．
8．如图，矩形ABCD中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，
两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接AF，
若BF＝3，AE＝5，以下结论错误的是（ ）
A．AF＝CFB．∠FAC＝∠EACC．AB＝4D．AC＝2AB
【答案】D
【分析】根据作图过程可得，是的垂直平分线，再由矩形的性质可以证明，可得再根据勾股定理可得AB的长，即可判定得出结论．
【详解】解：A，根据作图过程可得，是的垂直平分线，
故此选项不符合题意．
B，如图，
由矩形的性质可以证明，
∵是的垂直平分线，
故此选项不符合题意．
C，
在中
故此选项不符合题意．
D，
故此选项符合题意．
故选：D．
9．如图，一段抛物线：，记为，它与轴交于点；将绕点顺时针旋转得到；…如此进行下去，得到一条连续的曲线，若点在这条曲线上，则的值为（ ）

A．4B．3C．D．
【答案】D
【分析】根据抛物线与轴的交点问题得到，图象与轴交点坐标为: ，，再利用旋转的性质图象与轴交点坐标为: ，，则抛物线:，于是可推出抛物线：，由于，则有在抛物线上，然后根据二次函数图象上点的坐标特征计算的值即可．
【详解】∵如图抛物线：，
∴图象与轴交点坐标为: ，，
∵将绕点旋转得，交轴于点，
∴抛物线:，
∴将绕点旋转得，交轴于点，
…，
如此进行下去，
∴抛物线：，
∵，
∴在抛物线上，
∴当时，，
故选：．
10．如图，已知矩形纸片，其中，现将纸片进行如下操作：
第一步，如图①将纸片对折，使与重合，折痕为，展开后如图②；
第二步，再将图②中的纸片沿对角线折叠，展开后如图③；
第三步，将图③中的纸片沿过点的直线折叠，使点落在对角线上的点处，如图④．
则的长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据折叠的性质得出，，等面积法求得，根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，

∵折叠，
∴
∴在以为圆心，为直径的圆上，
∴，
∴
∵矩形，其中，
∴
∴，
∴，
∵
∴，
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．因式分解： ．
【答案】
【分析】先提取公因式3，再利用平方差公式分解可得结果
【详解】原式=
=．
故答案为：
12．如图，用一个半径为10cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了36°，
假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了__________

【答案】2πcm
【分析】根据定滑轮的性质得到重物上升的高度即为滑轮转过的弧长，利用弧长公式计算即可．
【详解】解：根据题意得：滑轮转过的弧长
则重物上升了2πcm，
故答案为：2πcm
13．在某校班级篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得3分，负一场得1分，如果某班要在第一轮的28场比赛中至少得43分，那么这个班至少要胜 场．
【答案】8
【分析】设这个班要胜x场，则负场，根据题意列出不等式求解，考虑场次为整数即可得出．
【详解】解：设这个班要胜x场，则负场，
由题意得，，
解得：，
∵场次x为正整数，
∴．
答：这个班至少要胜8场．
故答案为：8．
14 .筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，
如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径为2.5米．
若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是 米．
【答案】1
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，连接交于点，得到，推出，
利用勾股定理算出，最后根据即可解题．
【详解】解：连接交于点，
点为运行轨道的最低点，
，
,
由题知米，米，
米，
米,
米．
故答案为：．
15．如图，正方形的顶点A，C分别在y轴和x轴上，边BC的中点F在y轴上，
若反比例函数的图象恰好经过CD的中点E，则OA的长为__________．
解：过E作轴于H，
设，，
过点B作y轴的平行线交x轴于点N，作于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，．
∵，
∴．
∵点F与点E分别是BC，CD的中点，
∴，
∴，
∴OF=CH．
∵点F是BC的中点，，
∴，，
同理，
则，，，
故，
则点，
将点E的坐标代入，
得，而，
解得：，，，
故答案为：．
三、解答题（共75分.16-20题，每题5分，21-22题，每题8分，23题，每题10分，24-25题，每题12分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（5分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴表示见解析．
【分析】分别解两个不等式，求出解集公共部分即可．
【详解】
解：由①得：，
由②得：，
不等式组的解集在数轴上表示如图：

所以，不等式组的解集是
17．（5分）如图，在中，点E，F在对角线上，，求证：．

【答案】见解析
【分析】先根据平行四边形的性质得到，,再证明，即可利用证明，即可证明．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，,
∴
∵，
∴,
∴．
18．（5分）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后再将代入计算即可解答．
【详解】解：
．
当时，
原式．
（5分）为了解九年级学生的投篮命中率，组织了九年级学生定点投篮，规定每人投篮3次．
现对九年级（1）班每名学生投中的次数进行统计，绘制成如下的两幅统计图，
根据图中提供的信息，回答下列问题．

(1)九年级（1）班的学生人数 人，扇形统计图中 %；
(2)扇形统计图中“3次”对应的圆心角的度数为 °；
(3)在投中3次的学生中，有2个男生2个女生，现要抽调两名学生参加学校投篮比赛，
请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
【答案】(1)40，55
(2)36
(3)
【分析】（1）根据投中1次的人数及所占百分数求总人数，求出投中2次的人数，
除以总人数即可求出所占的百分数；
（2）求出投中3次的人数所占比例，乘以360度即可；
（3）画树状图表示出所有等可能的情况，再从中找出抽到一男一女的情况数，利用概率公式求解．
【详解】（1）解：九年级（1）班的学生人数（人），
投中2次的人数为：（人），
扇形统计图中，
故答案为：40，55；
（2）解：扇形统计图中“3次”对应的圆心角的度数为：，
故答案为：36；
（3）解：画树状图如下：

由图可知，共有12种等可能的情况，其中恰好抽到一男一女的情况有8种，
，
即恰好抽到一男一女的概率是．
20.（5分）．如图①是一台手机支架，图②是其侧面示意图，AB、BC可分别绕点A、B转动，
测量知，．当AB，BC转动到，时，
求点C到直线AE的距离．
（精确到0．1cm，参考数据：，，）

解：如图所示：过点作垂足为
过点作垂足为
过点作垂足为

∴四边形是矩形，
在中，
在中，
即
∴点C到直线AE的距离为
21．（8分）已知：如图，是的直径，，是上两点，
过点的切线交的延长线于点，，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．

【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接，根据切线的性质，已知条件可得，进而根据平行线的性质可得，根据圆周角定理可得，等量代换即可得证；
（2）连接，根据同弧所对的圆周角相等，可得，进而根据正切值以及已知条件可得的长，勾股定理即可求得，进而即可求得圆的半径．
【详解】（1）连接，如图，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
．
（2）连接
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
即的半径为．
22．（8分）．冰墩墩，是年北京冬季奥坛会的吉祥物、将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰哲运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表：
(1)第一次小冬元购进了A，B两款玩偶共个，求两款玩偶各购进多少个．
(2)第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)购进A款玩偶个， B款玩偶个
(2)购进A款玩偶个，购进B款玩偶个时才能获得最大利润，最大利润是元
【分析】（1）设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，根据题意可以列出相应的方程，然后求解即可；
（2）设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，利润为元，根据题意可求出，再根据网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，可以得出的取值范围，最后根据一次函数的性质，即可得到如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少．
【详解】（1）设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，
由题意可得：，
解得：，
（个），
答：购进A款玩偶个，B款玩偶个；
（2）设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，利润为元，
由题意可得：．
∵，
随的增大而增大．
网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，
，
解得：，
当时，取得最大值，此时，
（个），
答：购进A款玩偶个，B款玩偶个时才能获得最大利润，最大利润是元．
（10分）如图1，直线AB与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（1，3）和B（3，n），
与x轴交于C，与y轴交于D．
（1）求反比例函数的表达式及n的值；
（2）将△OCD沿直线AB翻折，点O落在第一象限内的点E处，EC与反比例函数的图象交于点F，
①请求出点F的坐标；
②在x轴上是否存在点P，使得△DPF是以DF为斜边的直角三角形？
若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
解：（1）∵点A（1，3）在反比例函数y＝的图象上，∴k＝1×3＝3，∴反比例函数的解析式为y＝，
∵点B（3，n）在反比例函数y＝的图象上，∴3n＝3，∴n＝1；
①由（1）知，n＝1，∴B（3，1）， 设直线AB的解析式为y＝ax+b，
∵点A（1，3），B（3，1）在直线AB上，
∴，∴，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4，
令x＝0，则y＝4，∴D（0，4），∴OD＝4，
令y＝0，则﹣x+4＝0，∴x＝4，∴C（4，0），∴OC＝4，∴OC＝OD，
∵∠COD＝90°，∴∠OCD＝∠ODC＝45°，
由折叠知，∠OCD＝∠ECD＝45°，∴∠OCE＝90°，∴CE⊥x轴，
∴点F的横坐标为4，∴y＝，∴F（4，）；
②存在，理由：假设存在，设P（m，0），
由①知，F（4，），D（0，4），
∴PF2＝（m﹣4）2+（）2， PD2＝m2+42， DF2＝42+（﹣4）2，
∵△DPF是以DF为斜边的直角三角形，∴DF2＝PF2+PD2，
∴42+（﹣4）2＝（m﹣4）2+（）2+m2+42， ∴m2﹣4m+3＝0，∴m＝1或m＝3，
即在x轴上是存在点P，点P（1，0）或（3，0），使得△DPF是以DF为斜边的直角三角形．
24．（12分）如图1，公园草坪的地面O处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图2是其示意图．开始喷水后，若喷水口在O处，水线落地点为A，若喷水口上升到P处，水线落地点为B，记长度为h．
(1)已知．若喷水口在P处，，．
①求水线最高点与点B之间的水平距离；
②求水线的最大高度；
③身高的小红要从水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与O的水平距离应满足什么条件？请说明理由．
(2)在喷水口上升过程中，当时，用含h的式子表示水线的最大高度．
【答案】(1)①水线最高点与点B之间的水平距离为2米；②水线的最大高度为米；③该点与O的水平距离应小于4米
(2)水线的最大高度是米
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的性质．
（1）①根据得出抛物线对称轴为直线，即可解答；②根据抛物线对称轴为直线，得出，得出，设，把代入得求出a、b、c的值，进而得出该抛物线的解析式，即可解答；③把代入，求出函数值，结合二次函数的增减性，即可解答；
（2）设，则，则抛物线对称轴为直线，，设该抛物线解析式为． ，代入得，推出，即可解答．
【详解】（1）解：①∵，
∴抛物线对称轴为直线，
∴水线最高点与点B之间的水平距离为2米；
②∵抛物线对称轴为直线，
∴，
整理得：，
∵，，
∴，
设，
把代入得：
，
解得：，
∴该抛物线的解析式为，
∵，，
∴当时，y取最大值，
∴水线的最大高度为米；
③把代入得：，
解得：，
∵，抛物线对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
∴，
∴该点与O的水平距离应小于4米；
（2）解：设，则，
∴抛物线对称轴为直线，，
∴，
设该抛物线解析式为．
∵，
∴，
设，
把，代入得：
，
得：，
∴，
∴水线的最大高度是米．
25.（12分）（1）【问题发现】如图1所示，和均为正三角形，B、D、E三点共线．
猜想线段、之间的数量关系为______；______；
（2）【类比探究】
如图2所示，和均为等腰直角三角形，，，，B、D、E三点共线，线段、交于点F．此时，线段、之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出的度数；
（3）【拓展延伸】
如图3所示，在中，，，，为的中位线，将绕点A顺时针方向旋转，当所在直线经过点B时，请直接写出的长．
【答案】（1），60；（2），的度数为，过程见解析；（3）或．
【分析】（1）证，得，，进而判断出即可；
（2）证，得，，则，再求出，即可得出结论；
（3）分两种情况，根据相似三角形的判定与性质结合勾股定理分别求出的长即可．
【详解】解：（1）∵和均为正三角形，
∴，，，，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵点B，D，E在同一直线上，
∴，
∴，
∴，
综上所述, 线段、之间的数量关系为，，
故答案为：，60．
（2）∵和均为等腰直角三角形，，
∴，
∴，，
∵和中，，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
、之间的数量关系是，的度数为；
（3）分两种情况：
①如图4，
∵，，，
∴，
∴，
∵为的中位线，
∴，，，，
∴，，
由旋转的性质得：，
∴，
∴，，
∵，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：或（舍去），
∴；
②如图5，
同①可得，，
∴，，
∴，
∴,
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：或（舍去），
∴；
综上所述，的长为或．
A款玩偶
B款玩偶
进货价（元/个）
销售价（元/个）