2024江苏省南京市九年级中考数学三模冲刺训练试卷（解析版）

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一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
1. 2024的相反数是（ ）
A．B．2024C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了倒数，解题的关键是熟练掌握倒数的定义，“乘积为1的两个数互为倒数”．
【详解】解2024的相反数是
故选：C
2. 下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接利用幂的乘方，同底数的乘法、整式的加减、完全平方公式进行计算，进而得出答案．
【详解】解：A．，故此选项符合题意；
B．，故此选项不合题意；
C．与不是同类项不能进行合并，故此选项不合题意；
D．，故此选项不合题意．
故选：A．
3. 估计的值（ ）
A．在3到4之间B．在4到5之间C．在5到6之间D．在2到3之间
【答案】C
【分析】根据无理数的估算即可得．
【详解】，
，即，
即的值在5到6之间，
故选：C．
扬州是著名的长毛绒玩具之都．生产的长毛绒玩具深受国内外游客青睐．
今年“烟花三月”国际经贸旅游节期间，某玩具商店一个星期销售的长毛绒玩具数量如下：
则这个星期该玩具商店销售长毛绒玩具的平均数和中位数分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】B
【分析】根据平均数的定义及中位数的定义直接求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
将数据排列可得，，
∴中位数是，
平均数为：，
故选B；
5. 化简+的结果是（ ）
A．x﹣2B．C．D．
【答案】C
【分析】先把分母因式分解，再通分，然后进行计算，最后约分即可解答．
【详解】解：+
＝+
＝
＝；
故答案为C．
6 .如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，
若、分别是、上的动点，则的最小值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作N关于的对称点，连结，与交于点O，过点C作于点E，根据角平分线的性质可得，则，根据两点之间线段最短可得的最小值为，再根据垂线段最短，的最小值为C点到AB的垂线段CE的长度，最后由的面积求出，即可求解．
【详解】解：如图，作N关于的对称点，连结，与交于点O，过C作于E，
∵平分
∴在上，且
∴，
∴根据两点之间线段最短可得 的最小值为，即C点到线段某点的连线，
∴根据垂线段最短，的最小值为C点到的垂线段的长度，
∵ 的面积为 10
∴
∴
故选B．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，请把答案填写在答题卡相应位置上）
7. 函数的自变量的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】根据二次根式的意义和分式的意义即可求出答案．
【详解】解：根据二次根式的意义可知：，即，
根据分式的意义可知：，即，
且．
故答案为：且．
8. 中国国家图书馆馆藏实体资源数为43300000，这个数用科学记数法可以表示为 ．
【答案】
【分析】根据科学记数法定义处理：把一个绝对值大于1的数表示成，
其中，n等于原数整数位数减1．
【详解】解：；
故答案为：
9. 计算的结果是 ．
【答案】
【分析】先利用二次根式的性质进行化简，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：原式
；
故答案为：．
10. 若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
【答案】
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，．
【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴．
故答案为：．
如图，在平面直角坐标系中，的边的中点C，D的横坐标分别是1，4，
则点B的横坐标是_______．

【答案】6
【解析】
【分析】根据中点的性质，先求出点A的横坐标，再根据A、D求出B点横坐标．
【详解】设点A的横坐标为a，点B的横坐标是b；
点的横坐标是0，C的横坐标是1 ，C，D是的中点
得
得
点B的横坐标是6．
故答案为6．
沿圆锥一条母线将其侧面剪开并展平，得到一个扇形．
若圆锥的底面圆的半径为，母线长为，则该扇形的圆心角的度数为 °．
【答案】
【分析】根据圆锥的底面圆的半径为得到扇形的弧长，再利用弧长公式即可解答．
【详解】解：∵圆锥的底面圆的半径为，
∴圆锥的底面圆周长为：，
∴扇形的弧长，
∵圆锥的母线长为，
∴扇形的半径为，
∴设扇形的圆心角为，
∴，
∴，
故答案为．
13.若一个数大于它的倒数，结合和的图象（如图），可知的取值范围是 ．

【答案】或
【分析】先求出两函数的交点，再根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】解：联立，解得或，
由函数图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方，即此时，
∴的取值范围是或，
故答案为：或．
14 .如图，是的弦，C是的中点，交于点D．
若，则的半径为________．

【答案】5
【解析】
【分析】连接OA，由垂径定理得AD=4cm，设圆的半径为R，
根据勾股定理得到方程，求解即可
【详解】解：连接OA，
∵C是的中点，
∴
∴
设的半径为R，
∵
∴
在中，，即，
解得，
即的半径为5cm
故答案为：5
15. 如图，在中，E是线段的中点，交于点F，则 ．

【答案】
【分析】由题意易得，然后问题可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵E是线段的中点，
∴，
∴，
∴；
故答案为．
如图，将矩形ABCD对折，使点A点与D重合，点B与C重合，折痕为EF；
展开后再次折叠，使点A与点D重合于EF上的点P处，折痕分别为BM、CN，
若AB=10，BC=16，则 ．

【答案】
【分析】根据折叠的性质可求出PE=6，从而得出PF=4，设，则FN=8-x，在中，由勾股定理列出方程可求出x的值，即可得出结论．
【详解】解：由矩形ABCD的对折可知：，，
，，，
，，，
设，则
在中，
解得，
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共11小题，共88分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．

【答案】，见解析
【分析】分别求出每个不等式的解集，并将其解集表示在数轴上即可．
【详解】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得x＜3，
∴原不等式组的解集为，
∴将不等式组的解集在数轴上表示为：
18. 解方程．
【答案】
【解析】
【分析】先将方程两边同时乘以，化为整式方程后解整式方程再检验即可．
【详解】解：，
，
，
，
检验：将代入中得，，
∴是该分式方程的解．
19. 计算．
【答案】
【分析】将原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，最后约分即可得到结果．
【详解】解：原式
．
如图，的对角线，相交于点．是的中点，连接并延长交于点，
连接，．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若平分，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，
易证，根据全等三角形的性质可得，进一步即可得证；
（2）先根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形是菱形，根据菱形的性质可得，再证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，进一步即可得证．
【详解】（1）证明：在平行四边形中，，，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：，
，
平分，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
点是的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
．
为了解双减政策实施以来同学们的学习状况，青岛市某校调研了七、八年级部分学生完成作业的情况．
从七、八年级中各抽取20名学生作业完成时间数据（单位：分钟）进行整理和分析，
共分为四个时段（x表示作业完成时间，x取整数）：
A. ；B．；C．；D．，
完成作业不超过80分钟为时间管理优秀，下面给出部分信息：

七年级抽取20名学生完成作业时间为：
55，58，60，65，64，66，60，60，78，78，70，75，75，78，78，80，82，85，85，88
八年级抽取20名学生中完成作业时间在C时段的所有数据为：
72，75，74，76，75，75，78，75
七、八年级抽取学生完成作业时间统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
___，___；
(2) 若要绘制七年级作业时间情况扇形统计图，在“60分钟”对应的圆心角为___．
(3) 请补全条形统计图；
(4) 该校七年级共有学生400人，八年级共有学生300人，
估计七、八年级时间管理优秀的学生共有多少人？
【答案】(1)75，78
(2)54
(3)见解析
(4)545
【分析】（1）根据中位数、众数的意义求解即可；
（2）用乘以“60分钟”所占的百分比，即可；
（3）按给出数据计算出B时段的数据然后补全即可；
（4）分别求出求出七，八年级时间管理优秀的人数，再相加即可．
【详解】（1）解：将八年级抽取20名同学的完成作业时间按从小到大的顺序，第10，11个数均在C时段，
而C时段的所有数据为：72，75，74，76，75，75，78，75，
按从小到大排列为：72，74，75，75，75，75，76，78，
则第10，11个数均为75，所以中位数．
将七年级抽取20名同学的完成作业时间出现次数最多的是78分，因此众数是78分，即，
故答案为：75，78，
（2）解：在“60分钟”对应的圆心角为；
故答案为：54
（3）解：八年级B时间段人数为：（人），
补全频数分布直方图如下：
（4）解：七年级作业管理为优秀所占的比例为，八年级作业管理为优秀所占的比例为，
所以七、八年级作业管理为优秀的人数为（人），
答：七、八年级时间管理优秀的大约有545人．
22. 不透明的袋子中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．求两次摸出的球都是红球的概率．
（2）从袋子中随机摸出1个球，如果是红球，不放回再随机换出1个球；
如果是白球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．两次摸出的球都是白球的概率是________．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据题意画出树状图，然后由树状图得出所有等可能的结果数与两次摸出的球都是红球的结果数，再利用概率公式即可求得答案；
（2）并不是等可能事件，所以不能选用树状图法做，选用概率分步原理解题即可
【详解】解：（1）画树状图得，
∴共有9种等可能的结果数，两次摸出的球都是红球的结果数为4次，
∴两次摸出的球都是红球的概率为：；
（2）由概率分步原理解题，
第一次拿出红球的概率为：，不放回，再拿出白球的概率为
第一次拿出白球的概率为，放回后，再拿出白球的概率为
故两次摸出的球都是白球的概率是：
故答案为：
23 . 如图，学校环保社成员想要测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，
他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，
已知斜坡CD的长度为20米，DE的长为10米，请求出树AB的高度.

【答案】树AB的高度为30m.
【分析】求AB的长度，在中就必须知道一个边，而BC边同时在中，通过计算可知为直角三角形，而CD边已知，利用特殊角的三角函数值则BC可求，进而AB可求.
【详解】
∵DF∥EA
在中，
在中，
某服装店销售一款卫衣，该款卫衣每件进价为60元，规定每件售价不低于进价．经市场调查发现，
该款卫衣每月的销售量y（件）与每件售价x（元）满足一次函数关系y＝－20x＋2800．
(1)若服装店每月既想从销售该款卫衣中获利24000元，又想尽量给顾客实惠，售价应定为多少元？
(2)为维护市场秩序，物价部门规定该款卫衣的每件利润不允许超过每件进价的50%．
设该款卫衣每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元时服装店可获得最大利润？
最大利润是多少元？
【答案】(1)80
(2)售价定为90元时，服装店可获得最大利润，最大利润是30000元
【分析】（1）由总利润=每件利润×数量列出方程，解方程取符合题意的解即可；
（2）先算出x的范围，再根据总利润=每件利润×数量列出函数关系式，根据二次函数性质可得答案．
【详解】（1）解：根据题意得：
（x-60）（-20x+2800）=24000，
解得x1=120或x2=80，
∵尽量给顾客实惠，
∴x=120，不符合题意，舍去，
答：售价应定为80元；
（2）解：∵每件利润不允许超过每件进价的50%，
∴x-60≤60×50%，解得x≤90，
∴60≤x≤90，
根据题意得
W=（x-60）（-20x+2800）=-20x2+4000x-168000=-20（x-100）2+32000，
∵-20<0，
∴当x≤100时，W随x的增大而增大，
∴当x=90时，W取最大值，最大值为-20×（90-100）2+32000=30000（元），
答：售价定为90元时，服装店可获得最大利润，最大利润是30000元．
如图，在中，，D是边上一点，以为直径的与相切于点E，
连接并延长交的延长线于点F．

(1)求证：；
(2)若，求直径．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)5
【分析】(1)连接OE，由AC是圆的切线得到∠AEO=90°=∠ACB，进而得到OE∥BC，得到∠F=∠DEO；再由半径相等得到∠ODE=∠DEO，进而得到∠F=∠ODE即可证明BD=BF；
(2)连接OE，由求出EC=2，证明∠CEB=∠F进而由求出BC=4，最后根据BD=BF=BC+CF=4+1=5．
【详解】（1）证明：连接OE，如下图所示：
∵AC为圆O的切线，
∴∠AEO=90°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴OE∥BC，
∴∠F=∠DEO，
又∵OD=OE，
∴∠ODE=∠DEO，
∴∠F=∠ODE，
∴BD=BF．
（2）解：连接BE，如下图所示：
由(1)中证明过程可知：∠EDB=∠F，
∴，代入数据：，
∴EC=2，
又BD是圆O的直径，
∴∠BED=∠BEF=90°，
∴∠CEF+∠F=90°=∠CEF+∠CEB，
∴∠F=∠CEB，
∴，代入数据：，
∴BC=4，
由(1)可知：BD=BF=BC+CF=4+1=5，
∴圆O的直径为5．
26. 已知抛物线交轴于C，D两点，其中点C的坐标为，对称轴为．点A，B为坐标平面内两点，其坐标为，．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)连接，若抛物线向下平移个单位时，与线段只有一个公共点，求k的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或
【分析】（1）根据抛物线的对称轴为，求出b的值，将代入求出c的值即可得出抛物线的解析式，将抛物线化为顶点式，即可求出抛物线的顶点坐标；
（2）先求出抛物线向下平移个单位后解析式为，得出顶点坐标为，再分别求出当抛物线顶点落在上时，当抛物线经过点当抛物线经过时，k的值，即可得出结果．
【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
将代入得，
解得，
∴，
∴抛物线顶点坐标为．
（2）解：抛物线向下平移个单位后解析式为，
∴抛物线顶点坐标为，
①当抛物线顶点落在上时，，
解得，此时抛物线与只有1个交点；
②当抛物线经过点时，，
解得，
当抛物线经过时，，
解得，

根据图象可知，当抛物线经过点A时，抛物线与有2个交点，再向下平移抛物线与有1个交点，当抛物线经过点B时，抛物线与有1个交点，再向下平移抛物线与无交点，
∴时，满足题意；
综上所述，或．
在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
点D、E和F分别是斜边AB、直角边AC和直角边BC上的动点，∠EDF=90°，
(1)如图1，若四边形DECF是正方形，求这个正方形的边长．
(2)如图2，若E点正好运动到C点，并且tan∠DCF=，求BF的长．
(3)如图3，当时，求的值
【答案】(1)；
(2)1；
(3)
【分析】（1）设正方形的边长为x，则AE＝3－x，由正方形的性质，得DEBC，则AE：AC＝DE：BC，代入计算即可求解；
（2）过D点作DG⊥BC，垂足为G点，由tan∠DCF＝，得DG：CG＝1：2，设DG＝y，则CG＝2y，则BG＝4－2x，根据DGAC，得DG：AC＝BG：BC，代入即可求得x=1.2，从而求得BG＝4－2x＝1.6，再根据tan∠GDF =tan∠DCF＝，得，即可求得FG＝0.6，然后由FB＝BG－FG求解即可；
（3）过D点作DM⊥AC，垂足为M点，作DN⊥BC，垂足为N点，先由勾股定理求得AB=5，再证明Rt△DME∽Rt△DNF，得＝，由=，得=，设DM＝z，则DN＝2z，再由DMBC ，得DM：BC＝AM：AC＝AD：AB，即z：4＝（3－2z）：3 ，解得 z＝，所以：4＝AD：5 ，求得AD＝，BD＝5－＝，即可代入求解．
【详解】（1）解：∵四边形AOBC是的正方形，
∴DEBC，
∴AE：AC＝DE：BC
设正方形的边长为x，则AE＝3－x，
∴（3－x）：3＝x：4，
解得 x＝，
即这个正方形的边长为；
（2）解：过D点作DG⊥BC，垂足为G点，如图2，
∵tan∠DCF＝，
∴DG：CG＝1：2
设DG＝y，则CG＝2y，
∴BG＝4－2y，
∵DGAC，
∴DG：AC＝BG：BC，
∴y：3＝（4－2y）：4，解得 y＝1.2 ，
BG＝4－2y＝1.6，
∵∠EDF＝，
∴∠CDG＋∠GDF＝，
∵DG⊥BC，
∴∠CDG＋∠DCG＝，
∴∠GDF＝∠DCG，
∵tan∠DCF＝，
∴tan∠GDF＝，
∴，
∵DG＝1.2，
∴FG＝0.6，
∴FB＝BG－FG＝1.6－0.6 ＝1；
（3）解：过D点作DM⊥AC，垂足为M点，过D点作DN⊥BC，垂足为N点，如图3，
∵∠ACB＝，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
∵DM⊥AC，DN⊥BC，∠ACB＝，
∴∠MDN＝，
∴∠MDE＋∠EDN＝，
∵∠EDF＝，
∴∠FDN＋∠EDN＝，
∴∠MDE＝∠FDN，
∴Rt△DME∽Rt△DNF，
∴＝，
∵=，
∴=，
设DM＝z，则DN＝2z，
∵DMBC ，
∴DM：BC＝AM：AC＝AD：AB，
∴z：4＝（3－2z）：3 ，解得 z＝，
∴：4＝AD：5 ，
∴AD＝，BD＝5－＝，
∴＝．
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
玩具数量（件）
年级
平均数
中位数
众数
七年级
72
75
b
八年级
75
a
75