2024年山东省青岛市中考数学三模冲刺试卷解析

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一、选择题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分）
1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键．
【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，故符合题意；
故选：D．
2023年5月24日全球贸易投资促进峰会在北京举行，本次峰会主题为“坚定信心合作共赢，
共建开放型世界经济”，那么2023的相反数的倒数是（ ）
A．B．C．D．2023
【答案】C
【分析】本题主要考查了相反数和倒数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，据此先求出2023的相反数，再根据乘积为1的两个数互为倒数进行求解即可．
【详解】解：2023的相反数，的倒数是，
∴2023的相反数的倒数是
故选：C．
3 . 杭州奥体中心体育场又称“大莲花”，里面有80800个座位．数据80800用科学记数法表示为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可．
【详解】．
故选：B．
4. 我市今年一月连续10天的最高气温统计如下：
则最高气温（单位：）的中位数和众数分别是（ ）
A．4，3B．5，2C．5，3D．4，2
【答案】C
【分析】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，根据众数和中位数的定义就可以求解．
【详解】在这一组数据中气温是出现次数最多的，故众数是3；
把气温从小到大排列，10天中处于这组数据中间位置的两个数分别是4和6，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是；
故这组数据的中位数与众数分别是5，3．
故选：C．
如图，将线段先向左平移，使点B与原点O重合，再将所得线段绕原点旋转得到线段，
则点A的对应点的坐标是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由平移的性质得，点，再由旋转的性质得点与关于原点对称，即可得出结论．
【详解】
解：如图，

由题意可知，点，，
由平移的性质得：，点，
由旋转的性质得：点与关于原点对称，
∴，
故选：A．
6. 下面计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，同底数幂的乘法，积的乘方，单项式除以单项式，根据以上运算法则进行计算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
7. 如图，内接于，，，则劣弧BC的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质及弧长公式，解题的关键是连接辅助线求出弧所对的圆心角度数．连接，，根据圆周角定理求出圆心角，求出，根据弧长公式求解即可．
【详解】解：连接，，
，
，
，
，
劣弧BC的长为，
故选：A．
如图，正方形边长为，为等边三角形，连接，，
则的正切值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角函数等知识，解题的关键是灵活运用这些性质．过点作于点，延长交于点，根据正方形的性质和等边三角形的性质可证明，得到，推出，证明是矩形，则，在中，由勾股定理求出，进而求出，最后根据即可求解．
【详解】解：过点作于点，延长交于点，则：，
四边形是正方形，
，，
为等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
故选：B．
9 . 如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕；把纸片展平后再次折叠，
使点落在上的点处，得到折痕、与相交于点．
若直线交直线于点，，，则的长为（ ）

A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】由折叠得，垂直平分，垂直平分，则，，，所以，则，即可推导出，则，所以，由三角形的中位线定理得，，则，再证明，则，所以，由勾股定理得，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
连接，，
由折叠得，点与关于直线对称，点与点关于直线对称，
∴垂直平分，垂直平分，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
如图，二次函数图象的顶点为，
图象与轴的交点、的横坐标分别为和，与轴交于点，下面四个结论：
①；②；③；④使为等腰三角形的的值有且只有个．
其中正确的结论有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，勾股定理，等腰三角形的定义，先根据图象与轴的交点、的横坐标分别为和，确定对称轴为，由对称轴即可判断②；根据对称轴及函数图象即可判断①；当时，，可判断③；由为等腰三角形，则或或，分三种情况利用勾股定理解答即可判断④；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：由图像可知，，
图象与轴的交点、的横坐标分别为和，
对称轴为，
，即，
，故①正确；，故②正确；
由图像可得在A点右侧，∴，故③不正确；
使为等腰三角形，则或或，
当时，
在中，,，
，
即，
由抛物线与轴的交点在轴的负半轴上，
，
联立，
解得：；
同理当时，
，为直角三角形，
又的长即为，
，
由抛物线与轴的交点在轴的负半轴上，
，
联立，
解得：；
同理当时，
在中，，
在中，，
，
，此方程无解，
满足条件的只有两个，故④正确；
故选：C．
二、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每小题3分）
11 .分解因式：3a2﹣12= ．
【答案】3（a+2）（a﹣2）
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，
则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．
【详解】3a2﹣12
=3（a2﹣4）
=3（a+2）（a﹣2）．
故答案为：3（a+2）（a﹣2）．
12 .计算的结果是 ．
【答案】4
【分析】先化简二次根式，然后计算括号内的二次根式减法，再根据二次根式乘法计算法则求解即可．
【详解】解：
，
故答案为：4．
13 .已知，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查了算术平方根以及绝对值的非负性，先由非负性得出，解出的值，再代入，即可作答．
【详解】解：∵
∴
∴，
∴
故答案为：1
如图，点是反比例函数图象上的一点，垂直于轴，垂足为．的面积为6．
若点也在此函数的图象上，则 ．
【答案】
【分析】由的面积可得的值，再把代入解析式即可得到答案．
【详解】解： 的面积为6．

＞，


把代入


经检验：符合题意．
故答案为：
如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的最大扇形，
则阴影部分的面积为 ．

【答案】9
【分析】本题主要考查了扇形面积、不规则图形面积等知识点，掌握最大扇形所在弧的两个端点是圆的直径的两个端点成为解题的关键．
连接，则可得为圆形铁皮的直径，由勾股定理可求得扇形的半径，然后根据图形可知阴影部分的面积为，最后代入相关数据即可解答．
【详解】解：连接，
∵剪出的是圆心角为的最大扇形，
∴圆形铁皮的直径是,,
由勾股定理得：，
解得：，
由图形可知：．
故答案为：9．
如图，在边长为4的正方形中，点E，F分别是边的中点，
连接，点G，H分别是的中点，连接，则的长是 ．

【答案】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，全等三角形的性质与判定，先由正方形的性质得到，再证明，得到，进而利用勾股定理求出，再由是的中位线，即可得到．
【详解】解；如图所示，连接并延长交于，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵点E，F分别是边的中点，
∴，
∵H是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵G为的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：．

三、作图题（本题满分4分，用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）
17. 已知，在上方求作一点P，使，且．

【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图，线段垂直分线的性质，平行线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．先作出的垂直平分线，再过点作的等角，交的垂直平分线于点，此时，且，点即为所求．
【详解】解：如图，点即为所求．
四、解答题（本大题共9小题，共68分）
18.（1）计算：；
（2）解不等式组：，并写出它的整数解．
【答案】（1）；（2），整数解为-1，0，1
【分析】(1)根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式即可;
(2)首先分别求出两个不等式的解集，注意不等式②要改变不等号方向，再利用不等式取解集的方法，即可求出解集。
【详解】（1）解：原式
.
（2）解：解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为.
∴不等式组的整数解为-1，0，1.
中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》
是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．
某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，
就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，
根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图．
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次调查所得数据的众数是________部，中位数是________部；
（2）扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角为________度；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，
请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．
【答案】（1）1，2；（2）°；（3）见解析；（4）见解析，
【分析】（1）先根据调查的总人数，求得2部对应的人数，进而得到本次调查所得数据的众数以及中位数；
（2）根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°，即可得到“4部”所在扇形的圆心角；
（3）根据2部对应的人数，即可将条形统计图补充完整；
（4）根据列表所得的结果，可判断他们选中同一名著的概率．
【详解】解：（1）调查的总人数为：10÷25%=40，
∴2部对应的人数为40-2-14-10-8=6，
∴本次调查所得数据的众数是1部，
∵2+14+10=26＞21，2+14＜20，
∴中位数为2部．
故答案为：1，2
（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：
故答案为：72°.
（3）2部对应的人数为：40-2-14-10-8=6人
补全统计图如图所示．
（4）将《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别记作A，B，C，D，
画树状图可得：
由图可知，共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有4种，．
故答案为：．
20.如图，AB＝BC，以BC为直径作⊙O，AC交⊙O于点E，过点E作EG⊥AB于点F，交CB的延长线于点G．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）若GF＝2，GB＝4，求⊙O半径．

【答案】（1）见解析；（2）⊙O的半径为4
【解析】
【分析】（1）连接OE，根据等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论；
（2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：（1）连接OE．
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C；
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠C，
∴∠A＝∠OEC，
∴OE∥AB，
∵BA⊥GE，
∴OE⊥EG，且OE为半径；
∴EG是⊙O的切线；
（2）∵BF⊥GE，
∴∠BFG＝90°，
∵，GB＝4，
∴，
∵BF∥OE，
∴△BGF∽△OGE，
∴，
∴，
∴OE＝4，
即⊙O的半径为4．
21. 桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于墨子备城门，
是一种利用杠杆原理的取水机械．如图所示的是桔槔示意图，
是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．
当点A位于最高点时，．

求点A位于最高点时到地面的距离；
当点A从最高点逆时针旋转54.5°到达最低点A1时，求此时水桶B上升的高度．
（参考数据：）
【答案】(1)点A位于最高点时到地面的距离为米；
(2)水桶上升的高度为米．
【分析】（1）作出如图的辅助线，在中，利用正弦函数求解即可；
（2）作出如图的辅助线，在中和在中，分别利用三角函数求出和的长即可．
【详解】（1）解：过O作，过A作于G，
∵米，，
∴米，米，
∵，，
∴，
在中，（米），
点A位于最高点时到地面的距离为（米），
答：点A位于最高点时到地面的距离为米；
（2）解：过O作，过B作于C，过作于D，
∵，
∴，，
∵（米），
在中，（米），
在中，（米），
∴（米），
∴此时水桶B上升的高度为1.6米．
．
已知：在平行四边形ABCD中，对角线，交于点，为的中点，
作，交延长于点，连接，．求证：

（1）；
（2）若，则四边形是怎样的特殊四边形？请证明你的结论．
【答案】（1）见解析 （2）四边形是是菱形，证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，菱形的判定，矩形的性质于判定，平行四边形的性质与判定；
（1）根据平行线的性质证明，进而证明；
（2）根据（1）可得，进而证明四边形是平行四边形，得出，，然后证明四边形是平行四边形，根据题意可得四边形是矩形，根据矩形的性质得出，进而证明四边形是菱形．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵为的中点，
∴，
在和中，
∴；
【小问2详解】
四边形是是菱形，
证明：连接，由（1）可得
∴
∵
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
又
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形是菱形．
23. 如图，已知是一次函数的图像与反比例函数的图像的两个交点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)在坐标轴上是否存在一点，使是直角三角形？直接写出点的坐标.
【答案】(1)，
(2)
(3)、、或
【分析】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的性质，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键．
（1）先把点A的坐标代入反比例函数求得m的值，再把点B的坐标为代入反比例函数的解析式求得n，最后把A，B两点代入即可求解；
（2）利用一次函数的解析式求得点的坐标，利用即可求解；
（3）存在，在x轴和y轴上分两种情况：①若时，如图所示，利用两点间的距离公式和勾股定理即可求解；②若时，如图所示，过点作轴，垂足为点P，即可求解．
【详解】（1）解：∵点A的坐标为在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
又∵点B的坐标为也在上，
∴，
∵A的坐标为，B的坐标为都在一次函数的图象上，
∴ ，解得 ，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：∵直线与x轴交于点，
∴，
∴，
∵A的坐标为，B的坐标为，
∴；
（3）解：当点P在x轴上，
设点，则，
若时，如图所示，
∵A的坐标为，
∴点P的坐标为；
当时，如图，
∴，，
∵是直角三角形，
∴，即，
解得，
∴点的坐标为；
当点在y轴上时，
设点，则，
若时，如图所示，
∵A的坐标为，
∴点P的坐标为；
当时，如图，
∴，，
∵是直角三角形，
∴，即，
解得，
∴点的坐标为；
综上可得点P的坐标为、、或．
24.某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示：
(1)第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？
(2)受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元．
①请求出W与m的函数关系式；
②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由．
【答案】(1)2880元
(2)①；②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由见解析
【分析】（1）根据条件，购进恤衫件，购进恤衫件，列出方程组解出、值，最后求出获利数；
（2）①根据条件，可列，整理即可；
②由①可知，，一次函数随的增大而减小，当时，取最大值计算出来和第一次获利比较即可．
【详解】（1）解：设购进A种T恤衫件，购进B种T恤衫件，根据题意列出方程组为：
，
解得，
全部售完获利（元）．
（2）①设第二次购进种恤衫件，则购进种恤衫件，根据题意，即，
，
②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由如下：
由①可知，，
，一次函数随的增大而减小，
当时，取最大值，（元），
，
服装店第二次获利不能超过第一次获利．
25 .【问题发现】
如图1所示，和均为正三角形，B、D、E三点共线．
猜想线段，之间的数量关系为 ； ；
【类比探究】
如图2所示，和均为等腰直角三角形，，，，
D、E三点共线，线段、交于点F．此时，线段，之间的数量关系是什么？
请写出证明过程并求出的度数；
【拓展延伸】
如图3所示，在中，，，， 为的中位线，
将绕点A顺时针方向旋转，当所在直线经过点B时，请直接写出的长．
【答案】（1），（2），（3）或
【分析】（1）先证明，得到，，进一步求得，即可得到答案；
（2）类似于（1）的思路，先证明，得到，，在利用等腰直角三角形的性质即得答案；
（3）分当在内部和外部两种情况，均可证明，分别利用勾股定理列方程并求解，即可得到答案．
【详解】（1）和均为正三角形，
，，，，
，
即，
在和中，
，
，
，，
B、D、E三点共线，
，
，
，
综上所述，线段、之间的数量关系是，；
故答案为：，．
（2），；
和均为等腰直角三角形，
，，
，，
在和中，
，，，
， ，
又，
，
，，
，
，
，，
；
（3）的长为或．理由如下：
分两种情况：
①如图1，当在内部时，
，，，
，
，
未旋转前， 为的中位线，
，，，，
图1中，，，
，
，
，
，
，，
，
，
设 ，则，，
在中，，
解得或（舍去），
；
②如图2，当在外部时，
同①，得，
则，，
设 ，则，，
在中，，
解得或（舍去），
，
综上所述，的长为或．
26 . 如图①，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于点A、B，
与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝OC＝6．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的动点，连接OD交BC于点E，求的最大值，并求出此时点D的坐标；
（3）如图②，点P是抛物线对称轴l上一点，是否存在点P的位置，使△BCP是直角三角形？
若存在，请直接写出相应点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）△BCD面积的最大值是，此时点D的坐标为（3，）；（3）存在，点P的坐标分别为（2，8），（2，－4），（2，），（2，）
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）过点D向x轴作垂线，交BC于点E．求出直线BC的函数关系式为y=－x＋6，设点D的横坐标为m，则点E横坐标为m，得出，，从而DE＝，由三角形面积公式结合二次函数性质可得结论；
（3）设点P（1，a），然后分类讨论利用勾股定理列出关于a的方程求解．
【详解】解：（1）由题意点A、B、C的坐标分别为（－2，0）、（6，0）、（0，6）
分别代入得
解得，a＝，b＝2，c=6
∴抛物线的解析式为
（2）存在．
过点D向x轴作垂线，交BC于点E．
设直线BC的函数关系式为y=kx+n（k≠0）
代入点B（6，0）、C（0，6）得
解得k=－1，n＝6．
∴直线BC的函数关系式为y=－x＋6
设点D的横坐标为m，则点E横坐标为m
由题意，
∴DE＝
当m＝3时，
∵＜0
∴△BCD面积的最大值是，此时点D的坐标为（3，）
（3）存在，
∵
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
设P（2，a），
∵B（6，0），C（0，6），
①当∠PCB=90°时，CP2+CB2=BP2，
∴22+（a-6）2+62+62=（6-2）2+a2，
解得：a=8，
∴P1（2，8），
②当∠PBC=90°时，BP2+CB2=CP2，
∴（6-2）2+a2+62+62=22+（a-6）2，
解得：a=-4，
∴P2（2，-4），
③当∠CPB=90°时，BQP2+CP2=CB2，
∴（6-2）2+a2+22+（a-2）2=62+62，
解得：a=或a=，
∴P3（1，），P4（1，），
综上所述：点P的坐标分别为（2，8），（2，－4），（2，），（2，）．
气温（单位：）
3
4
6
7
8
天数
3
2
2
2
1
品名
A
B
进价（元/件）
45
60
售价（元/件）
66
90