押新高考第2题 平面向量-2024年高考数学押题（新高考通用）

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1．（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第3题）已知向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故选：D．
2．（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第13题）已知向量，满足，，则 ．
【答案】
【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解.
【详解】法一：因为，即，
则，整理得，
又因为，即，
则，所以.
法二：设，则，
由题意可得：，则，
整理得：，即.
故答案为：.
3．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题第3题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
4．（2022·新高考Ⅱ卷高考真题第4题）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．5D．6
【答案】C
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解：,,即,解得,
故选：C
5．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题第10题）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
故选：AC
6．（2021·新高考Ⅱ卷高考真题第15题）已知向量，，，_______．
【答案】
【分析】由已知可得，展开化简后可得结果.
【详解】由已知可得，
因此，.
故答案为：.
向量的运算
两点间的向量坐标公式：
，，终点坐标始点坐标
向量的加减法
，，
向量的数乘运算
，则：
向量的模
，则的模
相反向量
已知，则；已知
单位向量
向量的数量积
向量的夹角
向量的投影
向量的平行关系
向量的垂直关系
向量模的运算
1．（2024·江苏扬州·二模）已知单位向量的夹角为，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】A
【分析】根据平面向量数量积的定义及运算律结合已知条件直接求解即可.
【详解】因为单位向量的夹角为，
所以
，
故选：A
2．（2024·湖北·一模）若，，则（ ）
A．B．C．3D．5
【答案】B
【分析】
利用向量加法和数量积的坐标表示直接计算求解即可.
【详解】
由题意可知，
所以，
故选：B
3．（2024·湖北·二模）已知正方形的边长为2，若，则（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】B
【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算可得结果.
【详解】以点为坐标原点建立平面直角坐标系，如下图所示：

由可得为的中点，所以，
易知，可得，
所以.
故选：B
4．（2024·山东济南·一模）已知，，若，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平面向量共线的充要条件即可得解.
【详解】因为，，，
所以，解得.
故选：A.
5．（2024·山东潍坊·一模）已知平面向量，，若，则实数（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】
利用向量垂直的坐标表示，列式计算即得.
【详解】平面向量，，由，得，
所以.
故选：A
6．（2024·河北·模拟预测）平面向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.
【详解】依题意，在方向上的投影向量为.
故选：D
7．（2024·浙江·模拟预测）已知向量，向量在向量上的投影向量（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用平面向量投影向量的定义求解.
【详解】解：因为向量，
所以向量在向量上的投影向量，
故选：C
8．（2024·湖南·模拟预测）已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量在向量上的投影向量的定义求解即可.
【详解】设与的夹角为，
则在上的投影向量为.
故选：B.
9．（2024·河北沧州·模拟预测）已知向量与的夹角为，且，，则（ ）
A．B．C．4D．
【答案】A
【分析】
由题意和平面数量积的定义可得，结合计算即可求解.
【详解】由题意可得，，
所以．
故选：A
10．（2024·福建龙岩·一模）已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量坐标运算和向量数量积的坐标运算即可得，则得到其夹角.
【详解】，
因为，所以两向量垂直，则，
故选：C.
11．（2024·福建厦门·二模）在平面直角坐标系中，点在直线上.若向量，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】确定直线的方向向量，结合数量积的运算判断出为直线的法向量，结合投影向量的含义即可求得答案.
【详解】由题意设直线的方向向量为，则，
而，则，即为直线的法向量，
又O到直线的距离为，
故在上的投影向量为，

故选：C
12．（2024·湖南·模拟预测）已知与的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果.
【详解】，
故选：C．
13．（2024·浙江·模拟预测）已知向量是平面上两个不共线的单位向量，且，则（ ）
A．三点共线B．三点共线
C．三点共线D．三点共线
【答案】C
【分析】由平面向量共线定理求解即可.
【详解】对于A，因为，若三点共线，
设，则，无解，所以三点不共线，故A错误；
对于B，若三点共线，
设，则，无解，所以三点不共线，故B错误；
对于C，因为，
因为有公共点，所以三点共线，故C正确.
对于D，因为，
，设，
则，无解，所以三点不共线，故D错误；
故选：C.
14．（2024·江苏·一模）已知平面向量满足，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量的加减运算以及数量积的运算律求出，继而利用向量的夹角公式，即可求得答案.
【详解】由题意知平面向量满足，
故，所以，
所以，所以，
则，，故，
故选：B.
15．（2024·广东佛山·模拟预测）在中，，若，线段与交于点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据中线性质得出，再由平面向量线性运算即可求得结果.
【详解】如下图所示：

由可得分别为的中点，
由中线性质可得，
又，所以，
因此.
故选：B
16．（2024·湖北武汉·二模）在平面直角坐标系中为原点，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由投影向量的定义及数量积、模长的坐标表示求向量在向量上的投影向量.
【详解】由题设，
向量在向量上的投影向量为.
故选：B
17．（2024·浙江·一模）已知平面向量满足：与的夹角为，若，则（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】D
【分析】先计算平面向量的数量积，再利用，列式解得即可.
【详解】由题意，得，
由，得，即，
∴ ，解得.
故选：D
18．（2024·广东湛江·一模）已知向量，均为单位向量，，若向量与向量的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由向量的夹角和模长公式求解即可.
【详解】因为向量，均为单位向量，，
所以，，
因为，所以，
，
所以.
故选：D.
19．（2024·广东佛山·二模）已知与为两个不共线的单位向量，则（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
【答案】D
【分析】根据向量共线和向量数量积的定义，向量垂直，向量的模以及向量夹角公式判断即可.
【详解】选项A：若，则，即，
与与为两个不共线的单位向量矛盾，故选项A说法错误；
选项B：设与的夹角为，则，，
所以，故选项B 说法错误；
选项C：若，则，
所以，，即，
所以，
又，所以，故选项C说法错误；
选项D：因为，，
所以，化简得，
设与的夹角为，则，，所以，
所以，即，所以，故选项D说法正确；
故选：D
20．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平行四边形中，为线段的中点，，，，则（ ）

A．20B．22C．24D．25
【答案】B
【分析】用基底表示出目标向量，利用数量积运算可得答案.
【详解】由题意可得，，
所以
因为，，，所以，
所以.
故选：B考点
4年考题
考情分析
平面向量
2023年新高考Ⅰ卷第3题
2023年新高考Ⅱ卷第13题
2022年新高考Ⅰ卷第3题
2022年新高考Ⅱ卷第4题
2021年新高考Ⅰ卷第10题
2021年新高考Ⅱ卷第15题
2020年新高考Ⅰ卷第7题
2020年新高考Ⅱ卷第3题
高考中平面向量均是以小题的形式进行考查，难度较易或一般，纵观近几年的新高考试题，分别考查了平面向量的基本定理，平面向量的坐标运算，平面向量数量积与夹角公式，可以预测2024年新高考命题方向将继续围绕平面向量数量积运算、坐标运算等展开命题．