湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求集合的补集，再结合交集运算可得答案.
【详解】因，则，
故．
故选：D．
2. 复数满足，则等于（ ）
A. 1B. C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】先求得复数z再去求其模即得.
【详解】由，可得，
则.
故选：B
3. “”是“方程表示双曲线”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】若方程表示双曲线，则有，再根据充分条件和必要条件的定义即可判断.
【详解】因为方程表示双曲线等价于，
所以“”，是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.
【点睛】本题考查充分条件与必要条件以及双曲线的性质，属于基础题.
4. 已知函数，则
A. 0B. 1C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【详解】函数，
有，.
故选B.
5. 已知是等差数列的前项和，且满足，则（ ）
A. 65B. 55C. 45D. 35
【答案】D
【解析】
【分析】由等差数列的基本量法及前项和定义求得公差，然后计算出，再由等差数列的性质求得.
【详解】设数列的公差为，则，
．
故选：D
6. 有5名志愿者去定点帮扶3位困难老人，若要求每名志愿者都要帮扶且只帮扶一位老人，每位老人至多安排2名志愿者帮扶，则不同的安排方法共有（ ）
A. 180种B. 150种C. 90种D. 60种
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合排列组合的知识，先分组再分配，即可得到结果.
【详解】由题意得，先将5名志愿者分成3组，只有一种情况，
即种分组方法，
再将3组志愿者分配给3为位老人，则共有种安排方法.
故选：C
7. 关于函数，下列说法正确的是（ ）
①有两个极值点 ②的图象关于原点对称
③有三个零点 ④在上单调递减
A. ①④B. ②④C. ①③④D. ①②③
【答案】C
【解析】
【分析】求得，利用导数可知的单调性和极值，即可判断①④，根据极值的符号性判断零点的个数，即可判断③；取特指判断奇偶性，即可判断②.
【详解】函数的定义域为，求导得，
当或时，，当时，，
可知函数在上单调递增，在上单调递减，故④正确；
因此的极大值为，极小值为，故①正确；
而，
且当趋近于时，趋近于，当趋近于，趋近于，
因此函数有三个零点，③正确；
又因为，则函数不是奇函数，其图象关于原点不对称，②错误.
故选：C
8. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆的弦长公式可得，进而根据平行关系可得，利用椭圆定义以及勾股定理即可求解.
【详解】过作，
由于圆O截直线的弦长为，所以，
由于，所以,结合是的中点，
所以，
故，，
化简得，
所以，
故选：A
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 设，为不重合的两条直线，，为不重合的两个平面，下列命题正确的是（ ）
A. 若且，则；B. 若且，则；
C. 若且，则；D. 若且，则.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据线面的位置关系和面面的位置关系可以得出答案.
【详解】解：A：若且，则，可能相交、平行或异面，故A错误；
B：若且，根据垂直于同一平面的两直线互相平行，故B正确；
C：若且，根据面面的位置关系定义可得与可能平行也可能相交，故C错误；
D：若且，根据面面平行的判定可知垂直于同一直线的两平面互相平行，故D正确.
故选：BD
10. 已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 将函数的图象右移个单位后，得到一个奇函数
C. 是函数的一条对称轴
D. 是函数的一个对称中心
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题中所给的函数解析式，利用正弦型函数的性质，确定出函数的周期，得到A项正确，根据平移变换的原则，求得移动之后的函数解析式，确定其不是奇函数，得到B项错误；求得点对应的函数值，确定其为对称中心的坐标，能够判断C项和D项的正误.
【详解】，∴，A正确；
将的图象右移个单位后，
得函数的图像，
不满足，所以不是奇函数，B错误；
因为，所以不是函数的对称轴，而是函数对称中心的横坐标，C错误，D正确.
故选：AD.
11. 定义域为的函数，对任意，且不恒为0，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 为偶函数
C. 若，则关于中心对称
D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】根据给定的等式，利用赋值法，结合奇偶函数的定义、对称中心及周期性定义逐项判断得解.
【详解】对于A，令，有，而不恒为0，则，A错误；
对于B，由A知，令，有，
即，则函数为偶函数，B正确；
对于C，若，令，有，
则关于中心对称，C正确；
对于D，显然关于中心对称，又为偶函数，则，
即，因此，是周期为4的周期函数，
显然，，即，
所以，D错误.
故选：BC
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知平面向量，若与共线，则实数______．
【答案】2
【解析】
【分析】利用向量共线的坐标表示可得答案.
【详解】，
若与共线，则，
解得.
故答案：.
13. 的展开式中的系数为___________.（用数字作答）
【答案】7
【解析】
【分析】由二项式展开式的通项公式可得，令和，据此即可确定的系数.
【详解】的展开式中的系数为
，
由二项式展开式的通项公式可得，
令和，
则的系数为.
故答案为：7．
14. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是______．
【答案】（
【解析】
【分析】求出转化为在区间上恒成立，再构造函数，结合导数，求在区间上的最小值可得答案.
【详解】因为函数在区间上单调递增，
所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，则，
所以在上递增，又，所以．所以的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】思路点睛：求出分离常数，利用构造函数法，结合导数，求得参数的取值范围.
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 设函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2），，分别为内角，，的对边，已知，，的面积为，求的周长．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）辅助角公式化简函数解析式，整体代入法求单调递增区间；
（2）由，得，由的面积为，得，，余弦定理求出，可求的周长．
【小问1详解】
，
令，解得，
所以函数的单调增区间为．
【小问2详解】
由得．
，，
，又，则，
由余弦定理得，，
的周长为．
16. 如图，已知多面体的底面是边长为2的正方形，底面，，且．
（1）证明：平面；
（2）求四棱锥的体积；
（3）求平面与平面所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）2； （3）．
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得答案；
（2）由题意易知四边形为直角梯形，计算可得答案；
（3）以为原点，所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面、平面的一个法向量，再由向量的夹角公式计算可得答案.
【小问1详解】
底面，底面，
．
又平面，
平面；
【小问2详解】
由题意易知四边形为直角梯形，
．
；
【小问3详解】
如图，以为原点，
所在直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，则
易知平面，
平面的一个法向量，
设平面的法向量，
，
令，得，所以，
，由图可得平面与平面所成角为锐角，
故平面与平面所成角的余弦值为．
17. 2024年两会期间民生问题一直是百姓最关心的热点，某调查组利用网站从参与调查者中随机选出200人，数据显示关注此问题的约占，并将这200人按年龄分组，第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）求a，并估计参与调查者的平均年龄；
（2）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人，得到如下2×2列联表.请将列联表补充完整填入答题卡，并回答：依据小概率值的独立性检验，能否认为是否关注民生与年龄有关？
（3）将此样本频率视为总体的概率，从网站随机抽取4名青少年，记录4人中“不关注民生问题”的人数为，求随机变量时的概率和随机变量的数学期望．
附：．
【答案】（1）0.035；41.5岁
（2）表格见解析；有关
（3）；1
【解析】
【分析】（1）利用频率直方图面积和为1，即可得到，根据频率直方图计算平均数即可；
（2）根据频率分布直方图得到青少年组、中老年组人数，从而得到列联表，再零假设计算出，根据独立性检验可得答案；
（3）将频率视为概率，计算出青少年“不关注民生问题”的概率，根据每次抽取的结果是相互独立的得，可得答案
【小问1详解】
，
，
，
估计参与调查者的平均年龄为：41.5岁；
【小问2详解】
选出的200人中，各组的人数分别为：
第1组：人，第2组：人，
第3组：人，第4组：人，
第5组：人，
青少年组有人，中老年组有人，
参与调查者中关注此问题的约占有人不关心民生问题，
选出的200人中不关注民生问题的青少年有30人，
列联表如下；
零假设：假设关注民生问题与性别相互独立，
，
根据独立性检验，可以认为零假设不成立，
即能依据小概率值的独立性检验，认为是否关注民生与年龄有关；
【小问3详解】
由题意，青少年“不关注民生问题”的频率为，
将频率视为概率，每个青少年“不关注民生问题”的概率为，
因为每次抽取的结果是相互独立的，所以，
所以，
所以，．
18. 已知函数为定义在上的偶函数，且当时，
（1）①作出函数在上的图象；
②若方程恰有6个不相等的实根，求实数的取值范围；
（2）对于两个定义域相同的函数和，若，则称函数是由“基函数和”生成的．已知是由“基函数和”生成的，若，使得成立，求实数的最小值．
【答案】（1）①答案见解析；②；
（2）．
【解析】
【分析】（1）①先利用描点法作出区间上的函数图象，结合偶函数的对称性可得上的图象，②利用图象和实数根的个数可得实数的取值范围；
（2）先根据复合函数求出的最小值，利用可得答案.
【小问1详解】
①当时，．
列表：
描点连线，图象如图，因为为偶函数，所以的图象关于轴对称，所以在上的图象如图所示；
②恰有6个不相等实根，等价于与有6个交点，
由图象可知当时，有6个交点，所以实数的取值范围为；
【小问2详解】
由题意，，
因为在上为增函数，在上为增函数，所以在上为增函数，
因为在上为增函数，所以在上为增函数，
所以，
由（1）可知在上的最小值为0，
因为，使得成立，
所以，
所以，解得，所以实数的最小值为．
19. 为倡导公益环保理念，培养学生社会实践能力，某中学开展了旧物义卖活动，所得善款将用于捐赠“圆梦困境学生”计划.活动共计50多个班级参与，1000余件物品待出售.摄影社从中选取了20件物品，用于拍照宣传，这些物品中，最引人注目的当属优秀毕业生们的笔记本，已知高三1，2，3班分别有，，的同学有购买意向.假设三个班的人数比例为.
（1）现从三个班中随机抽取一位同学：
（i）求该同学有购买意向的概率；
（ii）如果该同学有购买意向，求此人来自2班的概率；
（2）对于优秀毕业生的笔记本，设计了一种有趣的“掷骰子叫价确定购买资格”的竞买方式：统一以0元为初始叫价，通过掷骰子确定新叫价，若点数大于2，则在已叫价格基础上增加1元更新叫价，若点数小于3，则在已叫价格基础上增加2元更新叫价；重复上述过程，能叫到10元，即获得以10元为价格的购买资格，未出现叫价为10元的情况则失去购买资格，并结束叫价.若甲同学已抢先选中了其中一本笔记本，试估计其获得该笔记本购买资格的概率（精确到0.01）.
【答案】（1）（i）；（ii）
（2）0.75.
【解析】
【分析】（1）设事件“该同学有购买意向”，事件“该同学来自班”.根据全概率公式即可求解，根据条件概率公式即可求解；
（2）由题意可得每次叫价增加1元的概率为，每次叫价增加2元的概率为.设叫价为元的概率为，叫价出现元的情况只有下列两种：①叫价为元，且骰子点数大于2，其概率为；②叫价为元，且骰子点数小于3，其概率为.于是得到，构造等比数列，结合累加法可求解.
小问1详解】
（i）设事件“该同学有购买意向”，事件“该同学来自班”.
由题意可知，
，
所以，由全概率公式可得：
.
（ii）由条件概率可得.
小问2详解】
由题意可得每次叫价增加1元的概率为，每次叫价增加2元的概率为.
设叫价为元的概率为，叫价出现元的情况只有下列两种：
①叫价为元，且骰子点数大于2，其概率为；
②叫价为元，且骰子点数小于3，其概率为.
于是得到，易得，
由于，
于是当时，数列是以首项为，公比为的等比数列，
故.
于是
于是，甲同学能够获得笔记本购买资格的概率约为0.75.
【点睛】关键点睛：
第二问中关键是设叫价为元的概率为，利用叫价为元是在叫价为元的基础上再叫价1元或在叫价为元的基础上再叫价2元，从而确定与的关系，再结合数列中的构造法和累加法即可求解.
关注民生问题
不关注民生问题
合计
青少年
中老年
10
合计
200
0.050
0.010
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
关注民生问题
不关注民生问题
合计
青少年
90
30
120
中老年
70
10
80
合计
160
40
200
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
4
3
2
1
0
1
2
3
4