2024年陕西省汉中市镇巴县中考一模数学试题（学生版+教师版）

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注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0．5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）．
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分． 每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 如图，数轴上表示的点A到原点的距离是（ ）
A. 4B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是数轴．根据数轴上各点到原点距离的定义进行解答即可．
【详解】解：数轴上表示的点到原点的距离是．
故选：B．
2. 如图，几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三视图，根据从正面看到的图形是主视图，即可求解．
【详解】解：几何体的主视图是
故选：A．
3. 如图是一款手推车的平面示意图，其中，点在上，交于点，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，根据平行线的性质可得，根据三角形的外角性质可得，据此即可求解，掌握平行线和三角形的外角性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：．
4. 计算：（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了积的乘方与单项式与单项式相乘等知识点，首先利用积的乘方求得的值，然后根据单项式与单项式相乘的运算法则计算即可，熟练掌握其运算法则是解决此题的关键．
【详解】
，
故选：B．
5. 如图，一次函数的图象与的图象相交于点A，则方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数和二元一次方程组的关系，先求出点的坐标，再根据方程组与函数的关系求解即可，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：设点的坐标为，
点在直线上，
，
，
点的坐标为，
一次函数的图象与的图象相交于点A，
方程组的解是，
故选：B．
6. 如图，在中，，D是的中点，连接，过点D作交于点E，若，，则的长为（ ）
A. B. 6C. 2D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质．
根据勾股定理在中求出的长，在根据直角三角形斜边上的中线的性质即可解答．
【详解】∵，，，
∴在中，，
∵在中，，D是的中点，
∴．
故选：D
7. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点,D是AB的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．
【详解】解：，
，
在中，，
设半径为得：，
解得：，
这段弯路的半径为
故选A．
【点睛】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度．
8. 已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由二次函数的性质,取得开口方向以及对称轴，进而可确定出的范围．
【详解】解：，
抛物线开口向上，对称轴为，
当时，随的增大而减小，
在时，随的增大而减小，
，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象性质，不等式的解法．能够得出关于的不等式，并正确求解不等式是解题关键．
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 计算：___________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了有理数的加减运算，负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握知识点是解题的关键．
利用负整数指数幂，零指数幂化简计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
10. 如图，正六边形边长为，点P是线段上一点，则图中阴影部分的面积为________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查正多边形的性质，矩形的性质，勾股定理，掌握正六边形的性质以及矩形的性质是正确解答的前提．根据正六边形的性质得到是边长为的正三角形，求出它们的面积，进而求出与即可．
【详解】解：如图，连接、交于点O，则点O是正六边形的中心，过点O作，
六边形是正六边形，
是边长为的正三角形，
，
正三角形的高为，
，
，
故答案为：．
11. 已知是正方形的对角线，在线段上截，连接，则的度数为__________°．
【答案】22.5
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质．
根据正方形的性质得到，由可得，从而即可解答．
【详解】解：如图，
∵四边形是正方形，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：22.5
12. 已知反比例函数的图象在第一、三象限，若点，均在该反比例函数的图象上，，则________．（填，或）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数性质，根据题意得，再根据反比例函数的增减性即可求解，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键．
【详解】解：，
，
反比例函数的图象在第一、三象限，
∴y随x的增大而减小
，
故答案为：．
13. 如图，在矩形中，，点是的中点，连接，点是上的点，过点作交于点，点关于的对称点为点，连接、，分别交于点，若，则四边形的面积为____________．

【答案】
【解析】
【分析】连接，分别交于点，通过全等三角形证明出四边形是菱形，再根据菱形的面积公式即可求．
【详解】连接，分别交于点，

四边形是矩形，点是的中点，
点与点关于对称
四边形为矩形
同理可得：四边形为矩形，
是中点
点关于的对称点为点
，
四边形是菱形
，
由，可得，
由，，可得四边形是平行四边形，
，
由，可得，即，
，，
故答案为：
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、菱形的性质与判定、平行线的性质以及矩形的性质与判定，解题的关键在于正确画出辅助线．
三、解答题（共13小题，计81分． 解答应写出过程）
14. 解不等式组：．
【答案】．
【解析】
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握解不等式组的方法是解题的关键．分别求出不等式组中两个一元一次不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”的法则，即可求出原不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式得：，
解不等式得：，
所以不等式组的解集是．
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先去绝对值，求立方根，再计算二次根式乘法，最后算加减法．
【详解】解：原式
．
16. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是分式方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键，先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可．
【详解】解：，
方程两边都乘以，
得：，
解得：，
检验：时，，
所以是原分式方程的解．
17. 如图，已知，延长到点D，请用尺规作图法，在线段上求作一点P，连接，使得点C到的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角，先以点A为圆心，画弧分别交于两点，再分别以这两交点为圆心，同样长度为半径画弧，再连接点A与两弧的交点，并延长交于于一点，即为点P，据此即可作答．
【详解】解：点P如图所示．
18. 如图，在中，点分别在边上，，连接交于点，求证：点是线段的中点．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，连接，如图所示，由平行四边形性质得到，，根据题中条件即可得到，，由平行四边形的判定即可得到四边形为平行四边形，从而根据平行四边形对角线相互平分即可得证，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
【详解】证明：连接，如图所示：
在中，，，
，
，即，
，
四边形为平行四边形，
，
点为线段的中点．
19. 为充分满足学生快乐运动的需求，学校计划购买一些网球拍．经了解某品牌网球拍的进价是180元/副，标价为240元/副，恰逢体育用品店进行促销活动，对该品牌的网球拍按标价打折，打折后每副网球拍的利润率为，请问这种网球拍按标价打了几折？（利润率=）
【答案】这种网球拍按标价打了九折
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，等量关系：利润售价成本成本利润率，据此列方程，即可求解；找出等量关系及打折后的售价为是解题的关键．
【详解】解：设该网球拍按标价打了x折，根据题意得
，
解得，
这种网球拍按标价打了九折．
20. 明明和家人去西安旅游购买了甲、乙、丙、丁四个系列摆件，如图，甲系列有3个摆件，乙系列有1个摆件，丙系列有2个摆件，丁系列有3个摆件，每个系列各带有一个礼品盒（摆件均装入对应的礼品盒内），这四个礼品盒的外观和重量都相同．明明先让妈妈从四个礼品盒中随机选择一个拿走，再让爸爸从剩下的三个中随机选择一个拿走．
（1）妈妈拿走的礼品盒里装有3个摆件的概率是 ；
（2）请用画树状图或列表法，求妈妈和爸爸一共拿走4个摆件的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法求概率以及用概率公式直接求概率，
（1）根据概率公式直接求概率即可．
（2）画出所有等可能的结果数以及妈妈和爸爸一共拿走4个摆件的的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
解：根据题意有4个四个礼品盒，其中有3个摆件的礼品盒有2个，
∴妈妈拿走的礼品盒里装有3个摆件的概率是：，
故答案为：．
【小问2详解】
画树状图如下：
由图可得，共有12种等可能的结果，其中妈妈和爸爸一共拿走4个摆件的情况有4种，
妈妈和爸爸一共拿走4个摆件的概率．
21. 西安城墙是中国现存规模最大、保存最完整的古代城垣．李华和张明相约去城墙游玩并打算用学过的知识测量城墙的高度．如图，是城墙外的一棵树，李华首先在城墙上从A处观察树顶C，测得树顶C的俯角为；然后，张明在城墙外，阳光下，某一时刻，当他走到点F处时，他的影子顶端与树的影子顶端恰好在G处重合．张明的身高米，米，米，米，已知点B、G、F、D在一条水平线上，图中所有的点都在同一平面内，，，，请求出城墙的高度．（参考数据：）
【答案】12米
【解析】
【分析】过点C作于点M，四边形是矩形，，得到，利用正切函数计算即可，本题考查了矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，正切函数的应用，熟练掌握相似的判定和性质，正切函数是解题的关键．
【详解】解：如图，过点C作于点M，
∵，，，
∴四边形是矩形，，
∴，，
∴，
∴，
∵米，米，米，米，
∴，米，
∴米，米，
∴米，
∵，
∴，
∵，
∴米，
∴米，
答：城墙高12米．
22. 【情境描述】
为了解决校园饮水问题，某学校引入了校园直饮水设备，以提供更高质量的饮用水．
【整理发现】
在试用过程中，直饮水设备每天的出水量y（升）与使用人数x（人）的对应数据整理成了下表：
【建立模型】
（1）请根据上表中的信息，在平面直角坐标系中描出对应点并用平滑的线连接，观察这些点的分布规律，试求y与x之间的函数关系式；

【解决问题】
（2）该直饮水设备在实际使用中也符合以上函数关系，若使用直饮水设备的人数为200人，请求出直饮水设备一天的出水总量．
【答案】（1）图见解析，；（2）305升
【解析】
【分析】本题考查一次函数的实际应用，画函数图象，待定系数法求函数解析式，读懂题意，从图表中有效的获取信息，是解题的关键．
（1）根据画函数图象的步骤，结合表格中的数据进行描点、连线，即可画出函数图象，观察图象可知，y与x满足一次函数关系式，设y与x之间的函数关系式为，利用待定系数法求出函数关系式即可解题；
（2）将代入函数关系式，利用函数关系式求解，即可解题．
【详解】解：（1）画图如下：

观察图象可知，y与x满足一次函数关系式，设y与x之间的函数关系式为，
把，代入，
得，解得，
y与x之间的函数关系式为．
（2）当时，．
直饮水设备一天出水总量为305升．
23. 共享单车是一种新型绿色环保共享经济．某单位为了解员工使用共享单车次数的情况，随机抽取了20位员工，统计他们一个月使用共享单车的次数，为了便于分析，将数据结果进行了整理，绘制成了不完整的频数统计表和频数分布直方图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请补全频数分布直方图，并填空：所抽取员工一个月使用共享单车的次数的中位数落在 组；
（2）请求出所抽取员工一个月使用共享单车的次数的平均值；
（3）若该单位共有300位员工，请估计该单位员工一个月使用共享单车不少于30次的人数．
【答案】（1）见解析，B（或）
（2）19.2次 （3）60人
【解析】
【分析】本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体、中位数，解答本题关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）先由频数统计表求得m的值，补全频数分布直方图，再求出所抽取员工一个月使用共享单车的次数的中位数所落在哪一组；
（2）将各组总次数相加再除以20即可；
（3）由300乘以员工一个月使用共享单车不少于30次的人数所占的比例即可．
【小问1详解】
由频数统计表可得：，
补全频数分布直方图如下：
由频数分布表可知，本次调查中，所抽取员工一个月使用共享单车的次数的中位数落在 B（或）组；
故答案为：B（或）
小问2详解】
（次），
所抽取员工一个月使用共享单车的次数的平均值是19.2次．
小问3详解】
（人），
估计该单位员工一个月使用共享单车不少于30次的人数为60人．
24. 如图，在中，点是上一点，连接，作的外接圆，是的切线，的直径交于点，．
（1）求证：；
（2）若，，求半径的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查圆的综合题型，涉及圆的切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．
（1）由得，再结合为的切线，得，，即可得出结论；
（2）连接，先用勾股定理求出，再证明得即可求出，即得出半径的长．
【小问1详解】
证明：，
为的切线，
，
，
，，
；
【小问2详解】
连接，如图，
，
，
，
在中，，
是的直径，
，
，，
，
，即，
解得，
半径的长为．
25. 某数学兴趣小组进行项目式学习成果的展示，他们利用“杠杆原理”制作出一种投石机，如图①，为检验投石机的性能，进行如下操作：将石头用投石机从处投出，石头的运动轨迹是抛物线的一部分，最终石头落在斜坡上的点处，以水平地面为轴，为轴建立平面直角坐标系如图②． 已知抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为， 米，点为抛物线的顶点，过点作轴于点，点到轴的水平距离 米．
（1）请求出抛物线的函数表达式；
（2）点是点左侧抛物线上一点，过点作轴交坡面于点，若石头运动到点时到坡面的铅直高度为米，求此时石头（点）到轴的距离．
【答案】（1）
（2）此时石头到轴的距离为米
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用；
（1）将代入，进而得出，根据对称轴为，进而求得的值，即可求解；
（2）根据题意，解方程，即可求解．
【小问1详解】
解：由题可得，将代入得，，
，
抛物线的顶点横坐标为20，
，
，
抛物线的函数表达式为．
【小问2详解】
由题意可得：，
解得，（舍去），
此时石头到y轴的距离为5米．
26. （1）如图①，在中，，，则的面积为 ；
（2）如图②，在中，，延长到点D，使得，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，求证：；
（3）通过水生态治理、植被恢复建设、湿地科普宣教服务等举措，来某湿地“安家”的动植物越来越多． 如图③，四边形ABCD是该湿地公园的示意图，其中，． 现要在上找一点N，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段（M在四边形内），沿修小路，点E是的中点，连接，点F是下方一点，连接，根据规划，要在区域修建珍稀植物培植中心，且满足． 为节约成本要求培植中心的面积尽可能的小，问的面积是否存在最小值？若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）12；（2）见解析；（3）存在最小值，的最小面积为
【解析】
【分析】（1）利用锐角三角函数求出的值，面积公式求出的面积即可；
（2）利用旋转的性质，证明即可得出结果；
（3）延长交于点G，过点M作于点H，易得是等边三角形，证明，得到，过点M作的平行线l，过点E作于点，则点M在直线l上运动，的最小值为的长．勾股定理逆定理求出是直角三角形，得到，进而得到当的值最小，即点M与点重合时，的面积最小，进行求解即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∴的面积；
故答案为：12．
（2）证明：将线段绕点C顺时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
，
，
．
（3）延长交于点G，过点M作于点H，
，
是等边三角形，
，，
，
在中，，
，，
将线段绕点D顺时针旋转60°得到线段，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
过点M作的平行线l，过点E作于点，则点M在直线l上运动，的最小值为的长．
设，则，，
，
是直角三角形，即，
，
当的值最小，即点M与点重合时，的面积最小．
延长交于点P，则，
点E是的中点，
，
在中，，，
，
，
的面积存在最小值，的最小面积为．
【点睛】本题考查解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．x（人）
10
20
25
30
40
…
y（升）
20
35
42.5
50
65
…
组别
A
B
C
D
E
使用共享单车次数x/次
人数
5
6
5
m
1
各组总次数/次
24
93
124
102
41