河北省廊坊市三河市燕达实验学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（学生版+教师版）

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一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查最简二次根式，解题关键在于掌握最简二次根式的定义．当二次根式满足：①被开方数不含开得尽方的数或式；②根号里面没有分母，即为最简二次根式，由此即可求解．
【详解】解；A、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
C、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、最简二次根式，符合题意；
故选：D．
2. 在中，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形对角相等即可求出，进而可求出．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等、邻角互补的性质是解题关键．
3. 一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则第三边的长的平方为（ ）
A. 45B. 27C. 45或27D. 64
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，设第三边长为x，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：设第三边长为x，
由勾股定理得：，
解得：
故选：A．
4. 下列判断正确的是（ ）
A. 对角线相等的矩形是正方形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查特殊平行四边形的判定，熟记判定定理是关键．根据菱形，矩形，正方形的判定逐项判断即可．
【详解】解：A、对角线相等的菱形是正方形，故该选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该选项错误；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项错误；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故该选项正确；
故选：D．
5. 计算的结果是（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，平方差公式，解题的关键是掌握积的乘法逆运算法则，以及平方差公式．
先将原式化为，再结合平方差公式和乘方运算法则进行计算即可．
【详解】解：
，
故选：B．
6. 如图，在四边形中，，为对角线的中点，连接，，，若，则的度数为（ ）度．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由直角三角形的斜边中线等于斜边的一半可得：，得出，；由外角定理求出，最后根据三角形的内角和定理求解即可；
【详解】解：∵，为的中点；
∴
∴，；
在和中
∴
即：
在中
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等边对等角、三角形的外角定理和内角和定理等知识点；熟练掌握直角三角形的斜边中线等于斜边的一半是解题的关键．
7. 中，，，所对的边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A. B. ，，C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能灵活运用定理进行计算和推理是解此题的关键．根据勾股定理的逆定理即可判断A和B；根据三角形的内角和定理即可判断C和D．
【详解】解：A、，
，即是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，，，
，
，即是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，
最大角，
不是直角三角形，故本选项符合题意；
D、，，
，即是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
8. 如图，在矩形中，点O是对角线的中点，M是边的中点．若，，连接，则四边形的周长为（ ）
A. 20B. 16C. 10D. 18
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，中位线的性质，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握矩形对边相等，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
根据矩形的性质易得，根据勾股定理得出，根据中点的定义和中位线的性质，以及直角三角形斜边中线的性质得出，即可解答．
【详解】解：∵四边形是矩形，，
∴，
根据勾股定理可得：，
∵点O是对角线的中点，M是边的中点，
∴，
∴四边形的周长，
故选：A．
9. 如图，某港口M位于东西方向的海岸线上，胜利号，智能号两轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，胜利号、智能号两轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后胜利号、智能号两轮船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道胜利号轮船沿北偏西方向航行，则智能号轮船的航行方向是（ ）
A. 北偏东B. 北偏西C. 北偏东D. 北偏西
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先根据题意得到海里，海里，海里，则可得，由勾股定理的逆定理得到，进而求出，则智能号轮船的航行方向是北偏东．
【详解】解：由题意得，海里，海里，海里，
∴，
∴是直角三角形，且，
∵胜利号轮船沿北偏西方向航行，
∴，
∴，
∴智能号轮船的航行方向是北偏东，
故选：A．
10. 已知，则（ ）
A. B. 6C. 4D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，平方差公式，二次根式的混合运算，解题的关键是正确提取公因式，掌握平方差公式．
先提取公因式m，再将m的值代入，最后根据平方差公式进行计算即可．
【详解】解：根据题意得：，
∵，
∴，
故选：C．
11. 如图，已知正方形的边长为3，点是对角线上的一点，于点，于点，连接，当时，则（ ）

A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先证四边形是矩形，可得，，由等腰直角三角形的性质可得，可求，的长，由勾股定理可求的长，由“”可证，可得．
【详解】解：如图：

连接，
四边形是正方形，
，，
，，，
四边形是矩形，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，，
，
，，，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
12. 如图所示，在四边形中，于点O，，，点H为线段上的一个动点，过点H分别作于点M，作于点N，连接，在点H运动的过程中，的最小值为（ ）
A 6B. 7.8C. 8D. 9.8
【答案】B
【解析】
【分析】证四边形是菱形，可得，连接，由三角形面积关系求出为定值，由垂线段最短可知，当时，最短，即可求解．
【详解】∵，，
∴，四边形是平行四边形
∵
∴四边形是菱形，
∴
连接，如图，
∵
∴，即
∴
∴为定值
∴当最短时，有最小值
由垂线段最短可知，当时，最短，
当点H与点O重合时，有最小值
最小值
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、最小值问题以及三角形面积等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13. 如图，阴影部分是一个正方形，且面积为，则三角形面积为____．
【答案】54
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根，勾股定理，解题的关键是掌握求一个数算术平方根的方法和步骤，以及直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．
先求出正方形的边长，再根据勾股定理求出该直角三角形另一直角边的长度，最后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵正方形面积为，
∴正方形边长为，
根据勾股定理可得：该直角三角形另一条直角边，
∴三角形的面积为，
故答案：54．
14. 若x，y都是无理数，且，则x，y的值可以是____，___（填一组即可）．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了无理数的定义，二次根式的加减法，解题的关键是掌握无理数的定义．根据无理数的定义即可解答．
【详解】解：∵x，y都是无理数，且，
∴，
故答案为：（答案不唯一）．
15. 如图，正方形中，N，F分别为，延长线上的点，，____．
【答案】45
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握正方形四边相等，四个角都是直角，全等三角形对应边相等，对应角相等．
先根据正方形的性质得出，则，进而推出，即可解答．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：45．
16. 如图，在矩形中，，分别是边，上的动点，是线段的中点，，，，为垂足，连接．若，，，则的最小值是______．
【答案】8
【解析】
【分析】连接AC、AP、CP，由勾股定理求出AC=10，再由直角三角形斜边上的中线性质得AP=2，然后证四边形PGCH是矩形，得GH=CP，当A、P、C三点共线时，CP最小=AC-AP=10-2=8，即可求解．
【详解】解：连接AC、AP、CP，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=6，∠BAD=∠B=∠C=90°，
∴
∵P是线段EF的中点，
∴AP=EF=2，
∵PG⊥BC，PH⊥CD，
∴∠PGC=∠PHC=90°，
∴四边形PGCH是矩形，
∴GH=CP，
当A、P、C三点共线时，CP最小=AC-AP=10-2=8，
∴GH的最小值是8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，求出CP的最小值是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算顺序和运算法则．
（1）根据二次根式混合运算顺序和运算法则进行计算即可；
（2）先根据平方差公式和完全平方公式将括号展开，再进行计算即可．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
解：
．
18. 如图，在四边形中，点P是对角线中点，点E、F分别是、的中点，，，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】根据中位线定理得，，结合已知证明是等腰三角形，从而可得答案．
【详解】解：∵在四边形中，P是对角线的中点，E，F分别是、的中点，
∴，分别是与的中位线，
∴，，
∵，
∴，
故是等腰三角形，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
19. 若m，n是实数，且，求的算术平方根．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求一个数的算术平方根，解题的关键是掌握二次根式被开方数为非负数，以及求一个数的算术平方根的方法．
先根据二次根式有意义的条件得出，求出m的值，进而得出n的值，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴的算术平方根是．
20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上．
（1）请直接写出线段AB、AC的长度；
（2）连接BC，请判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）AB＝，AC＝；（2）等腰直角三角形，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）由勾股定理直接可求AB，AC的长；
（2）根据勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，又AB＝BC＝，故△ABC为等腰直角三角形．
【详解】解：（1）由勾股定理可得AB＝，AC＝；
（2）△ABC是等腰直角三角形，理由如下：
由（1）可知，，
又BC2＝32+12＝10，
∴AB2+BC2＝AC2．
∴△ABC是直角三角形．
又AB=BC= ，
∴△ABC是等腰直角三角形．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解决本题的关键主要熟练掌握勾股定理及其逆定理．
21. 如图，在中，点在上，点在上，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若为的角平分线，且，，求的周长．
【答案】（1）见解析 （2）32
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的对边平行且相等可得，，结合题意可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明；
（2）根据角平分线的定义可得，根据平行四边形的对边平行可得，根据两直线平行，内错角相等可得，推得，根据等角对等边可得，求得，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，且，
∴四边形是平行四边形．
【小问2详解】
解：∵为的角平分线，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的周长．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，平行四边形的周长，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
22. 如图是某集团打造的一款少儿开发智力游戏项目，工作人员告诉小艺，该项目段和段均由不锈钢管材打造，总长度为27米，，矩形为一木质平台的主视图．小艺经过现场测量得知，米，米，于是小艺大胆猜想段的长为9米，请判断小艺的猜想是否正确．如果正确，请写出理由；如果错误，请求出段的正确长度．
【答案】小艺的猜想错误，段的正确长度为10米，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，矩形的性质与判定，如图所示，延长交于H，设米，则米，证明四边形是矩形，得到米，米，，则米，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
【详解】解：小艺的猜想错误，段的正确长度为10米，理由如下：
如图所示，延长交于H，设米，则米，
∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴米，米，，
∴米，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴米，
∴小艺的猜想错误，段的正确长度为10米．
23. 如图，一张矩形硬纸片宽，长，现将沿折叠（点N在边上），点C的对应点F刚好落在边上，过点F作，交于点G，连接．

（1）下列说法正确的是（ ）
A．四边形是非特殊四边形 B．四边形是非特殊平行四边形
C．四边形是菱形 D．四边形是长方形
（2）试证明你在（1）中所选的结论；
（3）求四边形的面积．
【答案】（1）C （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了矩形的折叠问题，菱形的判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关性质定理．
（1）根据矩形的性质易得，则，根据折叠的性质得出，，则，进而得出，即可得出结论；
（2）根据矩形的性质易得，则，根据折叠的性质得出，，则，进而得出，即可得出结论；
（3）根据折叠的性质得出，根据勾股定理可得，则，设，则，根据勾股定理可得：，列出方程求出，最后根据四边形的面积即可解答．
【小问1详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵沿折叠得到，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
故选：C；
【小问2详解】
证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵沿折叠得到，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
【小问3详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵沿折叠得到，
∴，
根据勾股定理可得：，
∴，
设，则，
根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
∴，
∴四边形的面积．
24. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，且．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若，，连接，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，菱形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定等等：
（1）先证明四边形是平行四边形，再由，即可证明四边形是矩形．
（2）先证明四边形是菱形，得到，，进而证明是等边三角形，得到，由勾股定理得到，则，由矩形的性质得到，，则．
【小问1详解】
证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形．
【小问2详解】
解：∵在平行四边形中，，
∴四边形是菱形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴．