吉林省长春市绿园区新解放学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（学生版+教师版）

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满分：120分 时间：120分钟
一、选择題（每小题3分，共24分）
1. 方程的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直接开平方解方程即可．
【详解】
，
所以，．
故选：D．
【点睛】本题考查直接开平方解一元二次方程，关键是理解平方根的意义．
2. 科学家发现人体最小的细胞是淋巴细胞，直径约为米，将数据用科学记数法表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（ ）
A. ①②B. ③④C. ②③D. ①④
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的定义以及性质，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了．确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．
【详解】解：只有③④两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带③④两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．
故选B．
4. 关于x的方程是一元二次方程，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）只含有一个未知数．
根据一元二次方程的定义进行求解即可．
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴，解得：，
故选：C．
5. 如图，在中，．顶点A的坐标为，以为边向的外侧作正方形，点D的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质，图形与坐标等知识，
过点作轴于，在中，，，可得，根据四边形是正方形以及等腰直角三角形的性质可得，
【详解】如图，过点作轴于，
，
顶点的坐标为，
，
在中，，，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
∵轴，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
故选：A．
6. 已知中，，，CD是斜边AB上的中线，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意根据三角形的内角和得到∠A=36°，由CD是斜边AB上的中线，得到CD=AD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵∠ACB=90°，∠B=54°，
∴∠A=36°，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴CD=AD，
∴∠ACD=∠A=36°.
故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形的性质与三角形的内角和，熟练掌握直角三角形的性质即直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．
7. 如图，在平行四边形中，以点A为圆心，长为半径画弧交于点F，再分别以点B、F为圆心，大于的相同长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点E，连接．根据以上尺规作图的过程，下列结论不正确的是（ ）
A. 平分 B. 是等边三角形
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由作图可知，平分，证明四边形是菱形，可得结论．本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
【详解】解：由作图可知，
则平分，故A选项正确，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，故D选项正确，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，故C选项正确．
无法判断是等边三角形，
故选：B．
8. 如图，在中，，点、在反比例函数的图象上，点的坐标，则的值为（ ）
A. 2B. C. D. 2.5
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，构造全等三角形推出点B的含有m的坐标，利用同一反比例函数上点的坐标之积相等列出关于m的方程，解出m即可求出A的坐标，
【详解】解：过点A作x轴的平行线交y轴于点M，过点B作y轴的平行线交的延长线于点N．
∵，
∴，
∵．
∴，
∴．
∴，
∵点A、B都在反比例函数上，
∴，
解得：，（舍去），
∴点A的坐标为，
∴．
故选：C
二、填空题（每小题3分，共18分）
9. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解——提公因式法，提公因式即可作答．
【详解】解：，
故答案为：．
10. 甲乙两地9月上旬的日平均气温如图所示，则甲乙两地这10天日平均气温的方差大小关系为___（填或）．

【答案】
【解析】
【分析】根据气温统计图可知：乙地的平均气温比较稳定，波动小，由方差的意义知，波动小者方差小，即可求解．
【详解】解：观察平均气温统计图得：乙地的平均气温比较稳定，波动较小；
∴乙地的日平均气温的方差小，
∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查方差，熟练掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好是解题的关键．
11. 将一元二次方程化成的形式，则______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查是配方法的应用，在方程的两边都加上 ，配方后可求解的值，从而可得答案．
【详解】解：∵ ，
，
，
．
故答案为：．
12. 如图，和都是等腰直角三角形，，，，的顶点在的斜边上．若，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，
连接，由题意可知，，，求出可证，可得，，由勾股定理求出AB即可．
【详解】解：如图所示，连接，
∵和都是等腰直角三角形，，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
13. 某公司欲招聘一名部门经理，需要对应聘者进行专业知识、语言能力和综合素质三项测试，并按照的比例确定应聘者的平均成绩，已知应聘者甲的三项测试成绩分别为80分、96分、70分，则应聘者甲的平均成绩为______分．
【答案】86
【解析】
【分析】根据加权平均数的计算公式即可得．
【详解】解：由题意，应聘者甲的平均成绩为（分），
故答案为：86．
【点睛】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题关键．
14. 在正方形中，，点是上一点，过点作于，于，连结，当的长度取得最小值时，______．
【答案】
【解析】
【分析】连接，过作于，证明，即可得，证出四边形是矩形，由矩形的性质得出，当时，最小，由的面积关系，问题即可得解．
【详解】解：连接，过作于，如图所示：
四边形是正方形，为对角线，
，，，
，
在和中，
∵，
∴，
∴，
，，
四边形是矩形，
，
当时，最小，即如图长，
此时点与点重合，则有最小值，
当点与点重合时，
的面积，
，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理以及最小值问题；熟练掌握正方形和矩形的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握整式四则混合运算法则是解答本题的关键．
先根据整式四则混合运算法则化简，然后将代入计算即可．
【详解】解:原式
；
当时，原式．
16. 刚过去的冬天最热门的地方莫过于哈尔滨冰雪大世界了，冰天雪地的环境吸引着众多游客的到来．春节期间李老师一家从长春乘坐高铁去哈尔滨，返回时乘坐大巴车．已知去时高铁行驶的路程为，比返回时大巴车行驶的路程多，而高铁的平均速度比大巴车平均速度的2倍还多，乘坐大巴车所花时间是乘坐高铁时间的2倍．求大巴车的平均速度．
【答案】大巴车的平均速度为．
【解析】
【分析】此题考查了分式方程的应用，设大巴车的平均速度为，列出，解方程检验即可，解题的关键读懂题意，列出分式方程．
【详解】解：设大巴车的平均速度为，
由题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：大巴车的平均速度为．
17. 图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点均在格点上，点B在格线上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
（1）在图1中，作出点A关于点O的对称点C，连结．
（2）在图2中，作出线段关于点O的成中心对称线段．
（3）在图3中，已知点F是线段上的任意一点，作出一条线段，使得．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查作图−对称变换，熟知图形对称的性质是解题的关键．
（1）根据中心对称的性质即可解决问题．
（2）分别画出点A和点B关于点O的对称点即可解决问题．
（3）先画出关于点O的对称线段，再延长与之相交即可解决问题．
【小问1详解】
解：连接并延长，与网格的交点即为点C，连接，
如图所示，点C即为所求作的点．
【小问2详解】
分别连接，并延长，与网格分别交于点D和点E，
如图所示，线段即为所求作的线段．
【小问3详解】
分别连接，并延长，与网格分别交于点D和点E，连接，连接并延长与交于点G，
如图所示，即为所求作的线段．
18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．
（1）求反比例函数关系式：
（2）直接写出关于的不等式的解集______；
（3）连接、，则的面积为______．
【答案】（1）
（2）或
（3）6
【解析】
【分析】（1）先求出点A的坐标，再代入反比例函数关系式，可得答案；
（2）根据图象的位置，即反比例函数图象在直线上方时自变量的取值，可得答案；
（3）先求出直线的关系式，进而得出点C的坐标，可知，再根据可得答案．
【小问1详解】
∵点在一次函数图象上，
∴，
解得，
∴点．
∵点在反比例函数图象上，
∴，
∴反比例函数的关系式为；
【小问2详解】
将不等式整理为，
当或时，．
所以不等式的解集是或．
故答案为：或；
【小问3详解】
当时，，
∴点．
设直线的关系式为，将点A，B代入，得
，
解得，
∴直线的关系式为．
当时，，
∴点，
∴，
则．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数关系式，求一次函数关系式，求三角形的面积，观察图象求不等式的解集，理解由观察图象的位置确定函数值的大小是解题的关键．
19. 将两张完全相同的矩形纸片ABCD、FBED按如图方式放置，BD为重合的对角线．重叠部分为四边形DHBG，
(1)试判断四边形DHBG为何种特殊四边形，并说明理由；
(2)若AB=8，AD=4，求四边形DHBG的面积．
【答案】（1）四边形DHBG是菱形，理由见解析；（2）20．
【解析】
【分析】（1）由四边形ABCD、FBED是完全相同的矩形，可得出△DAB≌△DEB（SAS），进而可得出∠ABD=∠EBD，根据矩形的性质可得AB∥CD、DF∥BE，即四边形DHBG是平行四边形，再根据平行线的性质结合∠ABD=∠EBD，即可得出∠HDB=∠HBD，由等角对等边可得出DH=BH，由此即可证出▱DHBG是菱形；
（2）设DH=BH=x，则AH=8-x，在Rt△ADH中，利用勾股定理即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再根据菱形的面积公式即可求出菱形DHBG的面积．
【详解】解：四边形是菱形．理由如下：
∵四边形、是完全相同的矩形，
∴，，．
在和中，，
∴，
∴．
∵，，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∴是菱形．
由，设，则，
在中，，即，
解得：，即，
∴菱形的面积为．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用等角对等边找出DH=BH；（2）利用勾股定理求出菱形的边长．
20. 某校为了解七、八年级学生对抗美援朝历史知识的掌握情况，从两个年级中各随机抽取10名学生进行测试，并对测试成绩（百分制）进行收集、整理和分析．
数据收集
七年级：59 90 92 85 80 67 88 85 97 79
八年级：57 95 80 96 83 69 92 78 66 83
数据整理
数据分析
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全表中数据：______，______，______．
（2）小牧同学参加了测试，他说：“这次测试我得了82分，在我们年级属于中游偏上的水平”，请推测该同学可能是______年级的学生（填七或八即可）
（3）假如该校七年级有900名学生同时参加了本次测试，请你估计该校七年级学生本次测试成绩超过80分的人数．
【答案】（1），，
（2）八 （3）人
【解析】
【分析】本题考查中位数、众数、用样本估计总体等知识，
（1）结合七年级的具体成绩以及根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）根据中位数的意义求解即可；
（3）用七年级总人数乘以样本中测试成绩在80分以上人数所占的比例求解即可．
【小问1详解】
解：将七年级的测试成绩从小到大排列：59 67 79 80 85 85 88 90 92 97，
在之间的有4人，故，
位于第5和第6个数为85和85，
∴中位数，
在八年级的测试成绩中，83出现了2次，出现次数最多，
∴众数，
故答案为：，85，83；
【小问2详解】
解：∵小牧同学参加了测试，得了82分，在年级属于中游略偏上，
∴小牧所在年级的中位数应小于82，
∵七年级的中位数是85，八年级的中位数为，
∴小牧同学可能在八年级的学生，
故答案为：八；
【小问3详解】
解：由原数据可得七年级80（分）以上的同学有（人），
全校学生本次测试成绩在80（分）以上的人数有（人），
∴估计该校七年级学生本次测试成绩在80（分）以上人数约为人．
21. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求此方程的解．
【答案】（1）且
（2）或
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的个数与系数的关系，解一元二次方程，
（1）一元二次方程有两个实数根，则二次项系数不为，且；
（2）由（1）可得的取值，解方程即可．
【小问1详解】
解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：且．
【小问2详解】
解：为正整数，且，
．
原方程为，
解得，．
当为正整数时，该方程的根为或．
22. 世界上大部分国家都使用摄氏温度（），但仍有一些国家和地区使用华氏温度（°F）.两种计量之间有如下对应：
（1）在平面直角坐标系中描出相应的点．
（2）观察这些点发现，这些点是否在一条直线上，如果在一条直线上，求这条直线所对应的函数表达式．
（3）求华氏0度时所对应的摄氏温度．
（4）华氏温度的值与所对应的摄氏温度的值有相等的可能吗？如果有；请求出此时的摄氏温度；如果没有，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4）有，华氏温度的值与所对应的摄氏温度的值相等时，摄氏温度为
【解析】
【分析】（1）根据表中数据描点即可；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）令，求出x的值即可；
（4）令，解方程即可．
【详解】解：（1）如图.
（2）这些点在一条直线上.
设这条直线所对应的函数表达式为.
将、代入，
得，解得.
∴这条直线所对应的函数表达式为；
（3）令，得.解得
（4）有相等的可能，
令.解得.
所以华氏温度的值与所对应的摄氏温度的值相等时，摄氏温度为.
【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出函数的解析式是解题的关键．
23. 实践与探究操作一：如图①，已知矩形纸片，点E和点F分别是和上的点，将矩形沿折叠，使点B和点D重合，点C的对应点为点G．求证：．
操作二：在操作一的基础上，将矩形纸片沿继续折叠，点A的对应点为点H．
我们发现，当矩形的邻边长度的比值不同时，点H的位置也不同．如图②，当点H恰好落在折痕上时，则______．
应用：如图③，在操作二中点H恰好落在折痕上时，点M、N分别为、上任意一点，连结、．若，则的最小值是______．
【答案】操作一：见详解；操作二：；操作三：
【解析】
【分析】操作一：由矩形的性质得出，．由折叠的性质得出，，．证出．则可得出结论；
操作二：由折叠得出，．．．进而可得，设，则，，由直角三角形的性质可得出答案；
操作三：连接，过点F作于点T，根据操作二可得：是的垂直平分线可得，即可推出，当、、共线且这三点所在的线段垂直时，最小，即为，在（2）中已求出，可得，证明四边形是矩形，即有．
【详解】操作一：证明：四边形是矩形，
，．
由折叠得，，．
，，
．
又∵，，
；
∴；
操作二：由折叠得，．．．
，
，
，，
，
，
设，则，，
，
，
，
故答案为：；
操作三：连接，过点F作于点T，如图，

根据操作二可得：是的垂直平分线，
，
，
当、、共线且这三点所在的线段垂直时，最小，即为，
，
在（2）中已求出，
，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴最小的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的判定，理解题意，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
24. 如图，在中，，，点E为的中点，连结．动点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿折线向终点B运动，当点P不与的顶点重合时，作，交边于点Q，以、为邻边作．设点P的运动时间为t秒．

（1）______．
（2）若是轴对称图形，求t的值．
（3）直接写出将梯形的面积分成两部分时t的值．
（4）连结，作点A关于的对称点，当直线与线段的所成的锐角为时，直接写出线段的长．
【答案】（1）
（2）或者
（3）、、 或者
（4）或者
【解析】
【分析】（1）结合等腰直角三角形的性质即可作答；
（2）先确定点D在线段上，再根据是轴对称图形，可得是菱形，即有，分当点P在线段上时，和当点P在线段上时，两种情况讨论即可作答；
（3）根据点P不与的顶点重合，可得，当点P在线段上时，根据，则，，进而得出，和，再根据将梯形的面积分成两部分，又当时和当时，两种情况作答；当点P在线段上时，同理作答即可；
（4）当点Q在上时，根据，可得，再根据点A和点关于对称，可得，，进而可得，问题随之得解；当点Q在上时，同理可得，即问题得解．
【小问1详解】
∵在中，，，点E为的中点，
∴，，，
故答案为：；
【小问2详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，，
∴点D在线段上，
∵是轴对称图形，
∴是菱形，
∴，
当点P在线段上时，如图，

∵，，
∴，即，
∴，即是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴（秒）；
当点P在线段上时，如图，

同理可求出：，
此时：，
∴（秒）；
故t的值为或者；
【小问3详解】
∵点P不与的顶点重合，
∴，
当点P在线段上时，如图，

根据运动可知：，则，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
在（2）中已经证明，
∴，
∴，
∵将梯形的面积分成两部分，
又∵将梯形分成平行四边形和，
则当时，
，
解得：；
当时，
，
解得：；
当点P在线段上时，如图，

同理可得：，，
进而同理求出：，，
则当时，
，
解得：；
当时，
，
解得：；
综上所述：t的值为秒、秒、 秒或者秒；
【小问4详解】
当点Q在上时，如图，

根据题意有：，
∴，
∵点A和点关于对称，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，即
∴，
∴，
∴；
当点Q在上时，如图，

则有
∵点A和点关于对称，
∴，，
∴，
同理可得：，
∴，
综上所述：线段长为或者．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，菱形的性质，平行四边形的性质等知识，注重分类讨论的思想是解答本题的关键．年级
成绩x（分）
七年级
1
1
2
a
2
八年级
1
2
2
2
3
平均数
中位数
众数
七年级
82.2
b
85
八年级
79.9
81.5
c
摄氏温度（）
0
10
20
30
40
50
华氏温度（）
32
50
68
86
104
122