河南中职数学（基础模块）下册 第九章 《立体几何》习题集（含答案）

这是一份河南中职数学（基础模块）下册 第九章 《立体几何》习题集（含答案），共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，证明题，综合题，判断题等内容，欢迎下载使用。

第九章 立体几何
一、选择题
1.下列说法正确的是（ ）
. 每一个平面都有确定的面积 . 一个平面长为宽为
. 一个平面把空间分成两个部分 . 两个平面把空间分成三部分
2.下列图形不一定是平面图形的是（ ）
.三角形 .平行四边形 .梯形 . 四条线段首尾相接形成的四边形
三条平行直线最多能确定平面个数（ ）
. . . .
4.下列说法正确的是（ ）
.四边形一定是平面图形 .角一定是平面图形
.梯形不一定是平面图形 . 两个平面只有一个公共点
5.过空间同一点的三条直线（没有任何两条重合）可以确定的平面个数是最多能确定平面个数（ ）
. . . .
6.下列说法错误的是（ ）
. 若线段在平面内，则直线就在平面内
.若点在平面内，点又在直线上，则直线就在平面内
. 已知平面，若点在平面内，又在平面内，则点在直线上
. 若两个平面有三个不共线的公共点，则这两个平面重合
7．在空间，下列命题中不正确的是( )
A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数多个公共点
B．若A、B、C、D四个点不共面，则其中任意三点不共线 ．
C．若点A既在平面内，又在平面内，则与相交于直线且A在上
D．任意两条直线不能确定一个平面
8．一个正方体8个顶点中4个顶点共面的情况有( )
A．6种 B．8种 C．10种 D. 12种
9.平行于同一条直线的两条直线一定 （ ） 【2013年】
A．垂直B．平行 C．异面D．平行或异面
10．下列命题中，错误的是( ) 【2018年】
A．平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行
B．平行于同一平面的两个平面平行
C．若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行
D．若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面
11.下列各条件中，能确定空间两条直线平行的是（ ）
. 它们没有公共点 . 它们分别与同一条直线垂直
. 它们在同一平面内且不相交 . 它们不相交
12.直线在平面外是指直线与平面（ ）
. 平行 . 相交 . 在平面内 .相交或平行
13.一条直线与另一条直线平行，它与经过另一条直线的平面的位置关系是（ ）
. 平行 . 相交 . 在平面内或平行 .在平面内
14.直线是异面直线，与经过的平面的位置关系可能是（ ）
. 平行 . 相交 . 在平面内 .相交或平行
15.直线，那么直线与直线是（ ）
. 平行直线 . 相交直线 . 异面直线 .以上均有可能
16.平行于同一平面的两条直线的位置关系是（ ）
A、平行 B、相交 C、异面 D、以上均有可能
17.在长方体中，分别是上的点，且，则与的关系是（ ）
. 平行 . 相交 . 重合 . 异面
18.直线∥平面，那么平行于内的（ ）
. 全部直线 . 任意直线 . 唯一直线 .过的平面与的交线
19.直线∥平面，，那么直线与直线是（ ）
. 平行直线 . 相交直线 . 异面直线 .平行直线或异面直线
20.下面说法正确的是（ ）
. 一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行。
. 一个平面内的无数多条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行。
. 一个平面内的任一直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行。
. 分别在两个平行平面内两条直线互相平行。
21.如果平面∥，直线a，直线b，则a与b的关系是（ ）
A、平行 B、异面或相交 C、平行或异面 D、相交
22.在空间内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线的位置关系是（ ）
.平行 .相交 . 异面直线 . 以上都有可能
23.下列结论中，正确的为（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；（2）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（3）过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直。（ ）
.（1）和（3） . （2）和（3） . （1） . （1）和（2）
24.若直线∥平面，直线平面，则与的关系是（ ）
.垂直 . 平行 . 相交但不垂直 . 以上都不对
25.下列说法正确的是（ ）
.一条直线垂直于三角形的两条边，则该直线与三角形所在的平面垂直
. 一条直线垂直于梯形的两条边，则该直线与梯形所在的平面垂直
. 一条直线垂直于平面内无数条直线，则该直线与平面垂直
. 两条平行直线中一条垂直于一个平面，另一条不一定垂直于这个平面
26.如果直线，并且直线平面，那么与平面的关系是（ ）
. . . ∥ . ∥或
27.教室内有一直尺，无论如何放置，在地面上总有直线与直尺所在的直线（ ）
A、异面 B、相交 C、垂直 D、平行
28.若平面，平面，且则与平面的关系为（ ）
A、斜交 B、 C、∥ D、以上都有可能
29.垂直于梯形两腰的直线与梯形所在的平面的位置关系是（ ）
A、平行 B、垂直 C、相交但不垂直 D、无法确定
30．已知三条相交于一点的线段PA、PB、PC且PA=PB=PC，且A、B、C在同一个平面内，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于H，则垂足H是△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．垂心 D.重心
31.下列说法中不正确的是( ) 【2011年】
A.平行于同一条直线的两条直线互相平行 B．垂直于同一条直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两条直线平行 D．垂直于同一条直线的两条直线互相垂直
32．垂直于同一个平面的两个平面一定( ) 【2014年】
A．平行B．垂直 C．相交但不垂直D．前三种情况都有可能
33.垂直于同一个平面的两个平面( ) 【2015年】
互相垂直B．互相平行C．相交D．前三种情况都有可能
34．在空间中垂直于同一条直线的两条直线一定是( ) 【2016年】
A．平行B．相交C．异面D．以上三种情况均有可能
35.垂直于平面的两条不重合直线一定( ) 【2010年】
A.平行 B．垂直 C．相交 D.异面
36.若线段与它在平面内的射影的长之比是，则与平面所成的角的大小是（ ）
. . . .
37.如果二面角的一个面上的点到棱的距离是它到另一个面的距离的倍，那么这个二面角的平面角应该满足（ ）
. . . .
38.在二面角的一个面内有一个已知点,它到棱的距离等于它到另一个面的距离的倍,则这个二面角的大小为——为（ ）
A、450 B、300 C、900 D 、600
39.两个平行平面之间的距离12cm，一条直线和它们相交成600角，那么这条直线夹在两平面之间的线段长是（ ）
A、8cm B、24cm C、12cm D、6cm
40.在正方体ABCD--ABCD中，二面角D-AB-D的大小是( ) 【2012年】
A. 30° B．60° C．45° D．90°
41．正三棱柱各棱长都是，分别是的中点，则与所成的角的余弦值是( ) 【2019年】
A. B. C. D.
42.下列说法错误的是（ ）
.棱柱的侧面都是平行四边形 .直棱柱的侧面都是矩形
.棱柱的侧棱长不一定相等 . 过棱柱的不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形
43.一个正方体的棱长缩小到原来的一半，它的体积缩小到原来的（ ）
. . . .
44.如果棱柱的侧面都是矩形,则这个棱柱一定是（ ）
A、正棱柱 B、直棱柱 C、正方体 D、长方体
45.正方体的棱长为，则其对角线长为（ ）
A、 B、 C、 D、
46.正四棱柱的底面边长和高都为1，则其全面积是( )
A．6 B．4 C．2 D．1
47.若正四棱柱的对角线和侧面所成的角为30°，底面边长为a，则它的体积是( )
A． B． C. D．
48.下列说法正确的是（ ）
.底面是矩形的平行六面体是长方体 .底面是平行四边形的直棱柱是长方体
. 侧面是矩形的平行六面体是长方体 . 底面和侧面都是矩形的棱柱是长方体
49.一棱锥被平行于底面的截面所截，顶点与截面的距离与棱锥高之比1：2，则截面面积与底面面积之比是（ ）
.1：2 .2：4 . 1：4 . 1：8
50.正四棱锥的侧棱及底面边长都为2，则这个棱锥侧面积为（ ）
.. . .
51.正三棱锥的高为，底面边长为，则体积为（ ）
. . . .
52.一个正四棱锥的底面边长为2,高为3，则体积为（ ）
A、 B、 C、 D、
53．已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等为，则它的体积为( )
A． B． C． D． ．
54.圆柱侧面积为，一底面半径为，则体积为（ ）
. . . .
55．圆柱的底周长为cm，高为4cm，则轴截面的面积是( )
A. B. C. D.
56．把边长分别为，b的长方形卷成一个圆柱的侧面，则圆柱的体积为( )
A． B. C．或 D．
57.若轴截面是正方形的圆柱的侧面积为，则圆柱的体积等于( )
. . . .
58.已知圆柱的底面面积是，轴截面面积是，它的侧面积为（ ）
. . . .
59.一个圆锥的轴截面为等边三角形且面积为，则圆锥的高（ ）
. . . .
60.一个物体的下半部分为圆柱，上半部分为圆锥，圆锥的底面与圆柱的底面时半径相同的圆，已知圆柱半径为3，高度为8，圆锥的母线长为5，则该物体的表面积为（ ）
. . . .
61.一个边长为的正三角形，以其一条高为轴旋转一周所得旋转体的全面积为（ ）
A、 B、 C、 D、
62．圆锥的侧面展开图是扇形，且扇形的半径为18，圆心角为240°，则圆锥的体积为( )．
A. B. C. D.
63.圆锥的高扩大到原来的2倍，底面半径缩短到原来的，则圆锥的体积( )
A. 缩小到原来的一半 B. 扩大到原来的2倍 C. 不变 D. 缩短到原来的
64.已知球的大圆周长为，则这个球的体积为（ ）
. . . .
65.一个玩具的下半部分为半径为3的半球，上半部分为圆锥，圆锥的母线长为5，圆锥的底面与球的截面密合，则该玩具的全面积为（ ）
. . . .
66.一个球的体积为，该球内切于一个正方体内，那么这个正方体的棱长为（ ）
. . . .
67.球的半径扩大一倍，它的体积扩大到原来的（ ）倍.
. . . .
68.球的半径为，截面圆周长为，则球心到截面圆心的距离是（ ）
. . . .
69.已知球的大圆周长为，则这个球的表面积为（ ）
. . . .
二、填空题
1.正方形是 图形；正方体是 图形 。
2.当平面正对我们竖直放置时，通常把平面画成 。
3.水平放置的平面用平行四边形表示时，把平行四边形的锐角画成 ，横边画成邻边的 倍。
4.如果一条直线上有 点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
5.如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过 的公共直线。
6. 的三点可以确定一个平面。
7.直线和 一点可以确定一个平面。
8.两条 或 直线可以确定一个平面。
9.若在平面内，记 ，直线在平面内，记 。
10．三个平面最多把空间分成 部分. 【2014年】
11.过直线外一点有 条直线与这条直线平行。
12.在正方体中，下列直线的位置关系是(1)是 直线
（2）是 直线 (3)是 直线。
13.若三角形ABC在平面内，P在平面外，则图形P-ABC中异面直线为 ______________ 。
14.直线与平面交于用符号表示为________ ；直线与平面平行用符号表示为________；直线在平面内用符号表示 。
15.在正方体中，下列位置关系是(1)直线 ；（2）直线和平面 ；(3)直线和平面是 ;(4)直线和平面是 ;
16.如果直线与平面没有公共点，则直线与平面的位置关系为 。
17.在正方体中，互相平行的平面有 对。
18.平面∥平面，直线，则直线与关系是
19.直线，∥，则 。
20.若∥，是平面、外一点，过P的两条直线和交平面于，交平面于，，则 。
21.垂直于三角形两边的直线与三角形所在的平面的位置关系是 。
22.垂直于同一平面的两条直线 。
23.平面则 。
24.如果直线⊥,且⊥平面，则与平面的关系为 。
25.空间四边形ABCD各边及两条对角线长均为1,E是对角线BD的中点,则B到平面ACE的距离为 。
26.已知长方体中，AB=4，AD=2，则与平面的距离为 。
27.正方形ABCD，AB=PD=1，则P到AC的距离为
28．已知正方形ABCD的边长为，PA⊥平面ABCD，且PA=b，则PC=____ 【2007年】
29.在正方体中，直线与所成的角为 度 。
30.点到平面的一条垂线段，斜线段，那么斜线与平面的夹角
为 度 。
31.正方形所在的平面外一点，有，则二面角的余弦值为 。
32.在二面角的一个面内有一点到另一面的距离为，则点到棱的距离为 。
33.将正方形ABCD沿AC折成直二面角后 .
34.已知正方体中，二面角的大小为 。
35.在45°二面角的一个平面内有一点A，它到另一平面的距离为，则点A到棱的距离为 。
【2006年】
36.正方体 ABCD -A1B1C1D1 中 AC 与 AC1 所成角的正弦值为___. 【2015年】
37．将正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角后,则_________． 【2016年】
38．若长方体的长、宽、高分别为，，，则其对角线长为 ． 【2013年】
39．正六棱柱的底面边长是1，侧棱长也是1，则它的体积是 ． 【2011年】
40．将一个球的体积扩大到原来的 2 倍，则它的半径为原来的_____ 倍. 【2017年】
41．侧棱长和底面边长都为1的正三棱锥的体积为 ． 【2017年】
42. 圆柱的轴截面是边长为4的正方形，则其体积是____________. 【2020年】【2021年】
43.已知正方体棱长为，则它的对角线长为 ．
44.正方体的对角线长为，则它的棱长为 ．
45.已知正四棱柱底面长为，高为，则它的底面积为 ；体积为 ．
46.若长方体的长、宽、高分别为，则对角线长为 。
47．设正四棱柱的对角线长是3cm，底面边长为2cm，则它的体积为____．
48.底面边长为1，侧棱长也为1的正六棱柱，其体积为 ．
49.若正四棱柱底面边长为，侧面对角线长为，则正四棱柱的对角线长为 。
50.在正三棱锥中，若底面边长为，侧棱长为，则其高为 ，侧棱与底面所成的角为 。
51.设正四棱锥底面长为，高为，则它的斜高为 ；侧面积为 。
52.在正方体中，是正三棱锥的四个顶点，则正方体的全面积是正三棱锥的全面积之比为 .
53.已知正四棱锥的侧面积等于底面积的倍，则它的侧面和底面所成二面角等于 。
54.圆柱底面半径为，高为，其全面积为 。
55.一个圆柱的高为，底面半径为，一个平面截的圆柱的截面为正方形，则这个截面与轴的距离为 。
56．圆柱的轴截面面积为4，则侧面积为____．
57. 圆柱的侧面展开图是边长为和的矩形，则圆柱的表面积_______________．
58.以直角边长为的等腰直角三角形一直角边为轴旋转一周，形成的圆锥的轴截面面积为 ___ 。
59.圆锥的底面半径为，轴截面为直角三角形，圆锥的全面积为 。
60.一个圆锥，底面积不变，高扩大到原来的2倍，体积扩大到原来的 倍。
61.一个圆柱和一个圆锥的底面直径相等，圆锥的高是圆柱的3倍，圆锥的体积是15，则圆柱的体积为_______。
62．圆锥的底面面积为，母线与底面所成的角为60°，其体积为____．
63.如果一个球的半径缩小为原来的一半，则它的表面积缩小为原来的 倍。
64.球心到截面圆心距离为，球的半径为，则截面圆的直径为 。
65.三个球的半径之比为，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的 倍。
66.若与球心距离为的平面截球所得的截面圆的面积是，则球的表面积是 。
67.已知两球的表面积比为9:16，则这两个球的体积比为 。
68.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为4,则这个球的体积为 。
69.已知某球的体积大小等于其表面积大小，则球的半径是 。
70．-个正方体的顶点部在球面上，它的棱长是6cm，则这个球的体积是____．
71.一个正方体的全面积为，它的顶点都在球面上，这个球的表面积为____．
72.已知长方体的长为2，宽为3，高为6，求它的对角线长_______。
73.已知正方体的对角线长为，求它的棱长_________。
三、计算题
1.用符号表示下列语句（1）：若不在直线上（2）直线不在平面内

2．已知A，B是直二面角的棱上两点，线段AC，线段BD，且AC⊥，BD⊥，AC=AB=6，BD=24，求线段CD的长. 【2008年】
3.以等腰直角△ABC的斜边BC上高AD为折痕，使平面ABD与平面ADC互相垂直，求∠BAC．
【2009年】

4．已知正六棱柱的底面边长为，高为，求它的全面积．

5.正三棱柱的侧面积为，高为，求它的体积

6.若正三棱锥的侧棱长于底面边长都是，求该棱锥的高。
7.三棱锥的三条侧棱两两垂直，已知，求该棱锥的体积。
8.已知圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，求它的体积。
9.已知圆柱的底面半径为2，体积为，求圆柱的高与全面积.
10.一个工件由圆柱中间去掉一个圆锥构成，已知圆柱的底面半径为，圆柱的高为，圆锥的高为，求工件的体积。
11．用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得的小圆锥底面与圆锥底面半径的比是1:4，小圆锥的母线长是3cm，求圆锥的母线长．
已知圆锥的底面半径为，它的轴截面是直角三角形，求圆锥的体积。
13.已知圆锥的轴截面是直角三角形，求它的侧面积于底面积之比值。
14.将圆心角为，面积为的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积.
15. 已知球的半径为41cm，一个球的截面与球心的距离为9cm，求该截面的面积．
16.已知正方体各顶点都在球面上，正方体棱长为2，求球的体积。

17.一个球的体积为，该球内切于一个正方体内，求这个正方体的棱长。
四、证明题
1．如图9-05，已知三角形ABC各边所在直线分别与平面交于P、Q、R，求证：P、Q、R共线．
2．如图9-06，O是正方体ABCD--ABCD的上底面ABCD的中心，M是对角线AC和截面BDA的交点。求证：O、M、A三点共线．
3.已知：分别是空间四边形的边的中点，且， 试问：四边形是什么图形，并说明理由。

4.正方体中,分别是棱的中点，求证:∥平面.

5.如图,P—ABCD的底面ABCD是平行四边形，E是PA中点.求证:PC//平面BDE。


6.已知∥，求证：∥。
7.空间四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB.BC,CD,DA上的点，且EFGH是平行四边形，求证：AC//EF.
8.正方体中，求证：平面∥平面.
9.在正方体中，求证：。
10.等腰三角形的底边的中点为，,
求证：.
11.已知平面，垂足分别是，求证：。

12.在空间四边形中，若，为对角线中点，
求证：。
13.如图，ABCD是矩形E是以DC直径的半圆上一点，平面CDE⊥平面ABCD。
求证：CE是AE、BC公垂线。
14.空间四边形中，平面平面，，为的中点，求证：平面平面。
15.四棱锥中，为矩形，平面平面，求证：
16.已知在平面内有平行四边形，是对角线的交点，点在外，且，求证：
如上图，四边形是正方形，为平面外一点，平面，
求证：平面平面
18．圆的直径是AB，PA垂直于圆所在平面，C为圆上不同于A，B的任一点，
求证：平面⊥平面.
P是△ABC所在平面外的一点，PA，PB， PC两两垂直，PH⊥平面ABC，H是垂足．
求证：H是△ABC的垂心.
如图9-27，已知ABCD是矩形，E是以DC为直径的半圆上一 点，平面CDE⊥平面ABCD.
求证：CE是AE、BC的公垂线【2006年】

21.菱形ABCD在平面上，PA⊥，求证：PC⊥BD 【2010年】
22．在正方体，证明：直线AC平面．【2016年】

23．如图所示，矩形ABCD所在的平面与直角三角形ABE所在的平面互相垂直．。
证明：平面平面． 【2019年】
24.如图1所示，在直四棱柱中，AD⊥AB，AD = AB = 1，BC = ，DC = 2，求证：平面⊥平面. 【2020年】
25．如图所示，在直三棱柱中，是边长为4的正方形，，
求证：平面．（请将23题图画在答题卡上，并作答）
26.已知正方体ABCD-ABCD，证明：直线AC与直线AD所成角的余弦值为.【2012年】

27.已知正方体棱长是，求证:三角形为等边三角形. 【2014年】
五、综合题
1．如图，在四棱锥 中， ABCD 是边长为 2 的菱形， ABC= 60° ，
PC ⊥ 底面ABCD ， PC = 2 ， E ， F 分别是 PA ， AB 的中点. 【2018年】
证明： EF∥平面 PBC ；
求三棱锥 E - PBC 的体积.
2．如图，正方体的棱长为 1. 【2017年】
（1）求 与所成的角；
（2）求三棱锥 的体积.

六、判断题
1. 判断题 两条相交直线可以确定一个平 面( ) 【2006年】
2．判断题：如果一平面内有无数条直线与另一平面平行，则这两个平面平行．( ) 【2006年】
3．判断题：平行于同一平面的两条直线平行． ( ) 【2008年】
4. 判断题：过平面外一点P可以作无数条直线与平面平行 ( ) 【2009年】
5．判断题：过直线外一点有无数条直线与该直线平行． ( ) 【2010年】
第九章 立体几何答案
一、选择题
1.C 2. D 3. C 4. B 5. C 6. B 7． D 8． D 9.B 10.C 11. C 12. D 13. C
14. D 15. D 16. D 17.A 18.D 19.D 20.C 21.C 22.D 23.C 24.A 25.A 26.D
27.C 28.C 29.B 30．A 31.D 32．D 33.D 34．D 35.A 36.B 37.C 38.A
39.A 40.C 41．A 42.C 43.C 44.B 45.C 46.A 47.B 48.D 49.C 50.C
51.D 52.A 53.B 54.D 55.C 56.C 57.A 58.A 59.C 60.C 61.D 62.A
63.A 64.B 65.A 66.A 67.D 68.A 69.B
二、填空题
1.平面；立体 2.矩形 3.，2。 4.两 5.这个点
6. 不在同一条直线上 7.这条直线外 8. 相交， 平行 9.，
10. 8 11.且只有一 12. (1) 平行 （2）异面 (3) 平行。13.
14. ； ∥ ； 15. (1) 平行 ；（2）平行 ；(3)相交;(4)在平面内 ;
16. 平行 17. 3 18. 平行 19.∥ 20. 9 21.垂直 22.平行 23.
24.平行或在平面内 25. 26. 27. 28． 29.45
30.30 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37．60°或 QUOTE
38． 39． 40． QUOTE 41． QUOTE 42. 16π 43. 44. 45.；
46. 47． 48. 49. 50.， 51.;
52. 53. 54. 55. 56． 57.
58. 59. ， 60. 61. 62． 63. 64. 65.
66. 67.27:64 68. 69. 70． 71. 72. 73.
三、计算题
1.用符号表示下列语句（1）：若不在直线上（2）直线不在平面内
解：（1）： （2）
2．已知A，B是直二面角的棱上两点，线段AC，线段BD，且AC⊥，BD⊥，AC=AB=6，BD=24，求线段CD的长. 【2008年】
解 由于平面是直二面角，且AC⊥，AC，
所以AC⊥ ，AD 因此CA⊥AD
在直角△ACD中，CD=AC+AD
在直角△ABD中，AD=AB+BD 因此CD==18
3.以等腰直角△ABC的斜边BC上高AD为折痕，使平面ABD与平面ADC互相垂直，求∠BAC．
【2009年】
解 连接BC,由题设∠A=90°，且AB= AC
设AB=AC=，则BD=DC=，由于平面ABD与平面ADC互相垂直．
因此∠BDC=90°，于是BC==
故△ABC是等边三角形，∠BAC=60°
4．已知正六棱柱的底面边长为，高为，求它的全面积．
解: 由题意得，侧面积为，所以 全面积为.
5.正三棱柱的侧面积为，高为，求它的体积
解:设底面边长为 由题意得 侧面积为，
所以 ，体积为.
6.若正三棱锥的侧棱长于底面边长都是，求该棱锥的高。
方法一：利用高、侧棱及其射影组成的直角三角形求.
解: 由题意得，侧棱的射影长为：，
所以 棱锥的高为.
方法二：利用高、斜高及其射影组成的直角三角形求.
解: 由题意得斜高，斜高的射影为：，
所以 棱锥的高为.
7.三棱锥的三条侧棱两两垂直，已知，求该棱锥的体积。
解: 由题意得把作为棱锥的高，三角形作为棱锥底面，，
所以 体积为.
8.已知圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，求它的体积。
解:设底面的半径为，由题意得，，
所以 它的体积为.
9.已知圆柱的底面半径为2，体积为，求圆柱的高与全面积.
解: 由题意得，底面的半径为，它的体积为，
所以.
10.一个工件由圆柱中间去掉一个圆锥构成，已知圆柱的底面半径为，圆柱的高为，圆锥的高为，求工件的体积。
解: 由题意得，圆柱的体积为，圆锥的体积为，
所以. 工件的体积
11．用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得的小圆锥底面与圆锥底面半径的比是1:4，小圆锥的母线长是3cm，求圆锥的母线长．
解 ：设圆锥的母线长为，小圆锥底面与圆锥底面半径分别为,，根据相似三角形的性质得
即=12． 即圆锥母线长为12cm.
12.已知圆锥的底面半径为，它的轴截面是直角三角形，求圆锥的体积。
解: 由题意得，圆锥的母线为，圆锥的高为
所以. 它的体积
13.已知圆锥的轴截面是直角三角形，求它的侧面积于底面积之比值。
解: 由题意得，圆锥的母线为，圆锥的侧面积为，底面积为
所以. 它的侧面积于底面积之比值为
14.将圆心角为，面积为的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积.
解: 由题意得，圆锥的母线为，底半径为，圆锥的侧面积为，底面积为
所以. 它的表面积为
又因为圆锥的高为 所以. 它的体积为
15. 已知球的半径为41cm，一个球的截面与球心的距离为9cm，求该截面的面积．
解: 由题意得，截面半径为，截面的面积为
16.已知正方体各顶点都在球面上，正方体棱长为2，求球的体积。
解: 由题意得，球的直径等于正方体对角线长，，球的半径为
所以 球的体积为
17.一个球的体积为，该球内切于一个正方体内，求这个正方体的棱长。
解: 由题意得，球的体积为，球的半径为 所以 正方体的棱长为
四、证明题
1．如图9-05，已知三角形ABC各边所在直线分别与平面交于P、Q、R，求证：P、Q、R共线．
证明： 设三角形ABC所确定的平面为，直线AP，AQ，BR，
即点P，Q，R∈，又P，Q，R∈，
所以P，Q，R∈∩， 所以P，Q，R共线．
2．如图9-06，O是正方体ABCD--ABCD的上底面ABCD的中心，M是对角线AC和截面BDA的交点。求证：O、M、A三点共线．
证明 ∵AC∩BD=O，BD平面BDA，AC平面AACC ∴O∈平面BDA，O∈平面AACC
∵AC∩平面BDA=M，AC平面AACC．
∴M∈平面BDA，M∈平面AACC
又∵A∈平面BDA，A∈平面AACC，
∴O、M、A都在两个平面BDA和平面AACC的交线上，由公理2可知O、M、A三点共线．
3.已知：分别是空间四边形的边的中点，且，
试问：四边形是什么图形，并说明理由。
解: 四边形是矩形.原因如下：
联结 因为分别是的中点，所以为三角形的中位线，
于是∥，且，同理可得 ∥，且，
因此，∥，且，故四边形是平行四边形.
又因为 所以四边形是矩形.
4.正方体中,分别是棱的中点，求证:∥平面.
证明: 设是的中点,联结
因为分别是的中点，所以为三角形的中位线，
于是，∥，,
又因为，∥，
所以，∥且，故四边形是平行四边形.因此∥.
又因为，平面。平面
因此，∥平面.
5.如图,P—ABCD的底面ABCD是平行四边形，E是PA中点.求证:PC//平面BDE。
证明:联结,交的于 因为分别是的中点，所以为三角形的中位线，于是，∥，
又因为，平面BDE,平面BDE
因此，PC//平面BDE。
6.已知∥，求证：∥。
证明: 因为，,∥，所以，∥，
又因为，，所以∥.
7.空间四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB.BC,CD,DA上的点，且EFGH是平行四边形，
求证：AC//EF.
证明: 因为，EFGH是平行四边形，所以，∥
又因为，平面,平面，所以，∥平面，
又因为，平面，平面平面，所以，AC//EF.
8.正方体中，求证：平面∥平面.
证明: 由题意得 ∥
所以 是平行四边形，所以，∥
又因为，平面,平面，
所以，∥平面， 同理 ∥平面，
又因为，平面，且，所以，平面∥平面.
9.在正方体中，求证：。
方法一：已知线面垂直推出线线垂直；然后，线线垂直推出线面垂直，再线面垂直推出线线垂直.
证明: 由题意得联结
因为平面平面，
所以， 又因为是平面相交直线。
所以，平面，又因为，平面，
所以，.
方法二：已知线面垂直推出面面垂直；然后，面面垂直推出线面垂直，再线面垂直推出线线垂直.
证明: 因为平面平面， 所以 平面平面ABCD交线为，
又因为为正方形，所以，因为平面ABCD，所以，.
又因为，平面， 所以，.
10.等腰三角形的底边的中点为，,求证：.
方法一：已知线面垂直推出线线垂直；然后，线线垂直推出线面垂直，再线面垂直推出线线垂直.
证明: 因为等腰三角形的底边的中点为，所以
因为,平面，
所以， 又因为，是平面相交直线,
所以，平面，又因为，平面， 所以，.
方法二：已知线面垂直推出面面垂直；然后，面面垂直推出线面垂直，再线面垂直推出线线垂直.
证明: 因为,平面，所以平面平面交线为，
又因为等腰三角形的底边的中点为，所以又因为平面
所以，平面，又因为，平面， 所以，.
11.已知平面，垂足分别是，求证：。
方法：已知线面垂直推出线线垂直；然后，线线垂直推出线面垂直.
证明: 因为平面，,所以
同理 又因为，是平面相交直线, 所以，.
12.在空间四边形中，若，为对角线中点，
求证：。
方法：已知线线垂直推出线面垂直；然后，线面垂直推出面面垂直.
证明 ∵AB=AD，K为BD中点 ∴AK⊥BD
同理CK⊥BD，且AK∩KC=K ∴BD⊥平面AKC
∵平面， ∴
13.如图，ABCD是矩形E是以DC直径的半圆上一点，平面CDE⊥平面ABCD。
求证：CE是AE、BC公垂线。
方法：已知面面垂直推出线面垂直；然后，线面垂直推出线线垂直；线线垂直推出线面垂直；线面垂直推出线线垂直.
证明：因为ABCD是矩形，所以AD⊥DC，BC⊥DC
又平面CDE⊥平面ABCD交于DC，所以AD⊥平面CDE，BC⊥平面CDE
所以AD⊥CE，BC⊥CE
由于∠DEC是圆的直径所对的圆周角，所以CE⊥DE AD∩DE=D
所以CE⊥平面ADE 又因为平面ADE 所以CE⊥AE
故CE是AE、BC的公垂线
14.空间四边形中，平面平面，，为的中点，求证：平面平面。
方法：已知面面垂直推出线面垂直；然后，线面垂直推出面面垂直.
证明: 因为，为的中点，所以
因为平面平面，交线为,平面ABC
所以
又因为平面， 所以，平面平面.
15.四棱锥中，为矩形，平面平面，求证：
方法：已知面面垂直推出线面垂直；然后，线面垂直推出线线垂直.
证明: 因为为矩形，所以
因为平面平面，交线为,平面ABCD
所以
又因为平面， 所以，.
16.已知在平面内有平行四边形，是对角线的交点，点在外，且，求证：
方法：已知线面垂直推出线线垂直；然后，线线垂直推出线面垂直.
证明 ∵PA=PC，O为AC中点 ∴PO⊥AC
同理PO⊥BD，且AC∩BD=O ∴PO⊥平面ABCD
∴
17.如上图，四边形是正方形，为平面外一点，平面，求证：平面平面
方法一：已知线面垂直推出线线垂直；然后，线线垂直推出线面垂直，再线 面垂直推出面面垂直.
证明: 因为为正方形，所以
因为平面，平面ABCD
所以
又因为，是平面相交直线,
所以，.又因为平面，所以 平面平面
方法二：已知线面垂直推出面面垂直；然后，面面垂直推出线面垂直，再线面垂直推出面面垂直.
证明: 因为平面，平面PAC 所以 平面平面ABCD
又因为为正方形，所以且平面ABCD，
所以，.
又因为平面，所以 平面平面
18．圆的直径是AB，PA垂直于圆所在平面，C为圆上不同于A，B的任一点，
求证：平面⊥平面.
方法一：已知线面垂直推出线线垂直；然后，线线垂直推出线面垂直，再线 面垂直推出面面垂直.
证明: 因为圆的直径是AB，C为圆上不同于A，B的任一点，
所以
因为平面，平面ABC
所以,
又因为是平面相交直线,
所以，.
又因为平面，
所以 平面平面
方法二：已知线面垂直推出面面垂直；然后，面面垂直推出线面垂直，再线面垂直推出面面垂直.
证明: 因为平面，平面PAC 所以 平面平面ABC交线是
因为圆的直径是AB，C为圆上不同于A，B的任一点，所以且平面ABC，
所以，.又因为，所以 平面平面
19．P是△ABC所在平面外的一点，PA，PB， PC两两垂直，PH⊥平面ABC，H是垂足．求证：H是△ABC的垂心.
方法：已知线面垂直推出线线垂直；然后，线线垂直推出线面垂直，再线 面垂直推出面面垂直.
证明 连接BH,∵BP⊥PA BP⊥PC ∴BP⊥面PAC，因为AC平面PAC ∴BP⊥AC
又因为PH⊥平面ABC，因为AC平面ABC,所以PH⊥AC
又因为BP和PH为平面PBH相交直线
∴AC⊥面PBH，因为BH平面PBH, ∴BH⊥AC. 同理可证CH⊥AB
综上可知H是△ABC的垂心
20.如图9-27，已知ABCD是矩形，E是以DC为直径的半圆上一 点，平面CDE⊥平面ABCD.求证：CE是AE、BC的公垂线【2006年】
方法：已知面面垂直推出线面垂直；然后，线面垂直推出线线垂直；线线垂直推出线面垂直；线面垂直推出线线垂直.
证明：因为ABCD是矩形，所以AD⊥DC，BC⊥DC
又平面CDE⊥平面ABCD交于DC，所以AD⊥平面CDE，BC⊥平面CDE
所以AD⊥CE，BC⊥CE
由于∠DEC是圆的直径所对的圆周角，所以CE⊥DE AD∩DE=D
所以CE⊥平面ADE 又因为平面ADE 所以CE⊥AE
故CE是AE、BC的公垂线
21.菱形ABCD在平面上，PA⊥，求证：PC⊥BD 【2010年】
证明 如图9-28，连接AC．ABCD是菱形，所以BD⊥AC．
PA⊥，所以BD⊥PA，
∴BD⊥平面PAC．
又因为PC在平面PAC上， 所以PC⊥BD．
22．在正方体，证明：直线AC平面．【2016年】
证明：连接BD、。在正方体中，
∵⊥平面，平面
∴⊥
正方形中，对角线与互相垂直平分
∴⊥
在平面内, ∩= B,
∴直线AC平面．
23．如图所示，矩形ABCD所在的平面与直角三角形ABE所在的平面互相垂直．
证明：平面平面． 【2019年】
证明：∵矩形ABCD
∴AD⊥AB
∵平面ABE⊥平面ABCD．且平面ABE∩平面ABCD=AB．
∴AD⊥平面ABE,又∵BE QUOTE 平面ABE
∴AD⊥BE
又∵AE⊥BE，AD QUOTE 平面ADE，AE QUOTE 平面ADE
∴BE⊥平面ADE，
∵BE QUOTE 平面BCE，
∴平面平面
24.如图1所示，在直四棱柱中，AD⊥AB，AD = AB = 1，BC = ，DC = 2，
求证：平面⊥平面. 【2020年】
证明：∵，AD=AB=1,
∴在Rt△ABD中， QUOTE
又∵在△BCD中，BC=BD=，DC = 2，
∴ QUOTE
∴ △ABD为 Rt△ABD，BC⊥BD
在直四棱柱中，BB1⊥平面ABCD, BD QUOTE 平面ABCD，
又∵在平面BCC1B1内，BC∩BB1=B
∴ BD⊥平面BCC1B1
又∵ BD QUOTE 平面BDD1B1
∴ 平面⊥平面.
25．如图所示，在直三棱柱中，是边长为4的正方形，，
求证：平面．（请将23题图画在答题卡上，并作答）【2021年】
证明：∵是边长为4的正方形，
∴AC=4，
在△ABC内，
∴ QUOTE
∴ △ABC为 Rt△ABC，AC⊥AB
在直三棱柱中，AA1⊥平面ABC, AC QUOTE 平面ABC
∴ AA1⊥AC,
在平面中，AA1∩AB=A，
∴平面
26.已知正方体ABCD-ABCD，证明：直线AC与直线AD所成角的余弦值为.【2012年】
证明 在正方体ABCD--ABCD中，AD∥AD，
因此，直线直线AD所成角就是直线AC与直线AD所成角的大小，
连结DC，∵AD⊥平面DCCD
∴AD⊥DC
∴△ACD是直角三角形，∠ADC=90°.
在正方体ABCD--ABCD中，对角线

即直线AC与直线AD所成角的余弦值为.
27．已知正方体棱长是，求证:三角形为等边三角形. 【2014年】
证明 在正方体ABCD--ABCD中，设边长为a
在Rt△ABC中，AC QUOTE ，
同理，AB = BC = QUOTE
∴△ABC为等边三角形
综合题
1．如图，在四棱锥 中， ABCD 是边长为 2 的菱形， ABC=60 ，
PC ⊥底面ABCD ， PC = 2 ， E ， F 分别是 PA ， AB 的中点. 【2018年】
（1）证明： EF∥平面 PBC ；
（2）求三棱锥 E - PBC 的体积.
证明：（1）因为E、F分别是PA、PB的中点，所以EF∥PB，
又∵EF平面PBC, PB QUOTE ? ?平面PBC,
∴EF∥平面PBC,
(2)连接AC，取AC得中点O，连接OE，
∵O、E分别为AC、PA的中点
∴OE∥PC，又∵PC  底面ABCD
∴OE⊥平面ABCD
∴ QUOTE
2．如图，正方体的棱长为 1. 【2017年】
（1）求 与所成的角；
（2）求三棱锥 的体积.
证明：（1） 在正方体ABCD--ABCD中，AA∥BB∥CC, AA=BB=CC
∴四边形AACC为平行四边形
∴AC∥AC
∴∠BAC即为AC与AB所成的角
又∵正方体边长为1
在Rt△ABC中，AC QUOTE ，
同理，AB = BC = QUOTE
∴△ABC为等边三角形
∴∠BAC=60°
（2）因为三棱锥 与三棱锥相同.
∵BB⊥平面
∴ QUOTE
六、判断题
1. √ 2.× 3. × 4. √5. ×教材名称（完整全称）
数学（基础模块）下册
教材ISBN号
978-7-04-049893-6
主编
李广全 李尚志
出版社
高等教育出版社
命题范围
教材第83页至第124页 第九章 立体几何