60，北京二中教育集团2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

这是一份60，北京二中教育集团2023-2024学年七年级下学期期中数学试题，共23页。试卷主要包含了考试结束，将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。
考生须知
1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共14页；其中第Ⅰ卷2页，第Ⅱ卷6页，答题卡6页．全卷共三大题，28道小题．
2．本试卷满分100分，考试时间100分钟．
3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号．
4．考试结束，将答题卡交回．
第Ⅰ卷（选择题共16分）
选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分：共16分）
1. 下列各数，是无理数的是（ ）
A. 3.14B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查无理数的识别，根据无理数是无限不循环小数，进行判断即可．
【详解】解：3.14，，，四个数中，是无理数，其它三个是有理数；
故选B．
2. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查开方运算，根据平方根和算术平方根的定义，逐一进行计算即可．
【详解】解：A、，选项计算错误；
B、，选项计算错误；
C、，选项计算正确；
D、没有意义，选项计算错误；
故选C．
3. 若，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D. 该试卷源自 每日更新，享更低价下载。【答案】D
【解析】
【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、当为正，为负，且时，，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、当时，，故选项错误；
D、，故选项正确；
故选D．
4. 若是二元一次方程的解，则的值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程的解，把代入方程进行求解即可．
【详解】解：把代入，得：，
解得：；
故选A．
5. 如图，直线，相交于点O，于点O，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查角的和差运算，解题的关键是熟练运用对顶角的性质以及垂直的定义，根据垂直的定义得到，从而求出，再利用对顶角的性质即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
6. 若关于的不等式的解集如图所示，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查根据不等式的解集求参数，用数轴表示不等式的解集，先解不等式，根据数轴确定解集，进一步求出参数的值即可．
详解】解：∵，
∴，
由数轴可知：，
∴，
∴；
故选A．
7. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 同位角相等
B. 垂直于同一条直线的两条直线平行
C. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D. 平行于同一条直线的两条直线平行
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查命题真假的判断，解题的关键是掌握平行线判定的一般方法．根据平行线的判定和性质逐项判断即可．
【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，原说法是假命题，不符合题意；
B、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，原说法是假命题，不符合题意；
C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法是假命题，不符合题意；
D、平行于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题，符合题意．
故选：D．
8. 已知关于的二元一次方程组，下列结论中正确的个数是（ ）
①当这个方程组的解的值互为相反数时，．
②方程组的解也是关于的方程的解．
③无论取什么实数，的值始终等于．
④若用表示，则．
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查二元一次方程组的解法和应用，正确地解出方程组的解是解决问题的关键．①令，即可求出的值，验证即可，②根据得，，计算并比较即可；③解方程组可求出方程组的解，再代入求值即可，④用含有、的代数式表示，进而得出、的关系．
【详解】解：①当方程组的解，的值互为相反数时，即时，即，
，故①正确；
②关于，的二元一次方程组，
得，，
∴，
∴方程组的解也是关于的方程的解，故②正确；
③关于，的二元一次方程组，
得，，
解得：，
把代入①得：，
解得：；
，故③正确；
④方程组，
由方程①得，，
把代入方程②得，，
整理得：，故④错误．
∴正确的个数是3个
故选：B．
第Ⅱ卷（非选择题共84分）
二、填空题（每题2分，共16分）
9. 5的平方根是_________．
【答案】
【解析】
【详解】解：5的平方根是±．
故答案是：±．
【点睛】考点：平方根．
10. 将命题“对顶角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为如果_______，那么________．
【答案】 ①. 两个角是对顶角 ②. 它们相等
【解析】
【分析】本题考查了命题与定理的知识，命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是它们相等，应放在“那么”的后面．
【详解】解：题设为：对顶角，结论为：相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等；
故答案为：两个角是对顶角，它们相等．
11. 如果，那么__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查非负数，实数的运算，根据非负性，求出的值，代入代数式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
12. 如图，将三角形向右平移得到三角形，如果三角形的周长是，四边形的周长是，那么三角形向右平移了__________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查平移的性质，根据平行的性质，对应边相等，平移距离相等，结合已知条件求出的长即可．
【详解】解：∵将三角形向右平移得到三角形，
∴，
∵三角形的周长是，四边形的周长是，
∴，，
∴，
∴，即：三角形向右平移了；
故答案为：2．
13. 若一个正数的平方根为和，则这个正数是__________．
【答案】49
【解析】
【分析】本题主要考查的是平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键．根据正数的两个平方根互为相反数列出关于x的方程，解之可得．
详解】解：根据题意知，
解得：，
∴，
∴这个正数是，
故答案为：49．
14. 科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146毫克．设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为毫克，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为毫克．依据题意，可列方程组为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查根据实际问题列方程组，根据一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146毫克，列出方程组即可．
【详解】解：设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为毫克，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为毫克，由题意，得：
；
故答案为：．
15. 若关于的不等式的每一个解都能使成立，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求不等式的解集，先求出每一个不等式的解集，再根据两个解集之间的关系，求出的取值范围即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵不等式的每一个解都能使成立，
∴，
∴；
故答案为：．
16. 比较代数式的值与0的大小，可以根据乘法法则：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定来判断．
当时，
当时，
当时，
综上：当时，
当或时，
根据以上阅读材料，运用你发现的规律，写出当满足__________时，．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查求不等式的解集，根据积为负，得到负因数的个数为奇数个，进行求解即可．
【详解】解：当时，
∴；
当时，
∴，
当时：
∴，
当时：
∴；
综上：或；
故答案为：或．
三、解答题（共68分，其中第17-21、23题每题5分，第22、24、25、26题每题6分，第27、28题每题7分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据算术平方根定义，立方根定义，绝对值的意义进行求解即可．
【详解】解：
．
18 解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】利用加减消元法，进行计算即可解答．
【详解】解：，
①得：
③，
②③得：
，
把代入①得：
，
解得：，
原方程组的解为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
19. 解不等式，并把它的解集表示在数轴上．
【答案】，图见解析
【解析】
【分析】本题考查求不等式的解集，用数轴表示不等式的解集。去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，求出不等式的解集，进而在数轴上表示出解集即可。
【详解】解：，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，合并，得：，
系数化1，得：；
数轴表示解集如图：
20. 解不等式组，并写出它的所有整数解．
【答案】；整数解为、、0、
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后写出整数解即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴不等式组的整数解为、、0、．
21. 如图，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点和点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）．
（1）平移三角形，使点平移到点（点平移到点，点平移到点），画出平移后的三角形；
（2）过点作，点在格点上；
（3）过点作的垂线段，
（4）三角形的面积__________；
（5）的依据是：__________．
【答案】（1）图见解析
（2）图见解析 （3）图见解析
（4）4 （5）垂线段最短
【解析】
【分析】本题考查平移作图，画垂线段，垂线段最短，求三角形的面积：
（1）利用平移的性质，画出三角形即可；
（2）利用平移作出平行线即可；
（3）根据垂线段的定义，画出即可；
（4）直接利用面积公式进行计算即可；
（5）根据垂线段最短，作答即可．
【小问1详解】
如图：三角形即为所求；
【小问2详解】
如图：即为所求；
【小问3详解】
如图：即所求；
【小问4详解】
三角形的面积；
故答案为：4；
【小问5详解】
的依据是：垂线段最短；
故答案为：垂线段最短．
22. 如图，分别是三角形边上的点，．
求证：．
证明：（已知），
又（__________），
（等量代换），
（__________），
__________（__________），
（已知），
__________（等量代换），
（__________）．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定和性质，结合角之间的转化，进行作答即可．
【详解】证明：（已知），
又（对顶角相等），
（等量代换），
（同旁内角互补，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等），
（已知），
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行）．
23. 若关于的二元一次方程组的解满足，求的最小整数解．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查解二元一次方程组，求不等式的整数解，先求出方程组的解，根据解的情况列出不等式，求解即可．
【详解】解：解，得：，
∵，
∴，
∴，
∴的最小整数解为：3．
24. 北京二中成立于1724年，今年我校迎来300年华诞．为此学校开展了丰富多彩的校庆活动，其中一项就是为校友准备打卡盖章手册．现有甲、乙两种设计方案的手册．若买甲种手册200本，乙种手册100本，需用1000元，买甲种手册200本比买乙种手册100本多花200元．
（1）求甲、乙两种手册单价各多少元？（列方程组解答）
（2）学校更青睐于乙种手册的设计方案，若购买甲种手册超过500本可以免费赠50本，购买乙种手册有七折促销活动，学校至少购买多少本手册，才能使购买乙种手册更为划算？（列不等式解答）
【答案】（1）甲、乙两种手册的单价分别为元和元；
（2）至少购买册时，才能使购买乙种手册更为划算
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）设甲、乙两种手册的单价分别为元，元，根据买甲种手册200本，乙种手册100本，需用1000元，买甲种手册200本比买乙种手册100本多花200元，列出方程组进行求解即可；
（2）设学校购买本手册，根据购买乙种手册更为划算，列出不等式进行求解即可．
【小问1详解】
解：设甲、乙两种手册的单价分别为元，元，由题意，得：
，解得：；
答：甲、乙两种手册的单价分别为元和元；
【小问2详解】
设学校购买本手册，
∵购买乙种手册有七折促销活动，
∴乙种手册每本的价格为，
∴当时，买乙种手册划算；
当时，买甲种手册划算；
当时，，解得：，
即：至少购买册时，才能使购买乙种手册更为划算；
答：至少购买册时，才能使购买乙种手册更为划算．
25. 已知：如图，于；求证：于．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质、判定和垂直定义，解答此题的关键是灵活运用平行线的性质和判定定理，以及等量代换的运用，是一个基础题．根据平行线的判定证明，证明，得出，证明，根据，得出，即可证明结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
26. 我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出结果的吗？
按照下面的方法试一试：
（1）①由，可以确定是__________位数；
②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是__________；
③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是__________，由此求得__________．
（2）按照上述方法，直接写出389017的立方根__________．
【答案】（1）①两；②9；③3；39
（2）73
【解析】
【分析】本题考查求一个数的立方根，根据已知内容进行类比探究是解答问题的关键．
（1）根据题意，提供的思路和方法，进行推理验证得出答案；
（2）根据（1）的方法、步骤，类推出相应的结果即可．
【小问1详解】
解：①∵，，，
∴，
∴可以确定是两位数，
故答案为：两；
②由的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是9，
故答案为：9；
③∵，，，
∴，
∴可以确定的十位上的数是3，
∴求得
故答案为：3；39．
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴可以确定是两位数，
∵389017的个位数字是7，
∴可以确定的个位数字是3，
∵，
∴，
∴可以确定的十位上的数是7，
∴求得
故答案为：73．
27. 已知：为平面内点．
（1）如图1，连接，已知 ；
（2）如图2，求证：；
（3）如图3，当点在直线之间时，于平分，连接，使，设，直接写出与之间的数量关系．
【答案】（1）150 （2）见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）过点P作，根据，得出，根据平行线的性质求出结果即可；
（2）过点作，则，根据平行线的性质可得，，又，即可得出；
（3）分两种情况进行讨论：当点P在点A的左侧时，当点P在点A的右侧时，分别画出图形，求出结果即可．
【小问1详解】
解：过点P作，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：150；
【小问2详解】
证明：过点作，
∵，
∴
，，
，
，
，
即；
【小问3详解】
解：当点P在点A的左侧时，过点P作，，如图所示：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴
，
∴，
∴，
整理得：；
当点P在点A的右侧时，过点P作，，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
，
∴
，
即，
∴．
综上分析可知：或．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，垂线定义，平行公理的应用，以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用．
28. 对于数轴上两个点，给出如下定义：如果点到点的距离为点到点的距离的2倍，那么称点是点的2倍点．已知：点为数轴原点，点表示的数为1．
（1）点是点的2倍点，则点表示的数是__________；
（2）点表示的数为（点在点右侧），点表示的数为．若点是点的2倍点，点到点的距离为，求的值；
（3）如图，线段上存在点的2倍点，直接写出点所表示的数的取值范围．
【答案】（1）或
（2）
（3）或．
【解析】
【分析】本题考查了数轴上表示有理数以及两点间的距离，二元一次方程组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据“2倍点”的定义进行列式，计算即可作答．
（2）先得出，再根据题意列出，再解答即可作答．
（3）分别以点E和F为D的2倍点，来确定数的取值范围，列式计算，即可作答．
【小问1详解】
解：∵点为数轴原点，点表示的数为1，点是点的2倍点，
∴
∴
∴点表示的数是或；
【小问2详解】
解：∵点是点的2倍点, 点表示的数为（点在点右侧），
∴
∴
解得
∴
【小问3详解】
解：∵线段上存在点的2倍点，且从数轴得出点和点表示的数为和
∴当点E为点的2倍点，
则
∴
则或
解得或；
∴当点F为点的2倍点，
则
∴
则或
解得或；
∴点D在点右侧，则；
∴点D在点左侧，则；
∴数的取值范围为或．