61，福建省福州第十八中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份61，福建省福州第十八中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共28页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
满分：150分 完卷时间：120分钟
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形判定方法对各个选项进行判断即可．
【详解】A、不可以得到两组对角分别相等，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
B、不可以得到两组对边分别平行，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
C、根据：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
2. 与y轴交于点的直线是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别求解每个选项的一次函数与y轴的交点，从而可得答案．
【详解】解：由可得：当 则
∴ y轴交于，故A符合题意；该试卷源自 每日更新，享更低价下载。由可得：当 则
∴ y轴交于，故B不符合题意；
由可得：当 则
∴ y轴交于，故C不符合题意；
由可得：当 则
∴ y轴交于，故D不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查的是一次函数与y轴的交点，掌握“求解一次函数与y轴的交点坐标”是解本题的关键．
3. 15名学生演讲赛的成绩各不相同，若某选手想知道自己能否进入前8名，则他不仅要知道自己的成绩，还应知道这15名学生成绩的（ ）
A. 平均数B. 众数C. 方差D. 中位数
【答案】D
【解析】
【分析】15人成绩的中位数是第8名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【详解】解：由于总共有15个人，且他们的分数互不相同，第8名的成绩是中位数，要判断是否进入前8名，故应知道中位数的多少．
故选：D．
【点睛】本题考查统计量的选择，解题的关键是明确题意，选取合适的统计量．
4. 如图，四边形为菱形，，两点的坐标分别是，，点，在坐标轴上，则菱形的周长等于（ ）
A. B. C. D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出AB的长，进而求出菱形的周长．
【详解】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（2，0），（0，1），
∴AO=2，OB=1，ACBD
∴由勾股定理知：
∵四边形为菱形
∴AB=DC=BC=AD=
∴菱形的周长为：．
故选C．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质，勾股定理以及坐标与图形的性质，得出AB的长是解题关键．
5. 下列有关一次函数的说法中，正确的是（ ）
A. 的值随着值的增大而增大
B. 函数图象与轴的交点坐标为
C. 当时，
D. 函数图象经过第二、三、四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数的性质可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：一次函数的函数图像如图，
A、∵k=-4＜0，∴当x值增大时，y的值随着x增大而减小，故选项A不正确，不符合题意；
B、当x=0时，y=-2，函数图象与y轴的交点坐标为（0，-2），故选项B不正确，不符合题意；
C、当x＞0时，，故选项C不正确，不符合题意；
D、∵k＜0，b＜0，图象经过第二、三、四象限，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数的性质，解答的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
6. 在给定的一组数据0，1，2，2，3，4中，再添加入一个新数据2，则下列统计量中，发生变化的是（ ）
A. 平均数B. 众数C. 中位数D. 方差
【答案】D
【解析】
【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可．
【详解】解：A. 原来数据的平均数是，添加数字2后平均数为，故A与要求不符；
B. 原来数据的众数是2，添加数字2后众数仍为2，故B与要求不符；
C. 原来数据的中位数是，添加数字2后中位数仍为2，故C与要求不符；
D. 原来数据的方差，
添加数字2后的方差，故方差发生了变化，故D与要求相符；
故选D．
【点睛】本题考查统计量的选择，解题的关键是掌握统计量的选择的使用方法．
7. 正比例函数的图象在第二、四象限，则一次函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正比例函数图象所经过的象限判定，由此可以推知一次函数的图象的大致情况．
【详解】∵正比例函数的图象在第二、四象限，
∴，
∴一次函数的图象与y轴交于正半轴，且经过第一、三象限．
观察选项，只有A选项正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，牢记“k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限”是解题的关键．
8. 顺次连接矩形各边中点所得四边形必定是（ ）
A. 平行四边形B. 菱形C. 正方形D. 矩形
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中位线的性质，矩形的性质，菱形的判定；连接、，根据三角形中位线的性质，矩形的性质可得，进而即可求解．
【详解】解：如图，连接、，
、、、分别是矩形的、、、边上的中点，
，（三角形的中位线等于第三边的一半），
矩形的对角线，
，
四边形是菱形．
故选B．
9. 在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式，则下列说法错误的是（ ）
A. 样本的方差是2B. 样本的中位数是3
C. 样本的众数是3D. 样本的平均数是3
【答案】A
【解析】
【分析】先根据方差的计算公式得出样本数据，样本平均数，方差，再根据中位数与众数的定义逐项判断即可得．
【详解】解：由方差的计算公式得：这组样本数据为，
∴样本的平均数是，故D正确，不符合题意；
∴
，故A错误，符合题意；
样本的中位数是，故B正确，不符合题意；
样本的众数是3，故C正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了中位数与众数的定义、平均数与方差的计算公式等知识点，依据方差的计算公式正确得出各统计量是解题关键．
10. 甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中甲、乙两人之间的距离(米)与乙出发的时间x(秒)之间的函数关系如图所示，正确的个数为（ ）
①乙的速度为5米/秒；
②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米；
③甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是；
④乙到达终点时，甲距离终点还有68米．
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】利用乙用80秒跑完400米求速度可判断①；利用甲先走3秒和12米求出甲速度，根据乙追甲相差12米求时间=12秒再求距起点的距离可判断②；利用两人间距离列不等式5（t-12）-4(t-12)32，和乙到终点，甲距终点列不等式4 t+12400-32解不等式可判断③；
根据乙到达终点时间，求甲距终点距离可判断④即可
【详解】解：①∵乙用80秒跑完400米
∴乙的速度为=5米/秒；
故①正确；
②∵乙出发时，甲先走12米，用3秒钟，
∴甲的速度为米/秒，
∴乙追上甲所用时间为t秒，
5t-4t=12，
∴t=12秒，
∴12×5=60米，
∴离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点60米；
故②不正确；
③甲乙两人之间的距离超过32米设时间为t秒，
∴5（t-12）-4(t-12)32，
∴t44，
当乙到达终点停止运动后，
4 t+12400-32，
∴t89，
甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是；
故③正确；
④乙到达终点时，
甲距终点距离为：400-12-4×80=400-332=68米，
甲距离终点还有68米．
故④正确；
正确的个数为3个．
故选择B．
【点睛】本题考查一次函数的图像应用问题，仔细阅读题目，认真观察图像，从图像中获取信息，掌握一次函数的图像应用，列不等式与解不等式，关键是抓住图像纵轴是表示两人之间的距离，横坐标表示乙出发时间，拐点的意义是解题关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 在中，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平行四边形的对角相等、邻角互补即可得出的度数．
【详解】解：如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质以及平行线的性质；解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角互补的性质．
12. 使函数有意义的的取值范围是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式的被开方数是非负数，据此列出关于x的不等式，解不等式即可．
【详解】解：根据题意，得：
，
解得：．
故答案为：．
13. 某学校把学生的期末测试、实践能力两项成绩分别按60%，40%的比例计入学期总成绩，小明期末测试的得分是90分，实践能力的得分是80分，则小明的学期总成绩是___分．
【答案】86
【解析】
【分析】直接利用加权平均数的计算公式计算即可．
【详解】解：根据题意，得
小明的学期总成绩是（分）
故答案为：86．
【点睛】此题考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算公式是解答此题的关键．
14. 某队从A，B两名选手中选取一名参加比赛，为此对这两名队员进行了五次测试，测试成绩如图所示，我们可以判断__________选手的成绩更稳定．（填A或B）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查折线统计图的意义和制作方法，平均数、方差，掌握平均数和方差的计算方法是正确解答的关键．根据折线统计图中的数据，分别计算选手、选手五次成绩的平均数和方差，做出判断即可．
【详解】选手成绩的平均数为：，
选手成绩的平均数为：，
选手成绩的方差为：，
选手成绩的方差为：，
，
选手的成绩比较稳定．
故答案为：．
15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A是直线y=-3x上的一点，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为边向左侧作正方形ABCD，若点D在直线y=kx上，则k的值为_______．
【答案】或-
【解析】
【分析】设A（m，-3m），根据正方形的性质，可得D（m-|3m|，-3m），分两种情况：m＞0，m＜0，将点D坐标代入y=kx，即可求出k的值．
【详解】解：设A（m，-3m），
根据题意，得正方形ABCD的边长为|3m|，
∴D（m-|3m|，-3m），
当m＞0时，D（-2m，-3m），
将点D（-2m，-3m）代入y=kx，
得-2mk=-3m，
解得k=；
当m＜0时，D（4m，-3m），
将点D坐标代入y=kx，
得4mk=-3m，
解得k=-，
故答案为：或-．
【点睛】本题考查了一次函数，涉及一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，注意分情况讨论是关键．
16. 如图，先有一张矩形纸片点分别在矩形的边上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论：
②四边形是菱形；
③重合时，；
④的面积的取值范围是
其中正确的是_____（把正确结论的序号都填上）．
【答案】②③
【解析】
【分析】先判断出四边形是平行四边形，再根据翻折的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出②正确；假设得，进而得，这个不一定成立，判断①错误；点与点重合时，设，表示出，利用勾股定理列出方程求解得的值，进而用勾股定理求得，判断出③正确；当过点时，求得四边形的最小面积，进而得的最小值，当与重合时，的值最大，求得最大值便可．
【详解】如图1，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，故②正确；
若，则
，这个不一定成立，
故①错误；
点与点重合时，如图2，
设则
在
即
解得
,
,
，
,
故③正确；
当过点时，如图3，
此时，最短，四边形的面积最小，则最小为，
当点与点重合时，最长，四边形的面积最大，则最大为，
，
故④错误．
故答案为②③．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理和性质定理、勾股定理是解本题的关键．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 如图，在中，E，F为边上的两点，，．求证：
（1）．
（2）平行四边形是矩形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了矩形判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．
（1）由平行四边形的性质得，即可得出；
（2）由全等三角形的性质和平行四边形的性质证出，即可得出平行四边形是矩形．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，
∵，，
∴；
【小问2详解】
证明：∵，
，
四边形是平行四边形，
∴，
，
，
平行四边形是矩形．
18. 已知与成正比例，且时，
（1）求y与x的函数表达式；
（2）点在该函数图象上，求点M的坐标．
【答案】（1）
（2）点M的坐标为
【解析】
【分析】（1）利用正比例函数的定义，设，然后把已知的对应值代入求出即可；
（2）把代入（1）中的解析式得到关于的方程，然后解方程即可．
【小问1详解】
设与的表达式为，
把时，代入得，
解得，
∴与的关系式为，
即；
【小问2详解】
∵点在该函数图象上，
∴，
解得，
∴点的坐标为．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：一次函数，则需要两组的值．也考查了一次函数的性质．
19. 求证：一组对边平行且一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】利用证明，得出，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，证明结论即可．
【详解】已知：如图，在四边形中，；

求证：四边形为平行四边形；
证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明．
20. 如图表示一个正比例函数与一个一次函数的图象，它们交于点，一次函数的图象与x轴交于点D，与y轴交于点B，且．
（1）求这两个函数的关系式；
（2）两直线与x轴围成的三角形的面积．
【答案】（1）正比例函数是；一次函数解析式是
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了用待定系数法求函数解析式和一次函数图象的性质、勾股定理、三角形面积的计算；
（1）设正比例函数是，设一次函数是．根据它们交于点，得到关于的方程和关于、的方程，从而首先求得的值；根据勾股定理求得的长，从而得到的长，即可求得的值，再进一步求得值．
（2）求出点的坐标，即可得出结果．
【小问1详解】
设正比例函数是，设一次函数是．
把代入得：，即．
则正比例函数是；
把代入，
得：①．
，
根据勾股定理得，
，
．
把代入①，得．
则一次函数解析式是．
【小问2详解】
对于，当时，，
则，
两直线与轴围成三角形的面积．
21. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．
（1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
（2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为W元．超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】（1）每个甲种粽子的进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元
（2）购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为466元
【解析】
【分析】本题考查一次函数和分式方程的应用以及一元一次不等式的应用；
（1）设每个甲种粽子的进价为元，则每个乙种粽子的进价为元，根据用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同，列出方程，解方程即可，注意验根；
（2）根据总利润甲、乙两种粽子利润之和列出函数解析式，根据甲种粽子个数不低于乙种粽子个数的2倍求出的取值范围，再根据函数的性质求最值，并求出相应的方案．
【小问1详解】
设每个甲种粽子的进价为元，则每个乙种粽子的进价为元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的根，
此时，
答：每个甲种粽子的进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元；
【小问2详解】
设购进甲种粽子个，则购进乙种粽子个，
根据题意得：，
与的函数关系式为；
甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，
，
解得，
为正整数）；
∵，，为正整数，
当时，有最大值，最大值为466，
此时，
购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为466元．
22. 如图，，平分，且交于点C．
（1）作的角平分线交于点F（要求：尺规作图，不写作法和结论，保留作图痕迹）；
（2）根据（1）中作图，连接，若，，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决此类问题的关键．也考查了菱形的判定．
（1）利用基本作图作的平分线即可；
（2）先证明得到，再证明，则，于是可判断四边形为平行四边形，然后利用可判断四边形是菱形，再根据菱形的性质求面积即可．
【小问1详解】
如图，为所作；
【小问2详解】
平分，
，
∵，
，
，
，
同理可得，
，
而，
四边形为平行四边形，
，
四边形是菱形．
∴，，，，
∴，
∴
∴四边形面积为．
23. 本学期开学初，学校体育组对九年级某班50名学生进行了跳绳项目的测试，根据测试成绩制作了下面两个统计图．
根据统计图解答下列问题：
（1）本次测试的学生中，得4分的学生有多少人
（2）本次测试的平均分是多少分中位数是多少众数是多少
（3）通过一段时间的训练，体育组对该班学生的跳绳项目进行第二次测试，测得成绩的最低分为3分，且得4分和5分的人数共有45人，平均分比第一次提高了0.8分，问第二次测试中得4分、5分的学生各有多少人
【答案】（1）25人 （2）分；4分；4分
（3）得4分的有15人，得5分的有30人
【解析】
【分析】（1）结合图形，根据频数、频率和总量的关系（频数=总量频率）即可求出得4分的人数．
（2）平均数是数据总和除以数据个数，该道题平均数就是所得分数总和除以班级总人数即可求出平均数．
（3）利用“得4分和5分的人数共有45人和平均分比第一次提高了0.8分”两句话，依托公式：总分平均分总人数，设未知数，列二元一次方程组即可求出得4分和得5分的人数分别是多少．
【小问1详解】
解：结合条形图和扇形图可知，得4分的学生有（人）．
【小问2详解】
解：平均分是分．
有50名学生，中位数就是第25和第26两个数的平均数，排在第25和第26的两个数的都是4
中位数分；
众数是：根据图中可知众数是4分；
【小问3详解】
解：设第二次测试中得4分的学生有人，得5分的学生有人
根据题意，得：
解得：
答：得4分的有15人，得5分的有30人．
【点睛】本题考查了根据条形统计图和扇形统计图求中位数、平均数和众数以及二元一次方程组的应用．熟练掌握平均数、中位数和众数的定义是解题的关键．
24. 【知识再现】如图1，四边形是正方形，点M，N分别在边，上，连接，，，，延长至点G，使，连接．根据全等三角形的知识，我们可以证明．
（1）【知识探究】如图1，作，垂足为H，猜想与有怎样的数量关系，并给出证明．
（2）【知识应用】如图2，已知，于点D，且，，则的长为__________．
（3）【知识拓展】如图3，四边形是正方形，E是边的中点，F是边上一点，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）8
【解析】
【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及勾股定理，根据全等三角形对应边之间的关系，设未知数利用勾股定理列方程为解题关键．
（1）根据已知条件可证出，再证明，可得为的角平分线，则．
（2）还原（1）图形，同理设未知数，根据勾股定理列方程即可．
（3）连接，过点作，根据，可得，可推出，设，则，，可列式为，解得，即．
【小问1详解】
，，，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
．
【小问2详解】
如图1所示，将和翻折，延长、交于点，
，
，，，
，
，，
，
，
四边形为矩形，
，
四边形为正方形，
∴，
设，
，，，
∵
，
解得，
，
故答案为：．
【小问3详解】
如图2所示，
连接，过点作，
，
设，则，
，
，
，
，，
，
，
∴
，点为边上的中点，
，
设，
则，，
，
解得，
．
25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与交于点，且分别交x轴于A、C两点．
（1）求a，b的值及点A，C的坐标；
（2）在直线上找一点D，使得是的面积的2倍，求出点D的坐标；
（3）y轴上有一动点P，直线上有一动点M，点N在平面上，若四边形是正方形，求出点N的坐标．
【答案】（1），，，
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、勾股定理的运用、正方形的存在性问题等；
（1）把分别代入与即可求出a，b的值，分别令与即可得到点A，C的坐标；
（2）过作交于，则，再求出的面积，根据是的面积的2倍列方程求解即可；
（3）过作于，过作于，当四边形是正方形时，可证得设，，根据全等求出坐标，再根据平移求出点N的坐标．
【小问1详解】
把代入可得，解得，
∴，
令，解得，
∴，
把代入可得，解得，
∴，
令，解得，
∴；
【小问2详解】
过作交于，
设，则，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵是的面积的2倍，
∴，
∴，解得或，
∴或；
【小问3详解】
根据题意设，，
当在第一象限时，如图，过作于，于，则
∴，，，，
当四边形是正方形时，，，从平移到与从平移到平移规则一致，
∴
∴，
∴，，
∴，解得
∴，，
∴向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到
∴向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到；
当在第四象限时，如图，过作于，于，则
∴，，，，
当四边形正方形时，，，从平移到与从平移到平移规则一致，
∴
∴，
∴，，
∴，解得
∴，，
∴向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到
∴向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到；
当在第二象限时，如图，过作于，于，则
∴，，，，
当四边形是正方形时，，，从平移到与从平移到平移规则一致，
∴
∴，
∴，，
∴，解得不合题意；
综上所述，或．