70，江西省吉安市第八中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题

这是一份70，江西省吉安市第八中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题，共26页。试卷主要包含了选择题每题只有一个正确的选项，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）每题只有一个正确的选项
1. 下面给出的5个式子中：①3＞0，②4x+3y＞0，③x=3，④x－1，⑤x+2≤3，其中不等式有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的概念可直接进行排除选项．
【详解】解：由题意得：3＞0；4x+3y＞0；x+2≤3是不等式．
故选B．
【点睛】本题主要考查不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．
2. 下列判断不正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质即可得到答案．
【详解】解：若，则，故选项A正确；
若，则，故选项B正确；
若，则，故选项C 不正确；
若，则，故选项D正确．
故选C．
3. 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（ ）
A. 两锐角都大于B. 有一个锐角小于
C. 有一个锐角大于D. 两锐角都小于
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否该试卷源自 每日更新，享更低价下载。定．用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可．
【详解】解：反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，
应假设直角三角形中两锐角都大于，
故选：A．
4. 如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝（ ）°（点A，B，P是网格交点）
A. 30B. 45C. 60D. 75
【答案】B
【解析】
【分析】在网格中作△BCE≌△APD，连接PC，得到∠PAB=∠CBE，利用勾股定理的逆定理证明△BCP是等腰直角三角形，得到∠PBC=45°，由此得到∠PAB+∠PBA＝∠PBA+∠CBE=90°-∠PBC=45°．
【详解】解：如图，在网格中作△BCE≌△APD，连接PC，
∴∠PAB=∠CBE，
由图知BC=PC=，
∵，
∴,
∴△BCP是等腰直角三角形，
∴∠PBC=45°，
∴∠PAB+∠PBA＝∠PBA+∠CBE=90°-∠PBC=45°，
故选：B．
【点睛】此题考查网格与勾股定理及逆定理，正确作出辅助线构成直角三角形利用勾股定理及逆定理解决问题是解题的关键．
5. 如图，已知：，点、、、…在射线ON上，点、、、…在射线OM上，、、、…均为等边三角形，若，则的边长为（ ）
A. 32B. 64C. 128D. 256
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定，数字规律的探求，正确得出各三角形边长的数字规律是解题的关键．根据等边三角形的性质及等腰三角形的性质，可得出每个等边三角形的边长的规律，进而得出答案．
【详解】是等边三角形，
，
同理可得，，，以此类推，
的边长为．
故选D．
6. 一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．根据图象有下列五个结论：①；②；③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数经过第一、二、三象限，即可判断①；根据一次函数与x轴、y轴的交点即可判断②③；利用图象法即可判断④⑤．
【详解】解：∵一次函数经过第一、二、三象限，
∴，故①正确；
∵一次函数与y轴交于负半轴，与x轴交于，
∴，方程的解是，故②正确，③不正确；
由函数图象可知不等式的解集是，故④不正确；
由函数图象可知，不等式的解集是，故⑤正确；
∴正确的一共有3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数图象的性质，图象法解不等式；熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
7. 已知关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式的解集是_______．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据数轴写出答案即可．
【详解】解：这个不等式的解集是：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，关键是用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
8. 如图，在中，，平分，则的面积是________．

【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，据此作，得出即可求解．
【详解】解：作，如图所示：

∵平分，
∴
∵，
∴的面积，
故答案为：
9. 不等式组的最小整数解是________．
【答案】0
【解析】
【分析】先解不等式组，再利用其解集求最小整数解即可．
【详解】解：，解得：，
，解得：，
∴不等式组的解集为：，
∴不等式组的最小整数解是：0．
故答案为：0．
【点睛】本题主要考查了解不等式组及求整数解的知识，正确的解不等式是解决本题的关键．
10. 如图，在中，，交于点，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】由已知，求得，再由，得到，即可求得，且根据直角三角形角所对的直角边是斜边的一半，可得，再由，得到，即可得出，计算即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理，含角的直角三角形的性质，证明是解题的关键．
11. 若不等式组的解集为x＞3，则m的取值范围 ___．
【答案】m≤3
【解析】
【分析】先将每一个不等式解出，然后根据不等式的解集是x＞3求出m的范围．
【详解】解：解不等式x＋8＜4x−1，得：x＞3，
∵不等式组的解集为x＞3，
∴m≤3，
故答案为：m≤3．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，解题的关键是正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则．
12. 如图，在平面直角坐标系中，三角板的直角顶点的坐标为，一条直角边与轴的正半轴交于点，另一直角边与轴交于点，三角板绕点在坐标平面内转动的过程中，当为等腰三角形时，点的坐标是______．
【答案】或或
【解析】
【分析】由点的坐标为，可得，然后分别从，，分别去分析即可求得答案．
【详解】解：坐标为，
，
如图，若，则，
，
即轴，
，
轴，
点的坐标为：；
如图，若，则，
，
，
点与点重合，
点的坐标为：；
如图，若，则，
过点作轴于点，过点作于点，则，
，
，
，
，
，
设，则，
，
在Rt中，，
即，解得：，
点的坐标为：，
综上可得：点的坐标为：或或，
故答案为：或或．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质、三角函数的定义、以及旋转的性质，此题难度较大，注意张饿哦方程思想、分类讨论思想以及数形结合思想的应用．
三、解答题（本大题共5小题，每小题各6分，共30分）
13. 解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：
（1）－3x＋3＜x＋5；
（2）－≤1．
【答案】（1）x＞－，见解析
（2）x≥－3，见解析
【解析】
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得解集；
（2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得解集．
【小问1详解】
解：移项，得：－x－3x＜5－3，
合并同类项，得：－4x＜2，
系数化为1，得：x＞－，
将解集表示在数轴上如图：
【小问2详解】
解：去分母得：2x－3（x－1）≤6，
去括号得：2x－3x＋3≤6，
移项，得：2x－3x≤6－3，
合并同类项，得：－x≤3，
系数化为1，得：x≥－3，
将解集表示在数轴上如图：
．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
14. 解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴见解析
【解析】
【分析】求出每个不等式的解集，把解集表示在数轴上，写出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得，，
解不等式②得，，
把不等式的解集表示在数轴上，
∴原不等式组的解集是．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组解法是解题的关键．
15. 如图，在中为的垂直平分线．
（1）如果 ，，试求的周长；
（2）如果，求的度数．
【答案】（1）；
（2）；
【解析】
【分析】（1）本题考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等直接求解即可得到答案；
（2）本题考查等边对等角及直角三角形两锐角互余，设，则得到，结合直角三角形两锐角互余列式求解即可得到答案；
【小问1详解】
解：∵为的垂直平分线，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
则．
16. 如图，在中，，点D是边的中点，交于点E，请仅用无刻度直尺，分别按下列要求作图．
（1）在图①中，过点C作边上的高线；
（2）在图②中，过点E作的平行线．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形性质与判定，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）连接，交于，再连接，并延长交于F，利用垂心的性质从而可得答案；
（2）如图所示，在（1）的基础上，连接，则即为所求．
【小问1详解】
解：连接，交于，再连接，并延长交于F，
∵，点D是边的中点，
∴，
又∵，
∴点为三角形三条高的交点，
∴，
如图所示，线段即为所求；
【小问2详解】
解： ∵，D是的中点，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵分别是的高，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
如图所示，直线即为所求．
17. 学校“百变魔方”社团准备购买A，B两种魔方，已知购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元，A种魔方的单价比B种魔方的单价多5元．
（1）求这两种魔方的单价；
（2）结合社员们的需求，社团决定购买A，B两种魔方共100个（其中A种魔方不超过50个），某商店有两种优惠活动，如图所示．若根据信息，社团选择了活动一的优惠办法购买魔方较实惠．请求出该社团最多购买多少个A种魔方．
【答案】（1）A种魔方的单价为20元/个，B种魔方的单价为15元/个；（2）44个
【解析】
【分析】（1）设A种魔方的单价为x元/个，B种魔方的单价为y元/个，根据购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元，A种魔方的单价比B种魔方的单价多5元，列出方程组解答即可；
（2）设购进A种魔方m个，则购进B种魔方（100﹣m）个，根据题意得出不等式解答即可．
【详解】解：（1）设A种魔方的单价为x元/个，B种魔方的单价为y元/个，
由题意可得，，
解得：，
答：A种魔方的单价为20元/个，B种魔方的单价为15元/个；
（2）设购进A种魔方m个，则购进B种魔方（100﹣m）个，
根据题意，得20×0.8×m+15×0.4×（100﹣m）＜20m+15（100﹣m﹣m），
解得：m＜45，
∵m为正整数，
∴m的最大整数值为44，
答：该社团最多购买A种魔方44个．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用、一元一次不等式的实际应用，根据题意列出方程组和不等式是解题的关键．
四、（本大题共3小题，每小题各8分，共24分）
18. 如图所示，D、E分别是的边、上的点，且，．
（1）若，则_______．
（2）若，则_______．
（3）设，，你能由（1）（2）中的结果找到、间所满足的关系吗？请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3），理由如下：
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质：
（1）根据等腰三角形的性质，可得，再由三角形外角的性质，可得，从而得到，即可求解；
（2）由（1）中结论，即可求解；
（3）根据等腰三角形的性质，可得，再由三角形外角的性质，可得，从而得到，即可求解．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：
【小问2详解】
解：由（1）得，当时，；
故答案为：
【小问3详解】
解：，理由如下：
∵，，∴．
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
即．
19. 已知方程组的解x为非正数，y为负数．
（1）求a的取值范围；
（2）化简；
（3）在a的取值范围中，当a为何整数时，不等式的解集为？
【答案】（1）
（2）5 （3）
【解析】
【分析】（1）先把a当作已知求出x、y的值，再根据x、y的取值范围得到关于a的一元一次不等式组，求出a的取值范围即可；
（2）根据a的取值范围去掉绝对值符号，把代数式化简即可；
（3）根据不等式的解为得出且，解此不等式得到关于a取值范围，找出符合条件的a的值．
【小问1详解】
解：，
∵得：，，
得：，，
∵方程组的解x为非正数，y为负数，
∴且，
解得：；
【小问2详解】
∵，
∴，，
∴；
【小问3详解】
，
∵不等式的解为，
∴，
∴，
∵，
a为整数，
∴a的值是，
∴当a为时，不等式的解为．
【点睛】本题考查的是解二元一次方程组及解一元一次不等式组、代数式的化简求值，先把a当作已知求出x、y的值，再根据已知条件得到关于a的不等式组求出a的取值范围是解答此题的关键．
20. 在函数图像的学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图像，并结合图像研究函数性质的过程，以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各题．
（1）列表，写出表中a、b的值：______，_______；描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图像；
（2）根据函数图像，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在相应的括号内打“√”，错误的在相应的括号内打“×”；
①该函数图像是轴对称图形，它的对称轴为y轴；（_________）
②当时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大．（_________）
（3）已知函数的图像如图所示，结合你所画的函数图像，直接写出不等式的解集．
【答案】（1）1，10；画函数的图像见解析
（2）①√；②× （3）不等式的解集为或
【解析】
【分析】（1）根据函数的表达式，代入计算即可．根据画图像的步骤画出图像即可．
（2）结合图像或表格的变化规律判断即可．
（3）根据函数的表格方式，列表确定公共点，结合图像确定解集即可．
【小问1详解】
当时，．
当时，，
画出函数的图像如图：
故答案为1，10．
【小问2详解】
根据函数图像：
①该函数图像是轴对称图形，它的对称轴为y轴；
故说法正确；
②当时，观察函数值的变化规律,不难发现y随x的增大而减小；当时，观察函数值的变化规律,不难发现y随x的增大而增大；
故说法错误．
【小问3详解】
列表如下：
画图像如下：
故不等式的解集为或．
【点睛】本题考查了函数的三种表示方式，数形结合思想，不等式解集的确定，熟练掌握函数的表示方法是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接．

（1）求证：平分；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）过点E作于G，于H，先通过计算得出，根据角平分线判定与性质得，则，由到角两边距离相等的点在角的平分线上结论得证；
（2）设，则，根据，即：，求得，，根据，计算求解即可．
【小问1详解】
明：如图，过点E作于G，于H，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为的平分线，
又，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴点E在的平分线上，
∴平分；
【小问2详解】
解：设，则，
∴，即：，
解得，，
∴，
∴的面积为．
【点睛】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的高．熟练掌握：角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
22. 阅读理解：
定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”，例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”．
问题解决：
（1）在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是_______（填序号）；
（2）若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围；
（3）若方程，都是关于x的不等式组的“子方程”，试求的取值范围．
【答案】（1）③ （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；
（2）解不等式组求得其解集，解方程求出，根据“子方程”的定义列出关于的不等式组，解之可得；
（3）先求出方程的解和不等式组的解集，然后根据，都是关于的不等式组的“子方程”，即可得到，解出即可得到答案．
【小问1详解】
解：解方程①：，得：，
解方程②：，得：，
解方程③：，得：，
解不等式组：，得：，
∴不等式组的“子方程”是③．
故答案为：③
【小问2详解】
解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
解，得：，
∴，
∴，
解得：．
【小问3详解】
解：解方程：，得，
解方程：，得：，
解关于的不等式组，
解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为：，
∵，都是关于的不等式组的“子方程”，
∴可得：，
解得：．
【点睛】本题考查了新定义，解一元一次方程和一元一次不等式组，理解“子方程”的定义是解本题的关键．
六、（本大题共1小题，每小题12分，共12分）
23. 【问题探究】
（1）如图1，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使，，，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．
（2）如图2，四边形ABCD中，，，，求BD的长．
（3）如图3，在（2）的条件下，当在线段AC的左侧时，求BD的长．
【答案】（1）BD=CE，理由见解析
（2）cm
（3）cm
【解析】
【分析】（1）首先根据等式的性质证明，然后根据即可证明，根据全等三角形的性质即可证明；
（2）在的外部，以A为直角顶点作等腰直角，使，连接、、，证明，证明，然后在直角三角形中利用勾股定理即可求解；
（3）在线段的右侧过点A作于点A，交的延长线于点E，证明，即可求解．
【小问1详解】
解：．
理由：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴；
小问2详解】
解：如图①，在的外部，以A为直角顶点作等腰直角，使，连接、、．
∵，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：如图②，在线段的右侧过点A作于点A，交的延长线于点E．
图②
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，三角形内角和定理等，理解题意，熟练掌握运用全等三角形的判定和性质是解题关键．x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y
…
a
2
5
b
5
2
1
…
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
…
a
2
5
b
5
2
1
Y=-x+4
…
8
7
6
5
4
3
2
1