2024年中考数学精选压轴题之项目式学习探究(一)

这是一份2024年中考数学精选压轴题之项目式学习探究(一)，共40页。试卷主要包含了实践探究题等内容，欢迎下载使用。
一、实践探究题
1．【项目式学习】
项目主题：守护生命，“数”说安全．
项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，'数'说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考察测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究．
（1）任务一：考察测量
如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为4m，则AB＝ m；
（2）任务二：模拟探究
如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过．
创新小组用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现：
①当CD＜2AB时（如图1），线段CD能通过直角弯道；
②当CD＝2AB时，必然存在线段CD的中点E与点B重合的情况，线段CD恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，∠ADC的度数是 ；③当CD＞2AB时，线段CD不能通过直角弯道．
（3）如图3，创新小组用矩形PQMN模拟汽车通过宽均为4m的直角弯道，发现当PQ的中点E与点B重合，且PQ⊥AB时，矩形PQMN恰好不能通过该弯道．若PQ＝am，PN＝2m，且矩形PQMN能通过该直角弯道，求a的最大整数值．
（4）任务三：成果迁移
如图4，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数y＝kx（x＞0）的图象，其对称轴交图象于点A．弯道内侧的顶点B在射线OA上，两边分别与x轴，y轴平行，OA＝2m，AB＝42m．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道类似．有一辆长为bm，宽为2m的汽车需要安全通过该弯道，则b的最大整数值为 ．（参考数据：2≈1.4，3≈1.7，5≈2.2，7≈2.6）
2．综合与实践
【项目学习】
配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等.所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题.
例1：把代数式x2+8x+25进行配方.
解：原式=x2+8x+16+9=(x+4)2+9.
例2：求代数式−x2+4x−7的最大值.
解：原式=−(x2−4x+4)−3=−(x−2)2−3.∵(x−2)2≥0，∴−(x−2)2≤0，
∴−(x−2)2−3≤−3，∴−x2+4x−7的最大值为−3.
【问题解决】
（1）若m，k，h满足2m2−12m+11=2(m+k)2+ℎ，求k+ℎ的值.
（2）若等腰△ABC的三边长a，b，c均为整数，且满足a2+2b2−8a−20b=−66，求△ABC的周长.
（3）如图，这是美国总统加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中a，b，c是Rt△ABC和Rt△DEF的三边长，根据勾股定理可得AE=c2+c2=2c，我们把关于x的一元二次方程ax2+2cx+b=0称为“勾系一元二次方程”.已知实数p，q满足等式q−p2+15p−48=0，且p+q的最小值是“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b=0的一个根.四边形ACDE的周长为62，试求△ABC的面积.
3．【项目式学习】
【项目主题】合理规划，绿色家园
【项目背景】某小区有4栋住宅楼：B栋，C栋，D栋，E栋，A处为小区入口. 为方便小区居民传递爱心，物业管理处准备在小区的一条主干道BE上增设一个“爱心衣物回收箱”（如图1），现需设计“爱心衣物回收箱”的具体位置，使得它到4栋住宅楼的距离之和最短。某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动。
图11-1
任务一 实地测绘
小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图（如图2），并测量出了某些道路的长度（如表格所示），进一步抽象成几何图形（如图3），其中主干道AC与BE交于点F，BE∥CD。小组成员又借助电子角度仪测得∠BCE=90∘，∠CEB=∠CED.
任务二 数学计算
根据图11-3及表格中的相关数据，请完成下列计算：
（1）求道路CD的长；
（2）道路AC= 米；
（3）任务三 方案设计
①根据以上探究，请你在主干道BE上画出“爱心衣物回收箱”的具体位置（用点G表示），并画出需要增设的小路CG，DG；
②“爱心衣物回收箱”到4栋住宅楼的距离之和的最小值为 米。（保留根号）
4．根据以下素材，回答问题．
（1）任务一
根据图1的设计，
若设AF＝x，则在①中，DE= ；(请用含x的代数式表示)
在②中，长方形BFED的周长为 ．
（2）任务二
根据学校要求，劳动实践基地的长：宽=2：1，请分别求出不同方案下AF的值．
（3）任务三
在任务二的条件下，为了节省学校的开支，请你帮助小组成员确定符合要求的方案： (填①或②)，并求出此时所需的费用．
5．项目化学习：车轮的形状．
【问题提出】车轮为什么要做成圆形， 这里面有什么数学原理?
（1）【合作探究】
探究 A 组：如图1，圆形车轮半径为 4cm ，其车轮轴心 O 到地面的距离始终为 cm ．
探究 B 组：如图2，正方形车轮的轴心为 O ，若正方形的边长为 4cm ，求车轮轴心 O 最高点与最低点的高度差．
探究 C 组：如图3， 有一个破损的圆形车轮， 半径为 4cm ，破损部分是一个弓形，其所对圆心角为 90∘ ，其车轮轴心为 O ，让车轮在地上无滑动地滚动一周，求点 O 经过的路程．
探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定．
（2）【拓展延伸】如图4，分别以正三角形的三个顶点 A，B，C 为圆心，以正三角形的边长为半径作 60∘ 圆弧，这个曲线图形叫做“莱洛三角形”．
探究 D 组：使 “莱洛三角形” 沿水平方向向右滚动，在滚动过程中，其每时每刻都有 “最高点”，“中心点” 也在不断移动位置，那么在 “莱洛三角形” 滚动一周的过程中，其“最高点”和“中心点”所形成的图案大致是 ．
延伸发现：“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心 O 并不稳定．
6．根据背景素材，探索解决问题．
7．如何设计与制作风筝呢？请同学们阅读“勤学小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题。
项目主题：设计与制作风筝．
项目实施：
（1）任务一：了解风筝：“勤学小组”的同学查阅了有关风筝的历史，种类，结构，制作等方面的资料，同时还收集到如图的风筝图案，请你帮助他们从中选出不是轴对称图形的风筝图案
（2）任务二：设计风筝：设计风筝时主要进行风筝面与风筝骨架的设计．“勤学小组”的同学设计好了风筝面，接下来在正方形网格中进行风筝骨架的设计，请你帮助他们以直线l为对称轴画出风筝骨架的另一半．
（3）任务三：制作风筝：传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”．“勒学小组”的同学准备用竹条扎制如图所示的风筝骨架，已知AD⊥BC于点D， BD=CD，AB=60cm，则竹条AC的长为 cm．
（4）任务四：放飞风筝：同学们拿着自己设计与制作的风筝进行了试飞，并根据试飞结果对风筝进行了修改完善．
项目反思：同学们对项目学习的整个过程进行反思，并编写了“简易风筝制作说明书”。请你写出一条在项目实施的过程中用到的数学知识
8．根据以下材料，完成项目任务，
项目任务
（1）求出古塔的高度．
（2）求出古塔底面圆的半径．
9．综合实践：
10．某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：
项目主题：测量旗杆高度
问题驱动：能利用哪些科学原理来测量旗杆的高度？
组内探究：由于旗杆较高，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，标杆，镜子，甚至还可以利用无人机…确定方法后，先画出测量示意图，然后实地进行测量，并得到具体数据，从而计算旗杆的高度．
成果展示：下面是同学们进行交流展示时的部分测量方案：
根据上述方案及数据，请你选择一个方案，求出学校旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m）；
11． 【发现问题】
掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化．
【提出问题】
实心球竖直高度与水平距离之间有怎样的函数关系？
【分析问题】
明明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x（单位：米）与竖直高度y（单位：米）的数据如下表：
根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分．
【解决问题】
（1）在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是 米，实心球在空中的最大高度是 米；
（2）求满足条件的抛物线的解析式；
（3）根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于9.7米时，即可得满分10分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由．
12．某校九年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下：
【提出驱动性问题】如何设计纸盒？
【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”设计了“任务1”“任务2”的实践活动．
请你尝试帮助他们解决相关问题．
13．根据以下素材，探索完成任务．
问题解决：
（1）任务1：确定喷泉形状
结合素材1，求y关于x的表达式．
（2）任务2：探究喷头升降方案
为使游船按素材2要求顺利通过，求喷头距离湖面高度的最小值．
14．根据背景素材，探索解决问题．
15．便捷的交通为经济发展提供了更好的保障，桥梁作为公路的咽喉，左右着公路的生命．通过对桥梁的试验监测，可以了解其使用性能和承载能力，同时也为桥梁的养护、加固和安全使用提供可靠的资料．某综合与实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目化学习活动，下面是此活动的设计方案．
请你参与该项目化学习活动，并完成下列问题：
（1）该综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是____．
A．三角形具有稳定性B．两点确定一条直线C．两点之间线段最短
（2）在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图2所示的形变．若其他因素忽略不计，测得CD=30cm，∠C'AC=12°，∠C'AD=45°，请计算此时水桶下降的高度CC'．（参考数据：sin12°≈0.2，cs12°≈1.0，tan12°≈0.2）
16．县某初中兴趣小组在实践课上计划用所学到的知识测量学校附近一楼房的高度，由于到楼房底部的水平距离不易测量，他们通过实地观察、分析，制订了可行的方案，并进行了实地测量．已知楼房 AB 前有一斜坡 CD ，它的坡度 i=1：3 ．他们先在坡面 D 处测量楼房顶部 A 的仰角 ∠ADM ，接着沿坡面向下走到坡脚 C 处，然后向楼房的方向继续行走至 E 处，再次测量楼房顶部 A 的仰角 ∠AEB ，并测量了 C 、 E 之间的距离，最后测量了坡面 C 、 D 之间的距离．为了减少测量误差，小组在测量仰角以及距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果（测角仪高度忽略不计），如下表：
（1）任务一：两次测量 C ， D 之间的距离的平均值是 米；
（2）任务二：请你帮助该小组根据上表中的测量数据，求出学校附近楼房 AB 的高．（结果精确到0.1米．参考数据： 3=1.73 ， 2=1.41 ）
答案解析部分
1．【答案】（1）42
（2）45°
（3）解：解法一、如图3（1），设AB与MN相交于点G，根据题意得：∠ANM＝∠NAG＝45°，
∴∠AGN＝∠AGM＝90°，
又∵AG＝AG，∠MAG＝∠NAG＝45°，
∴△AGM≌△AGN（ASA），
∴GM＝GN，
∴MN＝2AG，
又∵AB＝42，NP＝BG＝2，
∴MN＝2AG＝2（AB﹣BG）＝82−4
∴PQ=82−4
∵2≈1.4，
∴82﹣4≈7.2，
∴根据实际情况可得：a的最大整数值为7．
解法二：如图3（2），设直线PQ分别与直线AM，AN相交于点I，H，
根据题意得：
∵NPQM为矩形，
∴PQ∥MN，
∴∠IHA＝∠MNA＝45°，
又∵∠MAN＝90°，
∴IH＝2AB＝82，IQ＝MQ＝2，PH＝PN＝2，
∴PQ＝HI﹣IQ－PH＝82﹣4，
∵2≈1.4，
∴82﹣4≈7.2，
∴根据实际情况可得：a的最大整数值为7m．
（4）10
2．【答案】（1）解：∵2m2−12m+11=2(m−k)2+ℎ，
∴2m2−12m+11=2m2−4km+2k2+ℎ，
∴4k=12，2k2+ℎ=11，
∴k=3，ℎ=−7，
∴k+ℎ=3+(−7)=−4；
（2）解：∵a2+2b2−8a−20b=−66，
∴(a2−8a+16)−16+2(b2−10b+25)−50=−66，
∴(a−4)2+2(b−5)2=0，
∵(a−4)2≥0，2(b−5)2≥0，
∴a−4=0，b−5=0，
∴a=4，b=5，
当a=4为腰时，c=a=4，满足三角形的三边关系，
此时等腰三角形△ABC的周长为：a+b+c=4+4+5=13；
当b=5为腰时，c=b=5，满足三角形的三边关系，
此时等腰三角形△ABC的周长为：a+b+c=4+5+5=14，
∴等腰三角形△ABC的周长为13或14；
（3）解：∵q−p2+15p−48=0，
∴q=p2−15p+48，
∴p+q=p2−15p+p+48=p2−14p+48=p2−14p+49−1=(p−7)2−1，
∴p+q的最小值为−1，
∵p+q的最小值是“勾系一元二次方程”ax2+2cx+b=0的一个根，
∴x=−1是ax2+2cx+b=0的一个根，
∴a−2c+b=0，
∴a+b=2c，
∵四边形ACDE的周长为62，
∴2a+2b+2c=62，
∴2×2c+2c=62，
∴c=2，
∴a+b=22，
∵a2+b2=c2=4，
∴2ab=(a+b)2−(a2+b2)=(22)2−4=4，
∴ab=2，
∴S△ABC=12ab=1．
3．【答案】（1）解：∵BE∥CD，
∴∠BEC=∠DCE.
∵∠CEB=∠CED，
∴∠CED=∠DCE.
∴CD=DE=25.
即道路CD长25米.
（2）48
（3）解：①∵G点到四栋楼的距离之和为：
GB+GC+GD+GE=EB+GD+GC=50+GD+GC=50+GD+GA≥50+AD.
连接AD交BE于点G，连接CG.
∴则G点即为“爱心衣物回收箱”的具体位置，CG，DG位置如图所示：
图11-3
②(50+2929).
4．【答案】解：任务一：x+2；18；任务二：如图①，DE=x＋2，EF=10－(x＋2)－x=8－2x由题意得：x＋2=2(8－2x)解得：x=145.即AF=145.如图②，DE=x＋2，EF=7－x由题意得：7－x=2(x＋2)解得：x=1.即AF=1.综上所述，AF的长为145或1.任务三：①；①由（2）得AF=145，∴DE=145+2=245.∴EF=8−2×145=125.∴面积为125×245=28825（平方米），∴费用为28825×25=288（元）.②由（2）得AF=1，∴DE=2+1=3，∴EF=7+1=8，∴面积为3×8=24（平方米），∴费用为24×25=600（元），比较可得：方案①符合要求. 此时需要的费用为288元.
（1）x+2；18
（2）解：如图①，DE=x＋2，EF=10－(x＋2)－x=8－2x
由题意得：x＋2=2(8－2x)
解得：x=145.
即AF=145.
如图②，DE=x＋2，EF=7－x
由题意得：7－x=2(x＋2)
解得：x=1.
即AF=1.
综上所述，AF的长为145或1.
（3）解：①由（2）得AF=145，
∴DE=145+2=245.
∴EF=8−2×145=125.
∴面积为125×245=28825（平方米），
∴费用为28825×25=288（元）.
②由（2）得AF=1，
∴DE=2+1=3，
∴EF=7+1=8，
∴面积为3×8=24（平方米），
∴费用为24×25=600（元），
比较可得：方案①符合要求. 此时需要的费用为288元.
5．【答案】（1）解：探究A组：4；
探究B组：如图所示：
由图可知：最低点到地面的距离为OA的长，最高点到地面的距离为BD的长，
∵正方形的边长为4cm，
∴OA=2cm，BD=BO=OAsin45°=222=22，
∴最高距离与最低距离的差为（22-2）cm；
探究C组：如图所示：
从图2至图3：绕点A旋转45°，经过路程L1=2πr·45360=πr4cm，
从图3至图4：绕点B旋转45°，经过路程L2=2πr·45360=πr4cm，
从图4至图5：移动一个270°的弧长，经过路程L3=2πr·270360=3πr2cm，
∴一个周期完成，总路程为L1+L2+L3=πr4+πr4+3πr2=2πr=8πcm；
（2）A
6．【答案】⑴l=5a
⑵101l−5a=250
⑶由(1)(2)得：l=5a101l−5a=250，解得a=0.5l=2.5
⑷由(3)可得2.5(10+m)=50(0.5+y)，∴y=120m
⑸5厘米
7．【答案】（1）C
（2）解：如图所示，即为所求
（3）60
（4）线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等或对应点的连线被对称轴垂直平分，（答案不唯一）
8．【答案】（1）如图所示，延长AC交PQ于点E，则四边形CDQE是矩形，∴QE=CD，
依题意，∠PCE=45°，∠PAE=32°，AB=CD=QE=1.5m，
设PE=xm，则CE=PE=xm，
在Rt△PAE中，tan∠PAE=PEAE=xx+9=tan32°≈0.625，
解得：x=15，
∴古塔的高度为PE+QE=15+1.5=16.5(m)．
（2）∵四边形CDQE是矩形，
∴DQ=CE=15m，
又∵DG=12.9m，
∴GQ=15−12.9=2.1(m)．
答：古塔的高度为16.5m，古塔底面圆的半径为2.1m．
9．【答案】解：（1）①四种方案小路面积的大小相等；②69m2，69m2；③（70x-1）m2，（70x-1）m2；
（2）设小路的宽为xm，则(40−x)(30−x)=1064，
解得：a=2或a=68（不合题意，舍去），
答：小路的宽为2m；
（3）①方法1：∵xy=100，
∴y=100x，
方法2：∵2x+y=30，
∴y=30−2x；
②由题意得：x(a−2x)=100，
设方程的两个根分别为x1，x2，则x1+x20，
则：a>202≈28.28，a2