2024烟台、德州高三下学期二模试题数学含答案

这是一份2024烟台、德州高三下学期二模试题数学含答案，共10页。试卷主要包含了已知，若是的充分不必要条件，则，展开式中的系数为，在中，交于点，则，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试题满分150分，考试时间为120分钟。
2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。
3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．若随机变量，且，则( )
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
3．若抛物线的焦点到直线的距离为4，则的值为( )
A．1B．2C．4D．8
4．已知，若是的充分不必要条件，则( )
A．B．C．D．
5．展开式中的系数为( )
A．-840B．-420C．420D．840
6．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若为图象的一条对称轴，则的最小值为( )
A．B．C．D．
7．在中，交于点，则( )
A．B．C．D．
8．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如．已知，，是数列的前项和，若恒成立，
则的最小值为( )
A．B．1C．D．2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知函数，则（ ）
A．是奇函数B．的最小正周期为
C．的最小值为D．在上单调递增
10．已知双曲线的离心率为，过其右焦点的直线与交于点，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．的最小值为
C．若满足的直线恰有一条，则
D．若满足的直线恰有三条，则
11．如图，在直三棱柱中，，分别为棱
上的动点，且，，，则
A．存在使得
B．存在使得平面
C．若长度为定值，则时三棱雉体积最大
D．当时，直线与所成角的余弦值的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知集合，若，则实数的值为______．
13．在中，内角的对边分别为，，且，则面积的最大值为______．
14．当时，，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且成等比数列。
（1）求数列的通项公式：
（2）设，求数列的前项和。
16．（15分）ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮。某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图。
（1）根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的分位数：
（2）将年龄不超过（1）中分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民。
（i）完成下列列联表，并判断是否有的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联？
（ii）按照等比例分层抽样的方式从样本中随机抽取8名居民。若从选定的这8名居民中随机抽取4名居民做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率。
参考公式：，其中．
参考数据：
17．（15分）如图，在三棱锥中，，为的中点，为内部一点且平面．
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值。
18．（17分）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求实数的取值范围。
19．（17分）已知椭圆的右焦点为，过点且不垂直于坐标轴的直线交于两点，在两点处的切线交于点．
（1）求证：点在定直线上，并求出该直线方程；
（2）设点为直线上一点，且，求的最小值。
青年
非青年
合计
喜欢
20
不喜欢
60
合计
200
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
2024年高考适应性练习
数学参考答案及评分标准
一、选择题
DBCACBCA
二、选择题
9．AC10．ACD11．BCD
三、填空题
12．1或213．14．
四、解答题
15．解：（1）由题意知
即，
因为，所以，
所以．
（2）设数列的前项中的奇数项之和为，偶数项之和为，则
所以．
16．解：（1）由频率分布直方图可知，
年龄在40岁以下的居民所占比例为，
年龄在50岁以下的居民所占比例为，
所以分位数位于内，
由，
所以，样本数据的分位数为45．
（2）（i）由题知，列联表为：
根据列联表中的数据，可得：
所以，有的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联。
（ii）按照分层抽样，青年居民应抽取人，非青年居民应地取2人．
设从中随机抽取的4名居民中为青年居民的人数为，
所以，
所以，这4名居民中至少有3人为青年居民的概率为．
17．解：（1）连接，取中点，连接．
因为为的中点，所以。
因为平面，平面，所以平面．
又因为平面，平面，所以．
所以，在直角中，．
同理，
因为，所以．
因为为中点，所以，
因为，所以。
又因为平面，平面，
所以平面．
又因为，所以平面平面．
因为平面，所以平面．
（2）以为坐标原点，分别以以及与垂直向上的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
在直角中，因为，所以．
在直角中，．所以．
又，
所以．
设面的一个法向量，则，即，
取，则，所以．
设面的一个法向量，则，即，
取，则，所以．
设二面角为，则，
所以二面角的余弦值为．
18．解：（1）由题可知，
当时，恒成立，此时在上单调递减．
当时，，令，则
当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增．
当，即时，
此时在恒成立，单调递增．
综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增．
（2）因为，所以，又，所以．
由，可得，令，则，当时，为增函数；当时，为减函数。
所以，从而．
将两边同时取以为底的对数可得
整理可得．
令，则，且在上单调递增，
因为且，所以在上恒成立，
所以恒成立，
令，则，当时，单调递增，
当时，单调递减，所以，
所以，
又因为，所以．
19．解：（1）由题意可知，，
所以，所以椭圆方程为，
设立线方程为，
联立，消可得，，
所以，
因为过点的切线为，过点的切线为，
由对称性可得，点处于与轴垂直的直线上。
（法一）：联立，消去得，
将代入上式得
所以点在直线上．
（法二）：因为点在两切线上，所以，
所以直线的方程为上，
又直线过点，所以，解得．
（2）将代入得，．
直线的方程为，
设直线和交于点，联立，解得，
又，所以为线段的中点．
因为，
所以．
又因为，
所以，
当且仅当时，“”成立，
故的最小值为12．青年
非青年
合计
喜欢
90
20
110
不喜欢
60
30
90
合计
150
50
200