2024雅安高三下学期三诊数学（理）试题含答案

这是一份2024雅安高三下学期三诊数学（理）试题含答案，共12页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡收回，在等差数列中，若，则等内容，欢迎下载使用。

（本试卷满分150分，答题时间120分钟）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名，考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确.
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；.非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效.
3.考试结束后，将答题卡收回.
一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，
1.已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知平面向量，则向量在向量方向上的投影是（ ）
A.-1 B.1 C. D.
4.已知如图中程序框图的输出结果为1275，则判断框里可填（ ）
A. B. C. D.
5.在等差数列中，若，则（ ）
A.21 B.24 C.27 D.29
6.二维码与我们的生活息息相关，我们使用的二维码主要是大小的，即441个点.根据0和1的二进制编码规则，一共有种不同的码，假设我们1万年用掉个二维码，那么所有二维码大约可以用（ ）（参考数据：）
A.万年 B.万年 C.万年 D.万年
7.直线与曲线相切的一个充分不必要条件为（ ）
A. B. C. D.
8.从五个数字组成的没有重复数字的四位数中任取一个数，则该数为偶数的概率为（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在正方体中，已知点为底面的中心，为棱的中点，则下列结论中错误的是（ ）
A.平面
B.平面
C.异面直线与所成的角等于
D.直线与平面所成的角等于
10.在平面直角坐标系中，设椭圆与双曲线的离心率分别为，其中且双曲线渐近线的斜率绝对值小于，则下列关系中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知函数，则下列说法中正确的个数是（ ）
①当时，函数有且只有一个零点；
②当时，函数为奇函数，则正数的最小值为；
③若函数在上单调递增，则的最小值为；
④若函数在上恰有两个极值点，则的取值范围为.
A.1 B.2 C.3 D.4
12.若拋物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，，圆为的外接圆，直线与圆相切于点，点为圆上任意一点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）将答案填写在答题卡相应的横线上.
13.已知点的坐标满足条件，则的最大值为__________.
14.已知函数是偶函数，则实数__________.
15.已知在直三棱柱中，，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球与外接球的表面积之比为__________.
16.已知四边形中，，设与的面积分别为，则的最大值为__________.
三､解答题（本大题共6小题，共70分）解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（12分）已知数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
18.（12分）同城配送是随即时物流发展而出现的非标准化服务，省时省力是消费者使用同城配送服务的主要目的.某同城配送服务公司随机统计了800名不同年龄消费者每月的同城配送服务使用频率，得到如下频数分布表：
（1）若年龄在内的人位于年龄段，年龄在内的人位于年龄段II，每月使用同城配送服务低于5次的为使用频率低，不低于5次的为使用频率高，补全下面的列联表，并判断是否有的把握认为同城配送服务的使用频率高低与年龄段有关？
（2）从样本中每月使用同城配送服务次且年龄在内的消费者中按照年龄段利用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，记这2人中年龄在与内的人数分别为，若，求的分布列与数学期望.
参考公式：，其中附：
19.（12分）四棱锥中，，底面为等腰梯形，，为线段的中点，.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
20.（12分）设分别为椭圆的左右焦点，椭圆的短轴长为是直线上除外的任意一点，且直线的斜率与直线的斜率之比为3.
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点的直线交椭圆于两点，设直线的斜率分别为，判断是否成等差数列？并说明理由.
21.（12分）已知函数.
（1）当时，求函数在上的值域；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
选做题：请考生在22､23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方柜涂黑.
22.（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程
如图，在极坐标系中，曲线是以为圆心的半圆，曲线是以为圆心的圆，曲线都过极点.
（1）分别写出曲线，曲线的极坐标方程；
（2）射线与曲线分别交于两点（异于极点），求面积的最大值.
23.（10分）[选修4-5：不等式选讲]
已知.
（1）若，解不等式；
（2）当时，的最小值为3，若正数满足，证明：.
雅安市高2021级第三次诊断性考试
数学（理科）参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1-5AACDA 6-10ABCDD 11-12BB
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.15 14.-1 15. 16.14
三､解答题（本大题共6小题，共70分）
17.（1）
当时，
当时，，两式相减得，
，
数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
（2）由（1）可知，记，
，
，
两式相减得
18.（1）补全的列联表如下：
所以
所以有的把握认为跑腿服务的使用频率高低与年龄有关.
（2）由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在内的人数分别为5，3，依题意，的所有可能取值分别为为，
所以，
，
，
所以的分布列为：
所以的数学期望为
19.（1）证明：因为为线段的中点，
所以，
在等腰梯形中，作于，则由得，
所以，所以，
因为，所以所以，所以
，
所以，所以，
因为，
所以平面
因为在平面内，所以，
因为在平面内，所以平面.
（2）解：因为，所以，
取的中点，连接，则，因为平面，所以，
又所以平面
所以如图，以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
，令平面法向量，
，
取
由（1）知平面，则平面的法向量，
设二面角所成平面角为，则，
所以二面角的余弦值为.
20.（1）由已知得.
设，则.
所以椭圆的方程为.
（2）①当直线的斜率为0时，的方程：，
不妨设，
，
所以
②当直线的斜率不为0时，如图，设的方程：.
由，得.
则
又，所以.
综上，.所以成等差数列.
21.（1）当时，，
，
，
在上单调递增，，
的值域为
（2）法一：令，
①当时，在上恒成立.
②当时，
，
在上单调递增，成立.
③当时，，
，
在上单调递增，即在上单调递增，
，
存在使得当时，故在上单调递减，
则，不合题意.
④当时，令，
则，
在上单调递增，即在上单调递增，
，即在上单调递增，成立.
综上，的取值范围是.
法二：令，
，
令得.
①当时，，
令，
，
在上单调递增，恒成立.
②当时，，
，使，这与恒成立矛盾.
综上，.
22.（1）曲线是以为圆心的半圆，
所以半圆的极坐标方程为，
曲线以为圆心的圆，转换为极坐标方程为.
故半圆，圆的极坐标方程分别为：
（2）由（1）得：.
点到直线的距离.
所以
其中，当时，的面积的最大值为4.
23.（1）当时，不等式为，
当时，可以化为，解得；
当时，可以化为，得；
当时，可以化为，解得，不等式不成立；
综上，可得不等式的解集为
（2）当时，，
当时等号成立，由可得（舍）或，故，
由柯西不等式可得
，即得
当且仅当时，即.取等号.每月1次
50
40
40
90
每月2次
80
80
100
60
每月5次
60
75
56
47
每月10次以上
10
5
4
3
年龄段I
年龄段II
合计
使用频率高
使用频率低
合计
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
年龄段I
年龄段II
合计
使用频率高
150
110
260
使用频率低
250
290
540
合计
400
400
800
-2
0
2