37，重庆市渝北区六校联盟2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题

这是一份37，重庆市渝北区六校联盟2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的．
1. 下列有理数最小的是（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数比较大小，熟知正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值越小,据此进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴四个数中最小数为，
故选：B．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．
【详解】解：第1个图是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确；
第2个图是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确；
第3个图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不正确；
第4个图是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确．
故符合题意的有3个．
故选：B．
3. 估计的值应在（ ）
A. 5和6之间B. 6和7之间C. 7和8之间D. 8和9之间
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的乘法运算法则，二次根式的性质处理；
【详解】解：，
，
，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式的运算，二次根式的性质，无理数的估算；掌握二次的运算法则是解题的关键．
4. 已知函数，则自变量x的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出的范围．
【详解】解：由题意得：，，
解得：，，
故选：D．
【点睛】本题考查了求自变量的取值范围、二次根式、分式有意义的条件，熟练掌握被开方数大于或等于0，分母不等于0是解题关键．
5. 随着人们对环境的重视，新能源的开发迫在眉睫，石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应是0.0000034m，用科学记数法表示0.0000034是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此可解答．
【详解】用科学记数法表示0.0000034是．
故选：D
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，掌握用科学记数法表示较小的数的方法是解题的关键．
6. 下列命题正确的是（ ）
A. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
D. 有一个角是直角的菱形是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定方法逐个判断即可．
【详解】解：A、一组对边平行另一组对边相等的四边形是梯形，不是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项不符合题意；
C、对角线互相平分且互相垂直的四边形才是菱形，故本选项不符合题意；
D、有一个角是直角的菱形是正方形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定等知识点，掌握基本判定定理是解此题的关键．
7. 根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是-1，则输出的值为( )
A. -3B. -2C. -1D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】输入的值是-1，则x满足，将x=-1代入y=-x2中即可得到y值.
【详解】输入的值是-1，则x满足，
则y=-（-1）2=-1，
即输出的y值为-1.
故答案选：C.
【点睛】本题考查程序图和二次函数求值，了解程序图的运算规则是解题的关键.
8. 如图中的几何体由五个完全相同的小正方体组成，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了几何体的三视图的区别与联系．主视图是从物体的前面向后面所看到的视图，俯视图是由物体上方向下做正投影得到的视图，左视图是指物体左边向右做正投影得到的视图．此题中，结合主视图的的概念即可得到答案．
【详解】从正面看该几何体从下往上有两层，从左往右有三列，第一列有1个正方形，第二列有1个正方形，第三列有2个正方形．
故选：B．
9. 如图，内接于⊙，，，则⊙的半径为（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆内接四边形对角互补，作的圆周角，可求得、的度数，连接，过点作交于点，根据垂径定理可求得的度数与的长，最后利用锐角三角函数可求得半径的长．
【详解】解：作的圆周角，连接，过点作交于点，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
即，
解得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的内接四边形对角互补、垂径定理求圆的半径，掌握圆的内接四边形对角互补以及灵活运用垂径定理是解题的关键．
10. 如图，在正方形中，是边上一点，是延长线上一点，连接交对角线于点，连接，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形外角定义，连接，根据正方形的性质证明 ，得到，，证得是等腰直角三角形，过作，交于，然后证明，得 ，再根据等腰三角形的性质得 ，利用三角形的外角定义即可解决问题，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形为正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
过作，交于，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：．
二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡中对应的横线上．
11. 化简的结果是____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查零指数幂、算术平方根、立方根的计算．对零指数幂、算术平方根、立方根一一计算，然后合并即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，，则与的面积比是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查位似变换、坐标与图形的性质．关键在于找到相似比就是对应边的比．
根据信息，找到与的比值即为相似比，然后由两个相似三角形的面积比等于相似比的平方求得答案．
【详解】解：，，
，，
以原点为位似中心放大后得到，
，
与的相似比是，
与的面积的比是．
故答案为：．
13. 已知的半径为，圆心到直线/的距离是，则直线/与的位置关系____________
【答案】相离
【解析】
【分析】根据圆心O到直线l的距离大于半径即可判定直线l与⊙O的位置关系为相离．
【详解】解：∵圆心O到直线l的距离是4cm，大于⊙O的半径为3cm，
∴直线l与⊙O相离．
故答案为：相离
【点睛】此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
14. 现有分别标有汉字“圆”“梦”“今”“夏”的四张卡片，它们除汉字外完全相同，若把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，然后随机抽出一张，不放回，再随机抽出一张，两次抽出的卡片上的汉字能组成“圆梦”的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】“圆”“梦”“今”“夏”的四张卡片分别用表示，画树状图如图所示：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两次抽出的卡片上的汉字能组成“圆梦”有2种，
所以两次抽出的卡片上的汉字能组成“圆梦”的概率是，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；熟练掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
15. 如图，在矩形中，平分交于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点．若，则图中阴影部分的面积为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了扇形面积和矩形的性质，，n是扇形圆心角，r是扇形半径，先根据矩形的性质分别求出半径和圆心角，即可求得答案．
【详解】解：在矩形中，平分，
，．
，
．
，则．
，
．
．
．
故答案为：．
16. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴上，点．若反比例函数经过点A，则k的值等于_______．
【答案】12
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，求反比例函数解析式，过点B作轴于E，根据B、C坐标得到，由菱形的性质得到，利用勾股定理求出，则，进而得到，再利用待定系数法求解即可．
【详解】解；如图所示，过点B作轴于E，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
把代入中得，
故答案为：．
17. 若关于x的一元一次不等式组有解且至多有6个整数解，且关于y的分式方程的解是整数，则所有满足条件的整数m的值之和为 _______．
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式组的整数解的个数确定m的取值范围，再根据分式方程的整数解确定m的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论．本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式组的整数解的个数及分式方程的解确定m的取值范围．
【详解】解：分式方程去分母得：，
整理，得，
故
∵方程有整数解，且，
∴，，，，且，，
解得，，，
解不等式组得：，
∵不等式组至多有6个整数解，
∴，
∴，
∴或，
∴符合条件的所有整数m的和是，
故答案为：．
18. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“差中数”．例如：四位数4129，，是“差中数”；又如：四位数5324，，不是“差中数”．若一个“差中数”为，则这个数为_____；如果一个“差中数”能被11整除，则满足条件的数的最大值是_____．
【答案】 ①. 5138 ②. 9174
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和数的整除，读懂题意是解题的关键．
①根据定义列出方程即可求出m；
②先根据数的特征设千位为9，再根据“差中根据各数”的特征求出位上的数字互不相等且均不为0，解不定方程的整数解求出各数，再判断是否能被11整除即可．
【详解】解：①为“差中数”，
，
，
∴这个数为5138；
②设满足条件的四位自然数是，
又是差中数，
，即，
故或，
∵各数位上的数字互不相等且均不为0，
∴，，，，，
当时，这个“差中数”9817，不能被11整除，
当时，这个“差中数”是9725，不能被11整除，
当时，这个“差中数”是9541，不能被11整除，
当时，这个“差中数”是9358，不能被11整除，
当时，这个“差中数”是9174，能被11整除，
∴一个“差中数”能被11整除，则满足条件的数的最大值是9174，
故答案为：5138，9174．
三、解答题：（本大题共8个小题，其中19题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应位置上．
19. （1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查分式的混合运算，单项式乘多项式，多项式乘多项式．
（1）先算单项式乘多项式，多项式乘多项式，再合并同类项即可；
（2）先算括号里的运算，把能分解的因式进行分解，除法转为乘法，再约分即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
20. 如图，在中，分别交AD，BD于点E，F．
（1）用尺规完成以下基本作图：过点A作BC的垂线，分别交BD，BC于点G，H，连接AF，CG；（保留作图痕迹，不写作法和结论）
（2）根据（1）中所作图形，小南发现四边形AGCF是平行四边形，并给出了证明，请你补全证明过程．
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形．
∴， ① ，
∴．
∵，，
∴ ② 度，
∴，
∴．
又∵ ③ ，
∴，
在△ABG和△CDF中，
，
∴．
∴ ④ ，
又∵，
∴四边形AGCF是平行四边形．
【答案】（1）见解析 （2）①；②90；③；④
【解析】
【分析】(1)利用基本作图作AH⊥BC于H；
(2)先证明,再证明ΔABG≌ΔCDF，得到，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可完成证明．
【小问1详解】
：如图所示
【小问2详解】
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AB=CD， AB//CD ，
∴∠ABG=∠CDF．
∵AH⊥BC，CE⊥BC，
∴∠AHB=∠ECB= 90 度，
∴AG∥CF，
∴∠BGA=∠EFB．
又∵ ∠EFB=∠DFC ，
∴∠BGA=∠DFC，
在△ABG和△CDF中，
，
∴ΔABG≌ΔCDF(AAS)．
∴ AG//CF ，
又∵AG∥CF，
∴四边形AGCF是平行四边形．
故答案为：，90，，.
【点睛】本题考查了作图−基本作图，平行四边形的性质和判定，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定．
21. 2023年9月23日至10月8日第十九届亚运动会将在中国杭州举办，某校组织全校七、八年级学生举行了“亚运知识”竞赛，现分别在七、八两个年级中各随机抽取10名学生，相关数据统计整理如下：
【收集数据】
七年级10名同学测试成绩统计如下：84，78，85，75，72，91，79，72，69，95
八年级10名同学测试成绩统计如下：85，80，76，84，80，72，92，74，75，82
【整理数据】两组数据各分数段如下表所示：
【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
【问题解决】根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）按照比赛规定90分及其以上为优秀，若该校七年级学生共1200人，八年级学生共1000人，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数；
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛成绩更好？请说明理由．
【答案】（1）2，，80
（2）估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数有340人
（3）可以推断出八年级年级学生知识竞赛成绩更好，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据七年级10名同学测试成绩求出的值，根据中位数和众数的概念分别求出、的值；
（2）用各年级人数乘以对应的比例，然后相加即可；
（3）答案不唯一，合理均可．
【小问1详解】
解：将七年级抽样成绩重新排列为：69，72，72，75，78，79，84，85，91，95，其中在范围内的数据有2个，
故．
中位数，
将八年级抽样成绩重新排列为：72，74，75，76，80，80，82，84，85，92，
其众数，
故答案为：2，，80；
【小问2详解】
由题意得：
（人），
答：估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数有340人；
小问3详解】
可以推断出八年级年级学生知识竞赛成绩更好，
理由为两班平均数相同，而八年级的中位数以及众数均高于七年级，
说明八年级学生的竞赛成绩更好（答案不唯一）．
【点睛】本题考查频数分布表、中位数、众数、平均数、方差，用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22. 某新修公路沿线需要进行绿化施工，由甲、乙两工程队合作完成．已知若由甲工程队单独施工，需要30天才能完成此项工程；若由乙工程队先施工30天，剩下的由甲、乙合作施工，则还需10天才能完成此项工程．
（1）求乙工程队单独完成此项工程需要多少天？
（2）若甲工程队每天所需费用为1.5万元，乙工程队每天所需费用为1万元，甲、乙两工程队合作完成此项工程，总费用恰为49万元，则应安排甲工程队施工多少天？
【答案】（1）乙工程队单独完成此项工程需要60天；
（2）应安排甲工程队施工22天．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程的应用．
（1）设乙工程队单独完成此项工程需要天，利用甲工程队完成的工程量乙工程队完成的工程量总工程量，可得出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
（2）设应安排甲工程队施工天，则安排乙工程队施工天，利用总费用甲工程队每天所需费用甲工程队施工时间乙工程队每天所需费用乙工程队施工时间，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【小问1详解】
解：设乙工程队单独完成此项工程需要天，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：乙工程队单独完成此项工程需要60天；
【小问2详解】
解：设应安排甲工程队施工天，则安排乙工程队施工天，
根据题意得：，
解得：．
答：应安排甲工程队施工22天．
23. 如图，在中，，，，动点D以每秒1个单位长度的速度沿折线方向运动，当点D运动到点C时停止运动.设运动时间为t秒，的面积为y.
（1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，写出的面积为4时t的值.
【答案】（1）y关于t的函数关系式为
（2）图象见解析，在时，y随t的增大而增大
（3）6或
【解析】
【分析】本题考查了三角形的面积，直角三角形的性质，一次函数的性质．
（1）分两种情况，当点D上，，当点D在上时，，由三角形面积公式可得出答案；
（2）由题意画出图象，由一次函数的性质可得出结论；
（3）由（2）中的图象及一次函数图象上点的坐标特征可得出答案．
【小问1详解】
解：当点D在上，，
∵，
∴，
设边上的高为，则有：，
∴，
∵，
∴，
∴；
当点D在上时，，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∴
综上所述，y关于t的函数关系式为；
【小问2详解】
解：如图，
该函数的一条性质为：在时，y随t的增大而增大（答案不唯一）；
【小问3详解】
解：由图象可知时，．
∴的面积为4时t的值为6或．
24. 如图，山坡的坡度，米，米．在高楼的顶端竖立一块倒计时牌，在点处测量计时牌的顶端的仰角是，在点处测量计时牌的底端的仰角是，求这块倒计时牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据：，）
【答案】2.7米
【解析】
【分析】首先作BF⊥DE于点F，BG⊥AE于点G，得出四边形BGEF为矩形，进而求出CF，EF，DE的长，进而得出答案．
【详解】解：作BF⊥DE于点F，BG⊥AE于点G，
∵CE⊥AE，
∴四边形BGEF为矩形，
∴BG=EF，BF=GE，
在Rt△ADE中，
∵tan∠DAE=，
∴DE=AE•tan∠DAE=15，
∵山坡AB的坡度i=1：，AB=10，
∴BG=5，AG=5，
∴EF=BG=5，BF=AG+AE=5+15，
∵∠CBF=45°
∴CF=BF=5+15，
∴CD=CF+EF-DE=20-10≈20-10×1.732=2.68≈2.7（米），
答：这块宣传牌CD的高度为2.7米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡度坡角问题，添加辅助线构造直角三角形是关键.
25. 综合与实践：
如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，连接，点D在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）小明探究点D位置时发现：如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接，，面积存在最大值，请帮助小明求出面积的最大值；
（3）小明进一步探究点D位置时发现：点D在抛物线上移动，连接，存在，请帮助小明求出时点D的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为：
（2）面积的最大值是4
（3）点D的坐标为或
【解析】
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）先直线的解析式，设点，，根据三角形的面积公式列出函数解析式求解即可；
（3）分两种情况求解：当点D在x轴上方时和当点D在x轴下方时．
【小问1详解】
抛物线与轴交于点和点
∴，
解得：
∴抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
如答图1，过点D做轴，交线段于点E，垂足为点F，
当时，，则，
∵直线经过点，，
设
∴，
解得：
∴直线的解析式为：，
设点，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴当，面积最大，面积最大值是4．
【小问3详解】
如答图2，当点D在直线的上方的抛物线上时，
∵，
∴ ，
∴点C，D的纵坐标相等，即点D的纵坐标为2，
当时，则，
解得，（舍去），
∴ ，
如答图3，当点D在直线的下方的抛物线上时，
设交x轴于点G，
∵，
∴．
设，
∴，
在中，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得： ，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
综上所述，点D的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，平行线的判定，勾股定理，等腰三角形的判定，二次函数与几何综合，数形结合是解题的关键．
26. 如图，在中，，D，E分别为上两动点，．
（1）如图1，若于H交于K，求证：；
（2）如图2，若交于F，，，求证：；
（3）如图3，若，将绕点E顺时针旋转得，N为中点，当取得最小值时，请直接写出的面积．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）6
【解析】
【分析】（1）先证明，然后推导，根据在同一个三角形中等角对等边得到；
（2）过点作，交的延长线于点，连接交于点，则，可以证明，然后证明，即可得到，然后设，，则根据即可得到结论；
（3）过点作于，过点作延长线于，连接，连接交于，过点作交于， 证明 ，故当三点共线时,的值最小(两点之间，线段最短) ，此时取得最小值，算出此时和的长，最后根据,代入计算即可.
【小问1详解】
证明：，，
，
在和中，
，
，
，
又，于交于，
，，
，
；
【小问2详解】
证明：如图，过点作，交的延长线于点，连接交于点，

，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
，
∴，
，
，
∴，
又∵，，
∴，
∴
∴，
∴，
，
设，，
则，，，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
【小问3详解】
如图，过点作于，过点作延长线于，连接，连接交于，过点作交于，

，，
，
，
在和中，
，
，
，，
又，
，
，
，
，
为中点，为中点，
，
，
为中点，，
∴，
是的中点，
是的中位线，
∴，
在和中，
，
，
，
，
如图，当、、三点共线时，的值最小（两点之间，线段最短），
此时取得最小值，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，，
，，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，构造辅助线、数形结合画出图象分析和计算是解题的关键．
成绩
七年级
1
5
2
a
八年级
0
4
5
1
平均数
中位数
众数
方差
七年级
80
b
72
八年级
80
80
c
33