山东省滨州市2024届高三下学期二模数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则A的子集个数为（ ）
A. 4B. 7C. 8D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意求集合A，结合集合元素个数与子集个数之间的关系分析求解.
【详解】由题意可得：，
可知A有3个元素，所以A的子集个数为.
故选：C.
2. 下列命题中，真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】由不等式的性质可判断A,B,C，利用基本不等式，当且仅当时等号成立，即可判断D.
【详解】对于A，由，可得，故A错误；
对于B，由，，，可得，故B错误；
对于C，若，且当时，可得为任意值，故C错误；
对于D，因为，当且仅当时，等号成立，
即，故D正确.
故选：D.
3. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数代数形式乘法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可.
【详解】因为
，
所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限.
故选：B
4. 已知随机事件，发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则，相互独立
B. 若，相互独立，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据相互独立事件的定义判断A，根据条件概率公式判断B、C、D.
【详解】对于A：因为，所以与不独立，故A错误；
对于B：若，相互独立，则，故B错误；
对于C：因为，所以，故C错误；
对于D：若，则，所以，故D正确.
故选：D
5. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ）
A. 4B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】建系，可得，结合向量的坐标运算求解.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，
可知，则，
所以.
故选：A.
6. 某单位安排5名同志在5月1日至5日值班，每天安排1人，每人值班1天．若5名同志中的甲、乙安排在相邻两天，丙不安排在5月3日，则不同的安排方案共有（ ）
A. 42种B. 40种C. 36种D. 30种
【答案】B
【解析】
【分析】利用相邻问题的排列数，减去甲乙相邻时丙排在5月3日的排列数得解.
【详解】甲乙相邻的排列数是，其中甲乙相邻且丙排在5月3日的排列数为，
所以不同的安排方案共有（种）.
故选：B
7. 已知圆，直线，为直线上的动点．过点作圆的切线PM，PN，切点为M，N．若使得四边形为正方形的点有且只有一个，则正实数（ ）
A. 1B. C. 5D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意分析可知：，且，结合点到直线的距离公式运算求解.
【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径，
因四边形为正方形，可知，
若使得四边形为正方形的点有且只有一个，可知，
则，解得或（舍去），
所以正实数.
故选：C.
8. 已知函数在上有且仅有4个零点，直线为函数图象的一条对称轴，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】以为整体，根据题意结合零点可得，结合对称性可得，进而可求.
【详解】因为，且，则，
由题意可得：，解得，
又因为直线为函数图象的一条对称轴，
则，解得，
可知，即，
所以.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：以为整体，可得，结合正弦函数零点分析可知右端点的取值范围，进而可得的取值范围.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 若随机变量X，Y满足，则
B. 若随机变量，且，则
C. 若线性相关系数的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关程度越强
D. 按从小到大排序的两组数据：甲组：27，30，37，m，40，50；乙组：24，n，33，44，48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用方差的性质判断A；利用正态分布的对称性求出概率判断B；利用线性相关系数的性质判断C；利用第p百分位数计算判断D.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，线性相关系数的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关程度越强，C正确；
对于D，由，依题意，，且，
解得，因此，D正确.
故选：BCD
10. 如图，在边长为4的正方形中，为的中点，为的中点．若分别沿，把这个正方形折成一个四面体，使、两点重合，重合后的点记为，则在四面体中，下列结论正确的是（ ）
A.
B. 到直线的距离为
C. 三棱锥外接球的半径为
D. 直线与所成角的余弦值为
【答案】AC
【解析】
【分析】首先证明平面，即可判断A，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算B、D，求出外接圆的半径，再由勾股定理求出三棱锥外接球的半径，即可判断C.
【详解】对于A：翻折前，，
翻折后则有，，
因为，、平面，
所以平面，平面，所以，故A正确；
对于B：又，即为等边三角形，所以，
在平面中过点作，则，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，，
所以，，
令，，所以到直线的距离为，故B错误；
对于C：所以的外接圆的半径，
设三棱锥外接球的半径为，
因为平面，所以，所以，
即三棱锥外接球的半径为，故C正确；
对于D：由，设直线与直线所成角为，，
则
所以直线与直线所成角的余弦值为，故D错误.
故选：AC.
11. 已知点A，B，C都在双曲线上，点在第一象限，点在第四象限，A，B关于原点对称，，过作垂直于轴的直线分别交，于点D，E．若，则下列结论正确的是（ ）
A. 点的纵坐标为B.
C. D. 双曲线的离心率为
【答案】ABD
【解析】
【分析】设，，，由求出可判断A；由可判断B；由三点共线，则可判断C；注意到，也就是，而，，即，由此结合离心率公式可判断D.
【详解】对于A，因为A，B关于原点对称，，，
设，，
因为，所以，，
解得：，，，故A正确；
对于B，因为，所以，
所以，所以，故B正确；
对于C，因为三点共线，，，，
所以，则，故C错误；
对于D，因为，在双曲线上，所以，，
，
因为，即，其中，
所以，所以，
则，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：本题D选项的关键是得到，，，由此即可顺利得解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设为抛物线的焦点，直线交于A，B两点，则__________．
【答案】5
【解析】
【分析】联立方程，利用韦达定理可得，结合抛物线的定义分析求解即可.
【详解】由题意可知：抛物线的准线为，
设，
联立方程，消去x得，
则，可得，
所以.
故答案为：5.
13. 若函数在区间上单调递减，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】求出函数的导数，再利用给定的单调区间及单调性列出不等式，构造函数并求出最小值即得.
【详解】函数，求导得，由在上单调递减，
得，，即，令，
求导得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，，
则，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：
14. 已知函数，数列满足，，，则__________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据函数性质分析可知：在上单调递增，且为奇函数，进而可得，结合数列周期性分析求解.
【详解】由题意可知：的定义域为，
且，即，
可知为定义在上的奇函数；
且，
因为在上单调递增，可知在上单调递增；
综上所述：在上单调递增，且为奇函数.
因为，则，
可得，即，
由可知：3为数列的周期，则，
且，所以.
故答案为：2.
【点睛】易错点睛：本题分析的奇偶性的同时，必须分析的单调性，若没有单调性，由无法得出.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在多面体中，，，，，，，．
（1）求证：平面；
（2）若，求直线DN与平面MNC所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，线面垂直的判定推理即得.
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解即得.
【小问1详解】
连接，由，，得，则，
，于是，又，平面，
因此平面，又，
所以平面.
【小问2详解】
由（1）知，直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，
设平面的法向量，则，令，得，
设直线与平面所成角为，而，
，
所以直线DN与平面MNC所成角的正弦值是．
16. 已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求的通项公式；
（2）保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列，求的前150项和．
【答案】（1）
（2）490
【解析】
【分析】（1）根据等差中项可得，即，进而可得，即可得结果；
（2）由题意可知：在数列中对应的项数为，代入k的值分析可知，利用分组求和运算求解.
【小问1详解】
因为为等差数列，则，即，
可得，，
所以.
【小问2详解】
因为在与之间插入个3，
可知在数列中对应的项数为
，
当时，则，即；
当时，则，即；
由题意可知：，
所以.
17. 某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物的影响情况．其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应第1，2，3组．观察一段时间后，分别从第1，2，3组各随机抽取20株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表：
假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立．
（1）从第1组抽取的20株鸡冠花样本中随机抽取2株，求至少有1株鸡冠花的株高增量在内的概率；
（2）分别从第1组，第2组，第3组的鸡冠花中各随机抽取1株，记这3株鸡冠花中恰有株的株高增量在内，求的分布列和数学期望；
（3）用“”表示第组鸡冠花的株高增量在内，“”表示第组鸡冠花的株高增量在内，．比较方差的大小，并说明理由．
【答案】（1）
（2）分布列见详解，
（3），理由见详解
【解析】
【分析】（1）设事件，根据题意利用古典概型分析求解；
（2）设相应事件，由题意可知：，且的可能取值有0，1，2，3，进而求分布列和期望；
（3）由题意可知：均服从两点分布，结合两点分布求方差，对比分析即可.
【小问1详解】
记“第1组抽取20株鸡冠花样本中随机抽取2株，至少有1株鸡冠花的株高增量在内”为事件A，
所以.
【小问2详解】
记“从第组的鸡冠花中各随机抽取1株，记这3株鸡冠花中恰有株的株高增量在内”为事件，
由题意可知：，
且的可能取值有0，1，2，3，则有：
；
；
；
；
所以的分布列为
的期望.
【小问3详解】
由题意可知：均服从两点分布，则有：
的分布列为：
可得的方差；
的分布列为：
可得的方差；
的分布列为：
可得的方差；
因为，所以.
18. 已知点，圆，动点A满足．记A的轨迹为曲线．
（1）求的方程；
（2）过点作倾斜角互补的两条直线，设直线的倾斜角为，直线与曲线交于M，N两点，直线与圆交于P，Q两点，当四边形的面积为时，求．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）若三点不共线，结合余弦定理整理得，并检验可知A的轨迹是以为焦点的椭圆，即可得结果；
（2）设直线的方程，联立方程，利用韦达定理结合弦长公式可得，结合圆的性质可知：点P到直线MN的距离，结合面积关系运算求解.
【小问1详解】
由题意可知：圆的圆心为，半径，则，
若三点不共线，则，
因，即，
整理得，可知，
可知：A的轨迹是以为焦点的椭圆（除去长轴顶点）；
经检验可知：也符合题意；
综上所述：A的轨迹是以为焦点的椭圆，则，
所以的方程为.
【小问2详解】
由题意可知：直线与曲线必相交，直线与圆必相交，
设直线的方程，
联立方程，消去y可得，
则，
可得，
因为直线过圆心，则，
且P，Q两点到直线MN的距离相等，
又因为直线的倾斜角为，则，且，
可知点P到直线MN的距离
，
则四边形的面积为，
解得或，所以或.
【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法
（1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解；
（2）面积问题常采用底高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解；
（3）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用．
19. 定义：函数满足对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”．
（1）若，判断是否为上的“2类函数”；
（2）若为上的“3类函数”，求实数a的取值范围；
（3）若为上的“2类函数”，且，证明：，，．
【答案】（1）为上的“2类函数”
（2）
（3）证明见详解
【解析】
【分析】（1）根据题意结合“类函数”定义分析判断；
（2）根据题意分析可知，均恒成立，根据函数单调性结合导数可知在内恒成立，利用参变分类结合恒成立问题分析求解；
（3）分类讨论的大小关系，根据“类函数”定义结合绝对值不等式分析证明.
【小问1详解】
对于任意不同的，不妨设，即，
则，
所以为上的“2类函数”.
【小问2详解】
因为为上的“3类函数”，
对于任意不同的，不妨设，
则恒成立，
可得，
即，均恒成立，
构建，，则，
由可知在内单调递增，
可知在内恒成立，即在内恒成立；
同理可得：内恒成立；
即在内恒成立，
又因为，即，
整理得，可得，
即在内恒成立，
令，
因为在内单调递增，则在内单调递增，
当，；当，；可知，
可得在内恒成立，
构建，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，则，
构建，则在内恒成立，
可知在内单调递减，则；
可得，所以实数a取值范围为.
【小问3详解】
（i）当，可得，符合题意；
（ⅱ）当，因为为上的“2类函数”，不妨设，
①若，则；
②若，则
；
综上所述：，，.
【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题
（1）分离参数法
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
（2）函数思想法
第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
第三步：构建不等式求解．
株高增量（单位：厘米）
第1组鸡冠花样本株数
4
10
4
2
第2组鸡冠花样本株数
3
8
8
1
第3组鸡冠花样本株数
7
5
7
1
0
1
2
3
0
1
0
1
0
1