山西省大同市左云县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷题和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共10个小题，每题只有一个选项符合题意，每小题3分，共30分）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式的定义，不包含可开方因式及因数且不包含分母的二次根式是最简二次根式，正确判断得最简二次根式是解题得关键．由最简二次根式的定义逐项判定即可．
【详解】解：A、因为，所以A选项不符合题意；
B、因为，所以B选项不符合题意；
C、因为，所以C选项不符合题意；
D、因为中3不含可开方因数，且为整数，是最简二次根式，故选项D符合题意．
故选：D．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式加减法的法则，二次根式乘法法则对各项进行运算即可．
【详解】解：A.与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B.与2不属于同类二次根式，不能运算，故B不符合题意；
C.∵，
∴计算错误，故C不符合题意；
D.，计算正确，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是对相应运算法则的熟练掌握．
3. 已知△ABC三边分别为a，b，c，下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A. 2a=b＋cB. a：b：c=1：：2
C. ∠A：∠B：∠C=3：4：5D. 2∠A=∠B＋∠C
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理可分析出C、D的正误；根据勾股定理逆定理可分析出A、B的正误．
【详解】解：A、∵2a=b＋c，不能判定△ABC为直角三角形，不符合题意；
B、∵，能判定△ABC为直角三角形，符合题意；
C、设∠A=3x°，∠B=4x°，∠C=5x°，
3x＋4x＋5x=180，
解得：x=15，
则5x°=75°，
∴△ABC不是直角三角形，不符合题意；
D、∵2∠A=∠B＋∠C，∠A＋∠B＋∠C=180°，
∴∠A=60°，
∴△ABC不是直角三角形，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
4. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依据二次根式的加减乘除运算法则即可．
【详解】解：
，
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则是关键．
5. 如图，是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中标注的尺寸，（单位：），可得两圆孔中心和的距离是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理的应用．解此题的关键是注意数形结合思想的应用．
根据题意可得与的取值，又由勾股定理，即可求得的值，即可求得两圆孔中心A和B的距离．
【详解】解：如图，，
在中，，，
由勾股定理，得：，
答：两圆孔中心A和B的距离为.
故答案为：D.
6. 如图，菱形的对角线，交于点．若，，则菱形的周长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，由四边形是菱形得，，，，，最后由勾股定理即可求解，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
【详解】∵四边形是菱形，
∴，，，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴菱形的周长是，
故选：．
7. 如图，平行四边形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是，，，则顶点D的坐标是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，则AD=BC，只要计算出BC的长度，就可由A点坐标推出D点坐标．
【详解】解：∵B（﹣2，﹣2），C（2，﹣2）
∴BC=2﹣（﹣2）=2+2=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=4，
∵点A的坐标为（0，1），
∴点D的坐标为（4，1），
故选：C．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中两点之间的距离，平行四边形的性质，能够熟练运用平行四边形的性质是解决本题的关键．
8. 如图，图（1）是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图（2）所示的“数学风车”，若的周长是30，则这个风车的外围周长是（ ）
A. 76B. 57C. 38D. 19
【答案】A
【解析】
【分析】设，则，由勾股定理得到，则，求出，，
即可得到答案．
【详解】解：设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴这个风车的外围周长是：．
故选：A．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理内容是解题的关键．
9. 已知，，则代数式的值是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，本题关键在于利用完全平方公式以及平方差公式简化运算．将变形为已知的值，分别计算出的值，整体代入求值即可．
【详解】解：，，
，，
故选：A．
10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接CF，则CF的长为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接BF，（见详解图），由翻折变换可知，BF⊥AE，BE=EF，由点E是BC的中点，可知BE=3，根据勾股定理即可求得AE；根据三角形的面积公式可求得BH，进而可得到BF的长度；结合题意可知FE=BE=EC，进而可得∠BFC=90°，至此，在Rt△BFC中，利用勾股定理求出CF的长度即可
【详解】如图，连接BF．
∵△AEF是由△ABE沿AE折叠得到的，
∴BF⊥AE，BE=EF．
∵BC=6，点E为BC的中点，
∴BE=EC=EF=3
根据勾股定理有AE=AB+BE
代入数据求得AE=5
根据三角形的面积公式
得BH=
即可得BF=
由FE=BE=EC，
可得∠BFC=90°
再由勾股定理有BC-BF=CF
代入数据求得CF=
故答案为：
【点睛】此题考查矩形性质和折叠问题，解题关键在于利用好折叠的性质，对应点的连线被折痕垂直平分．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，请将正确答案填在题中横线上）
11. 如图，王大爷开辟了一块直角三角形的菜地种蔬菜，用栅栏将三角形菜地分成，面积相等的两部分．若，，则栅栏_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形的中线和直角三角形斜边上的中线性质，由栅栏将三角形菜地分成，面积相等的两部分，可得是的中线，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵栅栏将三角形菜地分成，面积相等的两部分，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
12. 如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是______________．（只需写出一个条件即可）
【答案】AB=CD或AD//BC或OA=OC或OB=OD等（只需写出一个条件即可）
【解析】
【分析】由菱形的判定方法进行判断即可．
【详解】解：可以添加的条件是：AB＝CD，理由如下：
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
也可以添加条件是：，理由如下：
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
也可以添加的条件是OA=OC，理由如下：
∵，
∴，，
∴（AAS），
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
也可以添加的条件是OB=OD，理由如下：
∵，
∴，，
∴（AAS），
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
故答案为：AB=CD或AD//BC或OA=OC或OB=OD等．（只需写出一个条件即可）
【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，熟记“对角线互相垂直的平行四边形为菱形”，是解题的关键．
13. 现有一个体积为120cm3的长方体，它的高为cm,长为cm,则这个长方体的宽为_____cm.
【答案】
【解析】
【分析】根据长方体的体积公式列式进行求解即可.
【详解】∵一个体积为120cm3的长方体，它的高为cm,长为cm，
∴这个长方体的宽为：
120÷（2×3）
=120÷30
=（cm），
故答案为.
【点睛】本题考查了二次根式乘除混合运算的应用，熟练掌握长方体的体积公式以及相关的运算法则是解题的关键.
14. 把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB=，则CD=_____．
【答案】
【解析】
【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC=2，BF=AF=1，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．
【详解】如图，过点A作AF⊥BC于F，
在Rt△ABC中，∠B=45°，
∴BC=AB=2，BF=AF=AB=1，
∵两个同样大小的含45°角的三角尺，
∴AD=BC=2，
在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF==
∴CD=BF+DF-BC=1+-2=-1，
故答案为-1．
【点睛】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
15. 如图，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，且．若点P在对角线BD上移动，则的最小值是 _________ ．
【答案】
【解析】
【详解】解：过点E作EM垂直BD，交BC于点M，连接AM交BD与点P，
根据正方形的对称性可得点E、点M关于BD对称，此时AP+EP的值最小，
∵BE=1，
∴BM=1，
根据勾股定理可求得AM= ，
由AP+EP=AM即可得PA+PE的最小值是，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 计算
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的运算法则以及完全平方公式与平方差公式，掌握乘法公式是解题的关键．
（1）先利用乘法分配律化简二次根式，再计算二次根式乘法即可得到答案；
（2）根据完全平方公式与平方差公式，进行计算，即可求解．
【小问1详解】
解：原式
【小问2详解】
原式
17. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地的高度为米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时米），感应门自动打开，为多少米？

【答案】米
【解析】
【分析】过点作于点，构造，利用勾股定理求得的长度即可．
【详解】解：如图，过点作于点，
米，米，米，
（米）．
在中，由勾股定理得到：（米），
答：为米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段的长度．
18. 如图,在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16 cm2和12 cm2的两张正方形纸片,求图中空白部分的面积.
【答案】-12+8cm2)
【解析】
【分析】根据正方形的面积可求出其边长，再求出长方形的边长与面积，用长方形的面积减去两个正方形面积即可.
【详解】解:∵两张正方形纸片的面积分别为16 cm2和12 cm2,
∴它们的边长分别为=4 cm,=2 cm,
∴AB=4 cm,BC=(2+4)cm,
∴空白部分的面积=(2+4)×4-12-16=8+16-12-16=(-12+8)cm2.
【点睛】此题主要考查二次根式的应用.
19. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，过点A作AE∥DC交BC于点E，BD平分∠ABC，求证：AB＝EC．
【答案】见解析
【解析】
【分析】证AD∥CE AE∥CD，得四边形AECD是平行四边形，得AD=CE，AD=AB，故AB=CE．
【详解】证明：
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∵AD∥CE AE∥CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AD=CE，
∵AD=AB．
∴AB=CE．
【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，解题的关键是证明AB＝AD．
20. 如图，正方形网格的每个小方格边长均为，的顶点在格点上．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求边上的高．
【答案】（1）是直角三角形，理由见解析；
（2）边上的高为．
【解析】
【分析】（）根据勾股定理先求出值，然后由勾股定理逆定理即可求解，
（）设边上的高为，再用等面积法即可求解；
本题考查了勾股定理及其逆定理，等面积法，熟练掌握知识点是解题的关键．
【小问1详解】
解：是直角三角形，理由：
由题意得，，，，
∴，
∴是直角三角形；
【小问2详解】
设边上的高为，
由（）得：，，，
∴，，，
∴，
∴，
即边上的高为．
21. 如图，在中，点，分别是和的中点．
（1）若，求证：四边形是矩形．
（2）当等于多少度时，四边形是菱形，直接写出结论．
【答案】（1）证明见解析；
（2）当，四边形是菱形，理由见解析．
【解析】
【分析】（）根据平行四边形的性质证得，，根据，分别是和的中点证得，证明四边形平行四边形，再根据等腰三角形的三线合一的性质可得，再由矩形的定义可得结论；
（） 当，根据菱形的判定定理即可得到结论；
本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形和菱形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵分别是和的中点，
∴，，
∴，
∵ ，，
∴四边形是平行四边形，
∵，是的中点，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
【小问2详解】
当，四边形是菱形，理由如下：
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（）知，四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
22. 探究题：
（一）小明在玩积木时，把三个正方体积木摆成一定的形状，正面看如图①所示：
（1）若图中的△DEF为直角三角形，∠DEF=90°，正方形P的面积为9，正方形Q的面积为15，则正方形M的面积为________；
（2）若P的面积为36cm²，Q的面积为64cm²，同时M的面积为100cm²，则△DEF为________三角形．
（二）图形变化：如图②，分别以直角三角形ABC（∠ACB=90°）的三边为直径向三角形外作三个半圆，你能找出这三个半圆的面积S1、S2、S3之间有什么关系吗？请说明理由．
【答案】（一）（1）24，（2）直角；（二） S1＋S2＝S3，见解析.
【解析】
【分析】（一）直接根据勾股定理及正方形的性质进行解答；
（二）根据勾股定理得出AB2=AC2+BC2，再根据圆的面积公式得出S1、S2、S3的表达式，找出其中的关系即可．
详解】(一)、
（1）M的面积为：24．
（2）△DEF为直角三角形．
(二)、S1＋S2＝S3 理由如下：
∵△ABC是直角三角形，
∴AC2＋BC2＝AB2
∵S1＝π·(AC)2＝ πAC2，
S2＝π·(BC)2＝πBC2，
S3＝π·(AB)2＝πAB2，
∴S1＋S2＝πAC2＋πBC2＝π(AC2＋BC2)＝πAB2，
∴S1＋S2＝S3．
【点睛】考查的是勾股定理及正方形的性质、圆的面积公式，熟知勾股定理是解答此题的关键．
23. 问题情境：
在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题展开数学活动．
动手操作：
第一步：如图，四边形是正方形纸片，将该纸片对折，使与重合，折痕为，展开铺平，如图；
第二步：沿直线折叠，使点落在处，设交于点．如图；
第三步：延长交于点，连接交于点，如图．
解决问题：
（1）线段与的数量关系是__________；
（2）若正方形的边长为．
（）求长；
（）求的值．
【答案】（1）；
（2）（）；（）．
【解析】
【分析】（）根据正方形的性质可得，，再根据折叠性质可得，，证明即可；
（）（）由折叠性质可知，，，正方形的性质得，，，再由勾股定理即可求解；
（）连接，由折叠的性质可知，垂直平分，则，，，再证是的中位线得，最后由折叠性质和勾股定理即可求解．
【小问1详解】
∵四边形是正方形，
∴，，
由折叠性质可知，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
（）由折叠性质可知，，，
由（）知，
∵正方形的边长为，
∴，，，
在中，，
即，
解得；
（）连接，如图，
由折叠的性质可知，垂直平分，
∴，，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，
由折叠性质可知，，，
∴，
∴，
∴
在中，，
∴，解得，
∴ ，，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，中位线性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．