云南省昆明市五华区云南师范大学实验中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（全卷满分：100分 考试时间：120分钟）
一、选择题（共15小题，每小题2分，满分30分）
1. 要使二次根式有意义，的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的得到，解不等式即可得到答案．
【详解】解：二次根式有意义的条件是，
，
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件及解不等式，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键．
2. 下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断，掌握勾股定理的逆定理是解决本题的关键．根据勾股定理的逆定理，即可求得．
【详解】解：A、，故是直角三角形，故A选项不符合题意；
B、，故是直角三角形，故B选项不符合题意；
C、，故不是直角三角形，故C选项符合题意；
D、，故是直角三角形，故D选项不符合题意．
故选：C．
3. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式，熟练掌握二次根式的化简方法，最简二次根式的形式是解题的关键．最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
根据最简二次根式的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．，所以A不符合题意；
B．是最简二次根式，所以B符合题意；
C．，所以C不符合题意；
D．，所以D不符合题意；
故选：B．
4. 将函数的图像向下平移2个单位长度，所得图像对应的函数表达式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题目条件函数的图像向下平移2个单位长度，则的值减少2，代入方程中即可．
【详解】解：∵函数的图像向下平移2个单位长度，
∴，
故答案为：A．
【点睛】本题主要考查函数平移，根据题目信息判断是沿轴移动还是沿轴移动是解题的关键．
5. 如图，已知四边形，添加下列条件后不能判定四边形是平行四边形的是（ ）

A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可;
【详解】A、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可确定四边形是平行四边形，不符合题意；
B、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可确定四边形是平行四边形，不符合题意；
C、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可确定四边形是平行四边形，不符合题意；
D、不能确定是平行四边形，有可能是等腰梯形，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键，平行四边形的五种判定方法：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的匹边形是平行四边形．
6. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【详解】解：A、，无法合并，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7. 如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点．请你添加一个条件，使四边形为矩形，应添加的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用三角形中位线定理证明四边形为平行四边形，然后添加每个选项的条件，根据矩形的判定定理判定即可．
【详解】解：应添加的条件是，理由为：
证明：、、、分别为、、、的中点，
，，，，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
A、添加的条件是时，四边形为平行四边形，故此选项不符合题意；
B、添加的条件是，则，所以四边形为矩形，故此选项符合题意；
C、添加的条件是，四边形为平行四边形，故此选项不符合题意；
D、添加条件是，
、、、分别为、、、的中点，且，，，，，
，
则四边形为菱形，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了中点四边形，以及平行四边形、矩形、菱形的判定，三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键．
8. 如图，直线（）经过点，，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可．
【详解】解：观察图象知：当x＞-2时，kx+b＞4，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
9. 如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D、E，测量得米，则A、B两点间的距离为（ ）
A. 30米B. 32米C. 36米D. 48米
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查三角形中位线定理，关键是由三角形中位线定理得到．
【详解】解：∵D、E分别是、中点，
∴是的中位线，
∴，
∵米，
∴米，
∴A、B两点间的距离为32米．
故选：B
10. 下列关于一次函数的图像性质说法中，不正确的是（ ）
A. 直线与x轴交点的坐标是B. 直线经过第一、二、四象限
C. y随x的增大而减小D. 与两坐标轴围成的三角形面积为4
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意由题目中的函数解析式利用一次函数图象的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：A、直线与 x 轴交点的坐标是，故符合题意；
B、一次函数的图象中，，故直线经过第一、二、四象限，故不符合题意；
C.、一次函数的图象中 ，有y 随 x 的增大而减小，故不符合题意；
D、由一次函数 可知与坐标轴交点坐标分别为和，∴与坐标轴围成的三角形面积为4，故不符合题意；
故选：A．
11. 如图是底面周长为24，高为5的圆柱体．一只小蚂蚁要从点A爬到点，则蚂蚁爬行的最短距离是（ ）
A. 7B. 10C. 13D. 21
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是把立体图形转换成平面图形，运用勾股定理来解．
将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，根据两点之间线段最短找出最短距离，然后根据勾股定理可求得结果．
【详解】解：如图所示：

由于圆柱体的底面周长为24，
则，
又因为圆柱体的高为5，
∴，
所以，
故蚂蚁爬行的最短距离是13．
故选：C．
12. 函数（）的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】题目主要考查一次函数的图象的判断，熟练掌握一次函数的图象的判断方法是解题关键．
【详解】解：，
∴，
∴一次函数经过一、三、四象限，
故选：C．
13. 如图，四边形是菱形，，于H，则等于（ ）
A. B. C. 5D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，利用菱形的性质和勾股定理求出，再利用菱形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图所示，设菱形的对角线交于O，
∵四边形是菱形 ，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
故选:A．
14. 我国古代数学著作《九章算术》中记载这样一个问题，原文是：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何?”译文为；“现在有一根直立的木柱，用一根绳索绑住木柱的顶端，另一端自由下垂，则绳索比木柱多三尺；将绳索的另一端靠地拉直，此时距离木柱的底端八尺，问这条绳索的长度是多少?”根据题意，求得绳索的长度是（ ）
A. 9尺B. 9尺C. 12尺D. 12尺
【答案】D
【解析】
【分析】设木柱长度为x尺，则绳索长度为（x+3）尺，根据题意利用勾股列方程即可求解．
【详解】解：设木柱长度为x尺，则绳索长度为（x+3）尺，
根据题意可得：x2+82=（x+3）2，
解得：x=．
∴x+3=12，
故绳索长度为12尺．
故选：D．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理得出方程是解题的关键．
15. 小明与家人乘车去翠湖游玩然后返回家中，小明与小明家的距离与所用时间的对应关系如图所示，以下说法错误的是（ ）
A. 小明全家去翠湖时的平均速度为
B. 小明全家停车游玩了4.5小时
C. 小明全家返回时的平均速度为
D. 小明全家出发后，距家90千米时，所用时间为小时
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，小明全家去翠湖时花费1.5小时，路程为，回家时花费2小时，路程为，根据速度=路程÷时间可判断A、C；小明全家在出发1.5小时后到达阳屏湖，在出发6小时后离开翠湖，据此可判断B；小明全家出发后，距家90千米有离家和回家过程中两个时间，据此可判断D．
【详解】A． 小明全家去翠湖时的平均速度为，原说法正确，不符合题意；
B． 小明全家停车游玩了小时，原说法正确，不符合题意；
C． 小明全家返回时的平均速度为，原说法正确，不符合题意；
D． 小明全家出发后，距家90千米时，所用时间为或小时，原说法错误，符合题意；
故选：D．
二、填空题（共4小题，每小题2分，满分8分）
16. 请写出一个图形经过一、三象限的正比例函数的解析式___．
【答案】y=x（答案不唯一）
【解析】
【详解】试题分析：设此正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），
∵此正比例函数的图象经过一、三象限，∴k＞0．
∴符合条件的正比例函数解析式可以为：y=x（答案不唯一）．
17. 如图，在数轴上，以单位长度为边长画正方形，以正方形对角线长为半径画弧，与数轴交于点，则点表示的数为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理，实数与数轴，首先求出正方形对角线的长度，再根据点A在数轴上的位置，确定点A表示的数，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．
【详解】∵正方形的边长为1，
∴正方形对角线的长度，
∴点A表示．
故答案为：．
18. 古希腊著名数学家海伦写了一本《测量仪论》，上面记载着一个重要公式：指三角形的面积，是三角形各边长，为周长的一半．海伦对这个公式做出了证明，所以后人称这个公式为海伦公式．已知的边长分别为2，3，4，根据海伦公式求得的面积为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题目中的海伦公式，将的边长代入计算即可．
【详解】解：若一个三角形的三边长分别为2，3，4，
，，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的三角形的面积．
19. 如图，在矩形中，两条对角线相交于点，若，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】由矩形的性质得到OA＝OB，然后可得OD＝OB＝AB，求出BD，由勾股定理求出AD．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠BAC＝90°，OB=OD=BD
∵AB＝OB＝4
∴OD＝OB＝AB＝4
∴BD＝2OB＝8
∴AD＝
故答案为：4．
【点睛】本题考查了矩形的性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
三、解答题（共8题，满分62分）
20. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先把各个二次根式化为最简二次根式，然后进行合并，熟练掌握平方差公式和完全平方公式，是解题的关键．
（1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先利用完全平方公式和平方差公式进行计算，然后合并即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
21. 如图，四边形ABCD中，．试判断的形状，并说明理由．
【答案】△ACD是直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出AC的长，在△ACD中，再由勾股定理的逆定理，判断三角形的形状．
【详解】解：△ACD是直角三角形．理由是：
∵∠B=90°，AB=3，BC=4，
∴，
∴AC=5，
又∵25+144=169，=169，
∴，
∴△ACD是直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理的综合应用，掌握勾股定理与勾股定理的逆定理是解题的关键．
22. 有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，则将将变成，即变成，从而使得得以化简．
（1）例如，．
________
（2）请仿照上例化简：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题关键是熟练掌握完全平方公式和二次根式的性质．
（1）把被开方数中的5写成，然后利用完全平方公式分解因式，最后根据二次根式的性质化简即可；
（2）把被开方数中的11写成，然后利用完全平方公式分解因式，最后根据二次根式的性质化简即可．
【小问1详解】
解：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵，
．
23. 如图，距学校A的正南方向的B处有一辆汽车，且该汽车正以的速度沿北偏东的方向往C处移动，汽车在行进的过程中会发出噪音．若汽车周围以内会受到噪音的影响，请问：
（1）该学校是否受到噪音影响？请说明理由．
（2）若学校会受到噪音影响，求该学校受到噪音影响的持续时间有多长．
【答案】（1）该学校受到噪音影响
（2）噪音影响该学校的持续时间有10秒
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，等腰三角形的性质，熟练的构建图形是解本题的关键．
（1）过点A作于D，利用锐角三角函数的定义求出的长与相比较即可；
（2）过点A作，根据勾股定理求出的长即可得出噪音影响该学校的持续时间．
小问1详解】
解：该学校受到噪音影响，理由如下：
如图：过点A作，
∵，米，
∴米米，
故该学校受到噪音影响；
【小问2详解】
过点A作，
∴，
由勾股定理得：，
则，
则，
则影响时间：（秒）．
答：噪音影响该学校的持续时间有10秒．
24. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）OE=2．
【解析】
【分析】（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可．
（2）根据菱形的性质和勾股定理求出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】（1）证明：∵AB//CD，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵∥，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点，
∴，，，
∴，
在Rt△AOB中，，
∴，
∵，
∴，
在Rt△AEC中，，为中点，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．
25. 2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以龙的十二生肖专属汉字“辰”为名．设计灵感以中华民族龙图腾的代表性实物，突出呈现吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某网店从工厂购进大号、中号两种型号的“龙辰辰”，已知每个大号“龙辰辰”进价比中号“龙辰辰”多15元，2个大号“龙辰辰”和1个中号“龙辰辰”共150元．
（1）求大号、中号两种型号的“龙辰辰”的进价．
（2）该网点准备购进两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过中号的一半．中号“龙辰辰”定价60元，大号“龙辰辰”的定价比中号多．当购进大号“龙辰辰”多少个时，销售总利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）大号的“龙辰辰”的进价为55元，中号的“龙辰辰”的进价为元
（2）当购进大号“龙辰辰”20个时，销售总利润最大，最大利润是元．
【解析】
【分析】此题考查了一次函数、一元一次不等式、一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是解题的关键．
（1）设大号的“龙辰辰”的进价为x，则中号的“龙辰辰”的进价为元，根据2个大号“龙辰辰”和1个中号“龙辰辰”共150元列方程，解方程即可得到答案；
（2）设购进大号“龙辰辰”m个，则中号“龙辰辰”的个数为个，销售总利润为元，得到，再根据题意求出，根据一次函数的性质即可得到答案．
【小问1详解】
解：设大号的“龙辰辰”的进价为x，则中号的“龙辰辰”的进价为元，则
解得，
则，
答：大号的“龙辰辰”的进价为55元，中号的“龙辰辰”的进价为元；
【小问2详解】
解：设购进大号“龙辰辰”m个，则中号“龙辰辰”的个数为个，销售总利润为元，
则，
∵大号“龙辰辰”的个数不超过中号的一半
∴，
∴，
∵中，，
∴w随着m的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，此时，
∴当购进大号“龙辰辰”20个时，销售总利润最大，最大利润是元．
26. 如图，平面直角坐标系中，线段的端点为，．
（1）求所在直线解析式；
（2）某同学设计了一个动画，如图，函数（，）的图象经过点时，会从C处弹出一个光点P，并沿射线飞行．若光点P击中线段AB上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段就会发光，当线段发光时，求此时整数m的个数．
【答案】（1）
（2）m的值有6个
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的几何应用：
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）由题意直线经过点，设线段上的整数点为，则，可得或或或，进而可求解；
熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
【小问1详解】
解：设直线的解析式为，
把，代入，得：，
解得：，
直线AB的解析式为．
【小问2详解】
由题意直线经过点，
；
设线段上的整数点为，则，
，
，
，
t为整数，m也是整数，
或或或，
即，
，
，
，，
，，
，，
，，
，，
，，
综上所述，符合题意的m的值有6个．
27. 综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

（1）操作判断
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，．
根据以上操作，当点在上时，写出图中一个的角：______；
（2）迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接．
①如图2，当点在上时，_____，______；
②改变点在上的位置（点不与点，重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由．
（3）拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长．
【答案】（1）（或）
（2）①；；②；见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据折叠的性质，得，结合矩形的性质得，进而可得；
（2）根据折叠的性质，可证，即可求解；
（3）由（2）可得，分两种情况：当点在点的下方时，当点在点的上方时，设分别表示出，，，由勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：
，
，
故答案为：（或）．
【小问2详解】
四边形正方形
，
由折叠性质得：，
①
∴
，
故答案为：，．
②
【小问3详解】
当点在点的下方时，如图，

，
由（2）可知，
设
，
即
解得：
∴；
当点在点的上方时，如图，

，，
由（2）可知，
设
，
即
解得：
∴．
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、三角形的全等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．