29，河南省漯河市源汇区实验中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题

这是一份29，河南省漯河市源汇区实验中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列定理中，没有逆定理的是（ ）
A. 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等B. 两个全等三角形的对应角相等
C. 线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等D. 两直线平行，内错角相等
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定与性质，平行线的判定与性质，定理与逆定理的含义，根据以上基础知识再逐一分析各选项即可．
【详解】解：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等的逆定理是：角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上，故A不符合题意；
两个全等三角形的对应角相等的逆命题是：三个角分别相等的两个三角形全等，是假命题，故B符合题意；
线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等的逆定理是到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故C不符合题意；
两直线平行，内错角相等的逆定理是内错角相等，两直线平行，故D不符合题意；
故选B
2. 在中，的对边分别是下列条件中，不能判断为直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的判定，涉及勾股定理的逆定理、三角形的内角和等知识，熟练掌握知识点是解题的关键．根据所给的条件，结合勾股定理逆定理、三角形内角和定理逐项判断即可作答．
【详解】解：∵，
．
是直角三角形．该试卷源自 每日更新，享更低价下载。故A选项不符合题意；
，
即，
是直角三角形．
故B选项不符合题意；
，，
，，
是直角三角形．
故C选项不符合题意；
∵，，
∴最大角，
不是直角三角形，
故D选项符合题意；
故选：D．
3. 如图，在中，，，则的度数是（ ）
A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°
【答案】D
【解析】
【分析】因为，，所以可得到，根据平行四边形的性质对角相等，从而得出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及平行四边形的性质，清楚掌握其性质并能灵活运用是解题关键．
4. 如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，若，，则菱形的面积是（ ）

A. 48B. 36C. 24D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上中线的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的两条对角线互相垂直平分是解题的关键．根据菱形的性质和已知条件可得是斜边上的中线，由此可求出的长，再根据勾股定理可求出的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可．
【详解】解：∵菱形，
∴，，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴菱形的面积是．
故选：C．
5. 如图，点为矩形的对角线的交点，点从点出发，沿向点运动到点停止，延长交于点，则四边形形状的变化依次为（ ）

A. 平行四边形→菱形→平行四边形→矩形B. 正方形→菱形→平行四边形→矩形
C. 平行四边形→正方形→菱形→矩形D. 平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
【答案】A
【解析】
【分析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形形状的变化情况，这个四边形先是平行四边形，当对角线互相垂直时是菱形，然后又是平行四边形，最后点与点重合时是矩形．
【详解】解：观察图形可知，四边形形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形，
故选：．
【点睛】本题考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，解题的关键是确定与的位置关系．
6. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，垂直平分于点E，则的长为（ ）
A. B. C. 4D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理，由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出，得出，由勾股定理求出即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
7. 若顺次连接平面四边形各边的中点所得四边形是菱形，则四边形一定满足（ ）
A. 对角线相等B. 对角线互相平分
C. 对角线互相垂直D. 对角线相等且互相平分
【答案】A
【解析】
【分析】可先画出图形，先根据三角形的中位线证得四边形是平行四边形，然后再根据菱形的判定方法即可得出答案.
【详解】如图，∵分别是边的中点，
∴．
∴，，
∴四边形是平行四边形，假设．
∵，则，
∴平行四边形是菱形．
即只有具备才可以推出四边形EFGH是菱形．
故选A．
【点睛】本题考查的是三角形的中位线和菱形的判定方法，能够掌握菱形的判定方法是解题的关键.
8. 在△ABC中，，边上的高，则边的长为（ ）
A. 4B. 14C. 4 或14D. 8或14
【答案】C
【解析】
【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=BD﹣CD．
【详解】（1）如图1，锐角△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上高AD=12．在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得：BD2=AB2﹣AD2=152﹣122=81，则BD=9．在Rt△ACD中AC=13，AD=12，由勾股定理得：CD2=AC2﹣AD2=132﹣122=25，则CD=5，故BC长为BD+DC=9+5=14；
（2）如图2，钝角△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上高AD=12．在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得：BD2=AB2﹣AD2=152﹣122=81，则BD=9．在Rt△ACD中AC=13，AD=12，由勾股定理得：CD2=AC2﹣AD2=132﹣122=25，则CD=5，故BC的长为BD﹣CD=9﹣5=4．
综上可得BC的长为14或4．
故选C．
【点睛】本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答，注意分类讨论，不要漏解，难度一般．
9. 如图，四边形和四边形都是矩形，且点A在上，设矩形和矩形的面积分别为，，则与的大小关系为（ ）

A. B. C. D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】由矩形的性质可得，，从而可得答案．
【详解】解：∵矩形的面积，，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，利用矩形的性质求解面积是解本题的关键．
10. 如图，在正方形中，E、F分别是，的中点，，交于点G，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（ ）
A. ①②B. ①③C. ①②④D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了正方形性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
根据正方形的性质 中点的性质可得，根据全等三角形的性质得到，故①正确；易得，根据垂直的定义得到，故②正确；延长交的延长线于H，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，由是斜边的中线，得到，求得，根据余角的性质得到．故③正确．根据，可得，所以∠，进而可知④错误．
【详解】解：四边形是正方形，
，
E、F分别是，的中点，
在与中，
，故①正确；
，故②正确；
延长交的延长线于H，
点E是的中点，
是斜边的中线，
，故③正确；
不是等边三角形，
，故④错误；
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点，过点的直线分别交AD和BC于点、E，若设该平行四边形的面积为2，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质．根据平行四边形的性质证明可得，进而可得阴影部分面积等于的面积，即为面积的一半，由此可解．
【详解】解：∵平行四边形中，对角线，相交于点，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
∴阴影部分面积等于的面积，即为面积的一半，
∴阴影部分面积为，
故答案为：1．
12. 已知中，，垂足为D，，则的长为__________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，正确作出图象，运用分类讨论思想是解题的关键．
根据题意作出图形，分两种情况讨论：①在的内部，根据角的直角三角形的性质和勾股定理可求得，根据等角对等边可得，进而可求解．②在的外部， 同①思路即可求解．
【详解】分两种情况讨论：
①如图：

∵，
∴，
∵，
∴在中，，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图，

∵，
∴，
∵，
∴在中，，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上所述，的长为或．
故答案为：或
13. 如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？
【答案】25
【解析】
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】解：如图所示，
∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为（2+3）×3=15，
∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长，
由勾股定理得：，
则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是25.
【点睛】本题考查了平面展开中的最短路径问题，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关键．
14. 如图，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，过点E作，交于点F，以，为邻边作矩形，连接．若，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】过点E作于点M，作于N，利用正方形的性质，角平分线的性质以及全等三角形的判定可证得出，再证明，得出，则可证，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：过点E作于点M，作于N，
∵四边形为正方形，，
∴，平分，，，
∴，四边形是矩形，
∴，
又，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，
又四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，添加合适的辅助线，证明矩形是正方形是解题的关键．
15. 如图，已知矩形的两条边，点E是对角线、的交点，点P是边上一个动点，作点D关于直线的对称点，当与矩形一条边垂直时，的长是__________．

【答案】5或10
【解析】
【分析】根据折叠的性质可得，从而可得，，再根据矩形的性质，，，，再由平行线的性质和三角形中位线定理可得，当时，，，，利用勾股定理求得，从而求得，设，则，利用勾股定理可得，再求解即可；当时，，由平行线的性质可得，再由折叠的性质可得是的角平分线，，从而可得，再根据等腰三角形的判定即可求解．
【详解】解：∵点D关于直线的对称点，
∴，
∴，，
∵四边形是矩形，，
∴，，，，，，
当时，，
∵，
∴，，
在中，，
∴，
设，则，
在中，，
解得，，
∴，

当时，，
∴，
∵点D关于直线的对称点，
∴是的角平分线，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：5或10．
【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理及三角形中位线定理、解一元一次方程，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
三、解答题（共75分）
16. 如图，四边形是平行四边形，E，F是对角线的三等分点，连接，证明：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】只需要利用证明即可证明.
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵E，F是对角线的三等分点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴.
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知平行四边形对边平行且相等是解题的关键.
17. 如图所示，为一棵大树，在树上距地面的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B处，再由B处跑到C处．已知两只猴子所经过的路程都是，求树高的距离．
【答案】12米
【解析】
【分析】Rt△ABC中，∠B=90°，则满足，设AD=x，根据两只猴子经过的路程一样可得再利用勾股定理可得答案．
【详解】解：Rt△ABC中，， 设AD=x，
则
又在Rt△ABC中，由勾股定理得：，
∴
解得，x=2，即AD=2（米）
∴AB=AD+DB=2+10=12（米）
答：树高AB为12米．
【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到两只猴子行走路程相等的等量关系，并且正确地运用勾股定理求AD的值是解题的关键．
18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，若的顶点都在格点上，且三边的长分别为，，．
（1）请在网格内画出；
（2）的面积是_______．（在横线上直接写出计算结果）
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
（1）根据勾股定理算出三边长，取格点，连接即可；
（2）根据正方形的面积公式，三角形的面积公式即可算出的面积．
【小问1详解】
解：取格点、、，顺次连接各点，
在网格中，每个小正方形的边长均为，
∴，
，
，
∴就是所求的三角形．
【小问2详解】
解：，
∴的面积是，
故答案为：．
19. 如图，在四边形中，、相交于点．
（1）如图1，求证四边形为矩形；
（2）如图2，E是边上任意一点，分别是垂足，若，求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）先证明四边形是平行四边形，再由对角线相等得到四边形为矩形；
（2）由、分别是和 的高，利用即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形。
【小问2详解】
连接，
由（1）得四边形是矩形，
，，
，，
，


∵
∴
∴；
20. “农场小达人”社团计划在春天到来之前整修教学楼顶层的平台，用于建设菜园和花圃．如图，处是顶层平台自来水管的位置，，两处分别计划修建菜园和花圃，，两处相距，，两处相距，，两处相距．为了便于用水，小华在图纸上帮助设计了两种水管铺设方案．
甲方案：沿线段，铺设段水管．
乙方案：过点作垂线，垂足为．沿线段，，铺设段水管
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）小华设计的哪一种方案需要铺设的水管更短？为什么？
【答案】（1）直角三角形，理由见解析
（2）甲方案铺设的水管更短，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）根据三角形的面积公式，即可求解．
【小问1详解】
解：是直角三角形，
理由：，，，
，，
，
是直角三角形；
【小问2详解】
甲方案铺设的水管更短，
理由：，
，
，
，
甲方案铺设的水管更短．
21. 如图，在四边形中，，对角线交于点，过点作交的延长线于点，且，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）4
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质等等：
（1）先证明，得到，再证明四边形是平行四边形，即可证明四边形是菱形；
（2）利用菱形的性质和勾股定理求出，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形；
【小问2详解】
解：四边形是菱形，，
，
在Rt中，由勾股定理得，即
，
，
，
22. 如图，在中，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点、运动的时间是，过点作于点，连接、．
（1）求证：；
（2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由；
（3）当为何值时，为直角三角形？请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）能，，理由见解析
（3）当或时，为直角三角形．
【解析】
【分析】（）利用表示出以及的长，然后在直角中，利用直角三角形的性质求得的长，即可证明；
（）易证四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，据此即可列方程求得的值；
（）分别从与两种情况讨论即可求解．
【小问1详解】
证明：根据题意可知，，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴；
【小问2详解】
能，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴要使平行四边形为菱形，则需， 即，
解得，
∴当时，四边形为菱形；
小问3详解】
由题意可知，点D从所需时间：，点A从所需时间：
若，此时重合，不符合题意；
需分或两种情况讨论：
当时：
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，解得；
当时：
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，解得：，经检验都符合题意，
综上所述，当或时，为直角三角形．
【点睛】此题考查了动点问题、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、角所对直角边是斜边的一半的性质等知识，熟练掌握以上知识的应用及注意掌握分类讨论思想的应用是解题的关键．
23. 在正方形中，E是边上一点（点E不与点B，C重合），，垂足为点E，与正方形的外角的平分线交于点F．
（1）如图1，若点E是的中点，猜想与的数量关系是__________；证明此猜想时，可取的中点P，连接．根据此图形易证．则判断的依据是__________．
（2）点在边上运动．
①如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由．
②如图3，连接若正方形的边长为4，直接写出的周长最小值．
【答案】（1），；
（2）①成立，理由见解析；②的周长c的取值范围为．
【解析】
【分析】（1）根据提示，利用正方形的性质和“”证明两个三角形全等；
（2）①仿照（1）中方法，在上取点P，使得，连接，证明即可得出结论；②如图3，设与相交于点O，延长到，使，连接，，根据正方形的性质和线段垂直平分线的性质证得，则，当D、F、三点共线时取等号，此时的周长的最小，最小值为，在中利用勾股定理求得得到的周长的最小值为；再讨论当点E于C重合时和当点E与点B重合时情况，即可得出的周长c的取值范围．
【小问1详解】
解：猜想，理由：
如图1，取的中点P，连接．则
∵四边形是正方形，
∴，，
∵E是的中点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，则，
∵平分，
∴，
∴，即，
∵，
∴，又，
∴，
在和中，
，
∴
∴．
【小问2详解】
①猜想仍然成立．理由为：
如图2，在上取点P，使得，连接，
由（1）得，，，，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∴，则，
∴
在和中，
，
∴，
∴；
②如图3，设与相交于点O，延长到，使，连接，，
∵四边形是正方形，边长为4，
∴，，，，
∴，，
又∵，
∴，则垂直平分，
∴，
∴，当D、F、三点共线时取等号，此时的周长的最小，最小值为，
在中，，
∴，
∴的周长的最小值为；
当点E于C重合时，如图4，，
∴，
又，，
∴，则A、D、F共线，且，
∴，此时不存在，
当点E与点B重合时，点F与点C重合，的周长即为的周长，
综上，的周长c的取值范围为．
【点睛】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、最短路径问题、勾股定理，二次根式的乘法运算等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，灵活添加辅助线，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．