40，山西省朔州市怀仁市峪宏中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题

这是一份40，山西省朔州市怀仁市峪宏中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（时间90分钟，满分120分）
一、选择题（每题3分， 共 30分）
1. 下列二次根式：是最简二次根式的有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】A
【解析】
【分析】利用最简二次根式的定义:(1)被开方数不含开方开的尽的数或因式，(2)被开方数中不含分母，分别判断即可．
【详解】是最简二次根式的有，．
故选：A
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义及将二次根式化为最简二次根式的方法是解决本题的关键．
2. 下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理，根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方进行分析判断即可．
【详解】解：A、，能构成直角三角形，是整数，故是勾股数，不符合题意；
B、 ，不能构成直角三角形，不是勾股数，符合题意；
C、，能构成直角三角形，是整数，故是勾股数，不符合题意；
D、，能构成直角三角形，是整数，故是勾股数，不符合题意．
故选：B．
3. 小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相该试卷源自 每日更新，享更低价下载。同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（ ）
A. ①②B. ③④C. ②③D. ①④
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了．确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．
【详解】解：∵只有③④两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带③④两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．
故选：B．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的运算，平方差公式的运用，根据二次根式的加减法法则对A选项、D选项进行判断，根据二次根式的乘法法则对B选项进行判断，根据平方差公式对C选项进行判断即可．
【详解】解：A、，，不能合并，原式不正确，不符合题意；
B、，原式不正确，不符合题意；
C、，原式不正确，不符合题意；
D、，正确，符合题意，
故选：D．
5. 在中，，，若点P在边上移动，则的最小值是（ ）
A. 4B. C. 5D.
【答案】D
【解析】
【分析】作于点D，如图，根据等腰三角形性质和勾股定理可求出，根据垂线段最短可知：当时，最小，再利用三角形的面积求解即可．
【详解】解：作AD⊥BC于点D，如图，
∵，，
∴，，
根据垂线段最短可知：当时，最小，
则由，可得，解得；
即线段的最小值是．
故选D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形的面积等知识，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键．
6. 估计的运算结果在哪两个整数之间（ ）
A. 3和4B. 4和5C. 5和6D. 6和7
【答案】C
【解析】
【分析】先利用夹逼法求得的范围，然后可求得+的大致范围．
【详解】∵9＜10＜16，
∴3＜＜4，
∴5＜+＜6，
故选C．
【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小，利用夹逼法求得的范围是解题的关键．
7. 如图，在中，对角线交于点O，周长为18，过点O作交于点E，连接，则的周长为（ ）
A. 18B. 9C. 6D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】由平行四边形的对角线相交于点，根据线段垂直平分线的性质，可得，又，继而可得的周长等于．
此题考查了平行四边形的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质进行分析．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴
∵周长为18，
∴，
∵，
∴，
∴的周长为：．
故选：B．
8. 的三边长分别为a，b，c．下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形的内角和，平方差公式，勾股定理逆定理．根据三角形的内角和为180度，即可判断①③；根据平方差公式和勾股定理，即可判断②；根据勾股定理逆定理，即可判断④．
【详解】解：①∵由，
∴，
∴，直角三角形．符合题意；
②由，可得，是直角三角形，符合题意；
③∵，
∴，，，
∴不是直角三角形，不符合题意；
④∵，
∴，
∴根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，符合题意．
综上：其中能判断是直角三角形的有①②④，共3个，
故选：C．
9. 如图，在一个长为，宽为的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点处爬过木块到达点处需要走的最短路程是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查勾股定理解决最短距离问题，将长方体木块拉伸，结合两点间距离及勾股定求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，如图所示，
，
∴，
∴最短路程是：，
故选：A．
10. 如图，在Rt中，，，于点，、是、上的动点，且，下列结论：；四边形的面积为定值；；平分；若，则．其中正确的有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，根据等腰直角三角形的性质可以得出就可以得出 ，就可以得出，根据勾股定理就可以得出结论，熟练掌握等腰直角三角形的性质和证明三角形全等是解题的关键．
【详解】∵，， ，
∴ ， ，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴ ， ，故正确；
∴，
∵四边形的面积，故为定值，故正确；∵，
∴，故正确；
若，则，故，故正确；
当 时，平分，
∴正确的有：，共个，
故选：．
二、填空题
11. 已知，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的性质可得，求解即可．
【详解】解：∵，
∴，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．
12. 计算：（﹣2）2018（+2）2017＝_______．
【答案】﹣2
【解析】
【分析】根据平方差公式和二次根式的乘法可以解答本题．
【详解】解：（﹣2）2018（+2）2017
＝
＝12017•（﹣2）
＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，其中涉及平方差公式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
13. 如图，长方形的边长为2，长为1，点A在数轴上对应的数是0，以A点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了数轴与实数，涉及到勾股定理，直接利用勾股定理得出的长，进而得出点E表示的实数．解题的关键是勾股定理得出的长．
【详解】解：∵四边形是长方形，
∴，，，
在中，由勾股定理可得：
，
∵点A在数轴上对应的数是0，，
∴点E表示的实数是，
故答案为：．
14. 如图，平行四边形的对角线与相交于点O，且，若E是边的中点，，，则的长为_____．
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，证明为的中位线是解题的关键．先利用勾股定理求出，再证明为的中位线，则．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，，，
∴，
∴，
又∵点E为边的中点，
∴为的中位线，
∴，
故答案为：6．
15. 中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．学习了勾股定理后，小明绘制了一幅“赵爽弦图”，如图①所示，已知他绘制的图①的大正方形的面积是，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图②所示的矩形，则的长为 _____．

【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，设直角三角形的较长直角边长度为，较短直角边长度为，则中间的小正方形长度为，根据图形得，再根据两图形的面积相等即可求出的值，根据即可求解，注意利用图形之间的关系进行求解是解题的关键．
【详解】解：如图，设直角三角形较长直角边长度为，较短直角边长度为，则中间的小正方形长度为，
由图2可得，小正方形的边长为，
，即，
围成的矩形长为：，
围成的矩形面积为：，
矩形的面积与大正方形的面积相等，
，
解得 或（舍去），
，
故答案为：10．
三、解答题（共75分）
16. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．
（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可；
（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
17. 在平百直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为．
（1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标：
（2）试说明是直角三角形．
（3）已知点在轴上，若，点的坐标为__________．
【答案】（1）图见解析，
（2）见解析 （3）或
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形，坐标与轴对称，勾股定理及其逆定理．利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质，画出，进而写出的坐标即可；
（2）利用勾股定理及其逆定理，进行判断即可；
（3）根据题意，画出图形，数形结合进行求解即可．
【小问1详解】
解：如图：即为所求；
由图可知：；
【小问2详解】
由勾股定理，得：，
∴，
∴是直角三角形；
【小问3详解】
如图，均满足题意，
同法（2）可得：为等腰直角三角形，
∴，
∴点的坐标为或；
故答案为：或．
18. 如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么该如何计算它的面积呢？
我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：
（秦九韶公式）；
古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了如下公式：
（海伦公式），其中
秦九韶公式和海伦公式都解决了由三角形的三边长直接求三角形面积的问题，它们虽然形式不同，但完全等价．使用这两个公式解决下面的问题：
（1）如果一个三角形的三边长依次为，，，那么它的面积为 ；
（2）如图，在中，已知，，．

①的面积为 ；
②作于点D，求的长．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）直接把数据代入两个公式进行计算即可；
（2）①直接把数据代入两个公式进行计算即可；②先利用已知三角形的面积求解高，再利用勾股定理进行计算即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
同理得，，
∴海伦公式求解：∵，
∴
，
∴；
秦九韶公式求解：
；
【小问2详解】
①由题意得：，，
，
∴海伦公式求解：
；
秦九韶公式求解：
；
②∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
【点睛】本题考查的是三角形面积的计算，算术平方根的含义，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，理解题意，熟练的利用提供的公式计算三角形的面积是解本题的关键．
19. 如图：的对角线相交于点，直线过点与相交于点，
（1）与的数量关系是 ；
（2）若直线与的延长线相交于，上述结论还成立吗？如成立，请说明理由．
【答案】（1）
（2）成立，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，证明三角形全等是解此题的关键．
（1）由平行四边形的性质可得，，从而得到，证明，即可得出；
（2）由平行四边形的性质可得，，从而得到，证明，即可得出．
【小问1详解】
解：四边形是平行四边形，对角线相交于点，
，，
，
在和中，
，
，
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：上述结论还成立，
理由如下：
四边形是平行四边形，对角线相交于点，
，，
，
在和中，
，
，
．
20. 如图， 经过村和村的笔直公路旁有一块山地正在开发， 现需要在处进行爆破．已知处与村的距离为900米， 处与村的距离为1200米，且．
（1）求两村的距离；
（2）为了安全起见，爆破点 周围半径750米范围内不得进入，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁? 请说明理由．
【答案】（1）米
（2）没有危险不需要封锁，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的实际应用、等面积法求线段长，根据题意，数形结合，利用勾股定理及等面积法求出线段长即可得到答案，熟练掌握勾股定理及等面积法是解决问题的关键．
（1）根据题意，数形结合，利用勾股定理求解即可得到答案；
（2）过点作，如图所示，利用等面积法求出，根据题意比较即可得到答案．
【小问1详解】
解：处与村的距离为900米， 处与村的距离为1200米，且，
，
答：两村的距离为米；
【小问2详解】
解：没有危险不需要封锁，
理由如下：
过点作，如图所示：
利用面积相等得到，即，解得，
爆破点 周围半径750米范围内不得进入，，
在进行爆破时，公路段没有危险不需要封锁．
21. 定义：如果一个三角形中有两个内角满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．
（1）若是近直角三角形，，，则______．
（2）在中，，，，若是的平分线．
①求证：为近直角三角形．
②求的长．
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的性质定理，勾股定理等，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
（1）根据“近直角三角形”的定义可知，由此可解；
（2）①由已知条件证明即可；②利用勾股定理求出，作于点E，根据角平分线的性质定理可得，根据求出，进而即可求出的长．
【小问1详解】
解：是近直角三角形，，，
，
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：①证明：中，，
，
是的平分线，
，
中，，
近直角三角形；
②中，，，，
，
如图，作于点E，
是的平分线，，，
，
，
，
，
解得，
．
22. 如图，在中，点D，E分别是边，的中点，连接．点F为延长线上一点，且，连接，，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质和三角形中位线定理是解题的关键；
（1）根据三角形中位线定理利用一组对边平行且相等的四边形即可证明四边形是平行四边形；
（2）利用平行四边形的性质，证明，即可解决问题；
（3）结合（2）证明是等腰直角三角形，即可解决问题．
【小问1详解】
证明：点D，E分别是边，的中点，
， ，
，
，
四边形是平行四边形；
【小问2详解】
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
；
【小问3详解】
解：，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
23. 已知中，，．点D为直线上的一动点（点D不与点B、C重合），以为边作，使，，连接．
发现问题：
（1）如图1，当点D在边上时，请写出和之间位置关系为______，并猜想和之间的数量关系：______．
尝试探究：
（2）如图2，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中和之间的位置关系，和之间的数量关系是否成立？若成立，请证明：若不成立，请写出新的数量关系，并说明理由：
拓展延伸：
（3）当点D在射线上且其他条件不变时，若，，直接写出线段的长．
【答案】（1），；（2）位置关系成立，数量关系成立，见解析；（3）线段的长为或．
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及等腰直角三角形的性质的运用．
（1）根据条件，判定，即可得出和之间的关系，即可得出结论；
（2）根据已知条件，判定，得出，再根据，即可得到结论；
（3）分两种情况，当点D在边上和点D在射线上且在点的左侧时，根据条件判定，得出，在中，由勾股定理即可求出答案．
【详解】解：（1）∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即．
∴，
故答案为：；
（2）成立，数量关系成立，
理由：同（1）可得，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；；
（3）在中，，
∴，
当点D在边上时，
由（1）得，，
∴，，
∴，，
在中，由勾股定理得，，
∴；
当点D在射线上且在点的左侧时，
同（1）可得，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴．