133，2024年辽宁省沈阳市协作体中考数学零模后跟踪训练模拟预测题

这是一份133，2024年辽宁省沈阳市协作体中考数学零模后跟踪训练模拟预测题，共27页。试卷主要包含了 下列说法中正确的是， 若关于的方程无解，则的值为等内容，欢迎下载使用。
A. 与B. 与C. 与D. 与
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，同类项与字母的顺序无关，与系数无关．
【详解】解：A．相同字母的指数不同，不是同类项，故本选项不合题意；
B. 与，所含字母不同，不是同类项，故本选项不合题意；
C. 与字母相同，且相同的字母的指数也相同，是同类项，故本选项符合题意；
D．与所含字母不尽相同，不是同类项，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．
2. 斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案，下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形，据此即可作答．
【详解】解：A、是轴对称图形，故该选项是正确的；
B、不是轴对称图形，故该选项是错误的；
C、不是轴对称图形，故该选项是错误的；
D、不是轴对称图形，故该选项是错误的；
故选：A．
3. 如图，，，若和分别垂直平分和，则等于（ ）该试卷源自 每日更新，享更低价下载。

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据三角形内角和定理解得，再根据垂直平分线的性质可得，，进而可得，，即可获得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵和分别垂直平分和，
∴，，
∴，，
∴．
故选：A．
4. 某手机厂商一月份生产手机20万台，计划二、三月份共生产手机45万台，设二、三月平均每月增长率为x，根据题意列出方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设二、三月份每月的平均增长率为x，根据“计划二、三月份共生产45万台”，即可列出方程．
【详解】解：设二、三月平均每月增长率为x，根据题意列出方程为：
20（1+x）+20（1+x）2=45，
故选：B．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
5. 下列说法中正确的是（ ）
A. 不相交的两条直线叫平行线
B. 从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
C. 平面内两条直线的位置关系有相交、平行和垂直
D. 同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线的判定、点到直线的距离、平面内两直线的位置关系等求解判断即可．
【详解】解：A：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，故A说法不符合题意；
B：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，故B说法不符合题意；
C：平面内两条直线的位置关系有相交和平行，故C说法不符合题意；
D：同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故D说法符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理、点到直线的距离的概念、平面内两直线的位置关系等是解题的关键．
6. 若关于的方程无解，则的值为（ ）
A. 2B. C. 1或2D. 2或
【答案】C
【解析】
【分析】分两种情况，整式方程无解，原分式方程产生增根，无解．
【详解】解：，
x−a＝a（x−2），
x−a＝ax−2a，
x−ax＝a−2a，
（1−a）x＝−a，
∵原方程无解，
∴（1−a）x＝−a无解或原分式方程产生增根，无解，
当（1−a）x＝−a无解，
∴1−a＝0，
∴a＝1，
当原分式方程产生增根，无解，
∴x−2＝0，
∴x＝2，
把x＝2代入x−a＝a（x−2）中得：
2−a＝0，
∴a＝2，
综上所述：a的值为1或2，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程解，分两种情况考虑是解题的关键．
7. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与○O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为( )
A. 15°B. 35°C. 25°D. 45°
【答案】A
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠A =50°，再根据平行线的性质可得∠ACD=∠A=50°，由圆周角定理可行∠D=∠A=50°，再根据三角形内角和定理即可求得∠DBC的度数.
【详解】∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=50°，
∵DC//AB，
∴∠ACD=∠A=50°，
又∵∠D=∠A=50°，
∴∠DBC=180°-∠D -∠BCD=180°-50°-（65°+50°）=15°，
故选A.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理等，熟练掌握相关内容是解题的关键.
8. 如图，△ABC中，∠A=30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD=2，则线段CD的长是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接OD，得Rt△OAD，由∠A=30°，AD=2，可求出OD、AO的长；由BD平分∠ABC，OB=OD可得OD 与BC间的位置关系，根据平行线分线段成比例定理可得结论．
【详解】连接OD，
∵OD是⊙O的半径，AC是⊙O的切线，点D是切点，
∴OD⊥AC，
在Rt△AOD中，∵∠A=30°，AD=2，
∴OD=OB=2，AO=4，
∴∠ODB=∠OBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=∠CBD，
∴∠ODB=∠CBD，
∴OD∥CB，
∴，即，
∴CD=．
故选B．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质、含30°角的直角三角形的性质、等边对等角以及平行线分线段成比例定理，解决本题亦可说明∠C=90°，利用∠A=30°，AB=6，先得AC的长，再求CD．遇切点连圆心得直角，是通常添加的辅助线．
9. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程，设绳索长x尺，竿长y尺，根据用绳索去量竿，绳索比竿长5尺得，根据如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺得，即可得；根据题意找出等量关系列出方程是解题的关键．
【详解】解：设绳索长x尺，竿长y尺，
故选：A．
10. 关于的一元二次方程有一个根是﹣1，若二次函数的图象的顶点在第一象限，设，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】二次函数的图象过点，则，而，则，，二次函数的图象的顶点在第一象限，则，，即可求解．
【详解】∵关于的一元二次方程有一个根是﹣1，
∴二次函数的图象过点，
∴，
∴，，
则，，
∵二次函数的图象的顶点在第一象限，
∴，，
将，代入上式得：
，解得：，
，解得：或，
故：，
故选D．
【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用
二、填空题
11. 阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线l及其外一点A．
求作：l的平行线，使它经过点A．
小云的作法如下：
①在直线l上任取两点B，C；
②以A为圆心，以长为半径作弧；以C为圆心，以长为半径作弧，两弧相交于点D；
③作直线．
直线即为所求．
老师说：“小云的作法正确．”请回答：小云的作图依据是______．
【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
【解析】
【分析】此题主要考查了复杂作图，正确把握平行四边形的性质与作法是解题关键．利用平行四边形的判定得出作出以A，B，C，D为顶点的平行四边形，进而得出答案即可．
【详解】解：以A为圆心，以长为半径作弧；以C为圆心，以长为半径作弧，两弧相交于点D；
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴．
∴作图依据是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
12. 有一种手持烟花，该烟花有10个花弹，每1秒发一发花弹，每一发花弹的飞行路径均相同第一发花弹的飞行高度（米）与飞行时间（秒）满足关系式：当秒时，该花弹的高度为米
（1）第一发花弹的飞行高度的最大高度是______ 米
（2）第一发花弹飞行过程中与其他花弹同一高度时，其的值为______ ．
【答案】 ①. 10 ②. 秒或秒或秒．
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，抛物线的性质，待定系数法，配方法，一元二次方程与二次函数的联系，一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）利用待定系数法求得抛物线的解析式，再利用配方法解答即可得出结论；
（2）由题意得：第一发花弹飞行需要4秒，第一发花弹飞行过程中可能与第二发花弹，第三发花弹，第四发花弹在同一高度，设第一发花弹与第二发花弹在高度为米时，高度相同，得到，根据第一发花弹与第二发花弹相差1秒，得到，再利用根与系数的关系求得值；利用同样的方法求第一发花弹与第三发花弹，第一发花弹与第四发花弹高度相同时的值．
【详解】解：（1）当秒时，该花弹的高度为米，
，
．
．
，
抛物线的顶点坐标为，
第一发花弹的飞行高度的最大高度是米．
故答案为：；
（2）令，则，
或，
第一发花弹飞行需要秒．
第一发花弹飞行过程中可能与第二发花弹，第三发花弹，第四发花弹在同一高度，
设第一发花弹与第二发花弹在高度为米时，高度相同，
，
，
，．
第一发花弹与第二发花弹相差秒，
，
，
，
，
．
当时，
，
解得：（不合题意，舍去）或．
设第一发花弹与第三发花弹在高度为米时，高度相同，
，
，
，．
第一发花弹与第三发花弹相差秒，
，
，
，
，
．
当时，
，
解得：（不合题意，舍去）或．
设第一发花弹与第四发花弹在高度为米时，高度相同，
，
，
，．
第一发花弹与第四发花弹相差秒，
，
，
，
，
．
当时，
，
解得：（不合题意，舍去）或．
综上，第一发花弹飞行过程中与其他花弹同一高度时，其的值为秒或秒或秒．
故答案为：秒或秒或秒．
13. 如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，I为△ABC的内心，延长CI交AB于点D．
（1）∠BIC＝____°；（2）若BD=3，BI＝4，则AB＝_____．
【答案】 ①. 135 ②. ##
【解析】
【分析】（1）根据I为△ABC的内心，可得∠IBC= ∠ABC，∠ICB= ∠ACB，在求出∠IBC＋∠ICB的度数，再根据∠BIC= 180 -(∠IBC + ∠ICB)，即可得答案；
（2）先求∠BID的度数，再证△AIB∽△IDB，得，代入数值计算即可．
【详解】解：（1）∵I为△ABC的内心，
∴∠IBC= ∠ABC，∠ICB= ∠ACB，
∵∠CAB＝90°，
∴∠ABC+∠ACB = 90°，
∴∠IBC＋∠ICB= ∠ABC＋ ∠ACB＝×90°＝45°
∵∠BIC= 180 -(∠IBC + ∠ICB)，
∴∠BIC= 180 °-45°=135°；
（2）∵∠BID与∠ BIC互补，
∴∠BID= 180°- ∠BIC = 180°- 135°= 45°，
∵AI平分∠CAB，
∴∠IAB= 45°，
∵∠IAB= ∠DIB，∠IBA= ∠IBA，
∴△AIB∽△IDB，
∴ ，
∵BD=3，BI＝4，
∴，
∴AB= ．
【点睛】本题考查了三角形的内心的性质、角平分线的定义、相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟记三角形的内心的性质．
14. ，，等代数式，如果交换和的位置，式子的值不变，我们把这样的式子叫做完美对称式． 若关于，的分式是完美对称式，则：_________；若完美对称式满足：，且，则_________（用含的代数式表示）．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据完美对称式的定义可得，化简即可得的值；将代入可得，从而可得，再根据平方根的性质可得，由此即可得出答案．
【详解】解：由完美对称式的定义得：，
整理得：，
则，
解得，
将代入得：，
，
，
，
，
，
，
解得，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了分式的加减运算、平方根的性质，掌握理解完美对称式的定义是解题关键．
15. 某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，则第二周每个旅游纪念品的销售价格为______元．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的应用，由纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，根据“这批旅游纪念品共获利1250元”等式求出即可．理解题意，正确列出方程是解答的关键．
【详解】解：设降低x元，由题意得出:
，
整理得：，
解得：．
∴．
即：第二周的销售价格为9元．
故答案为：9．
三、解答题
16. （1）计算：；
（2）先化简：，再从，，1，2选择中一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】（1）6；（2），1
【解析】
【分析】本题考查了分式化简求值，特殊角的三角函数值，实数运算，零指数幂，负整数指数幂，一元一次不等式的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先进行分式的混合运算，然后选择合适的数，代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
要使有意义，需满足且，
解得：不等于，
当时，原式．
17. 广西是全国水果大省，是能实现水果自由的地方，更是沙糖桔的第一大产区．2024年伊始，伴随广西11车沙糖桔运往哈尔滨，一场特殊的“投桃报李”引发全国关注，沙糖桔一跃成为春节期间的网红水果．小明爸爸开的水果店准备购进一批沙糖桔，有两个商家可供选择，上初三的小明让爸爸各买一箱，标记为，准备运用所学的统计知识帮助爸爸进行选择，小明在，两箱水果中各随机取10个，逐一测量了它们的直径，测量结果如下（单位）；
数据统计表
根据题目信息，回答下列问题：
（1）______，______，______；
（2）由折线图可知，______（填“＞”“＝”或“＜”）
（3）爸爸告诉小明沙榶桔一级果外观要求：大小均匀，直径在之间．请帮助小明用合适的统计量评价这两箱沙榶桔是否符合一级果要求，以及选择哪箱沙榶枯更好，并写出依据．
【答案】（1），，
（2）
（3）这两箱沙榶桔符合一级果要求，选择箱沙榶枯更好，依据见解析（答案不唯一）
【解析】
【分析】（1）根据平均数，中位数，众数的定义求解；
（2）根据折线统计图可得波动越小的方差越小；
（3）根据方差大小，作出决策，答案不唯一，言之有理即可．
【小问1详解】
解：；
箱沙糖桔直径数据从小到大排列为
；
故答案为：，，．
【小问2详解】
根据折线统计图可得，
故答案为：．
【小问3详解】
根据表格数据可得知，这两箱沙榶桔符合一级果要求，
选择箱沙榶枯更好，由于，大小均匀，
∴选择箱沙榶枯更好（答案不唯一）
18. 求证：当是整数时，两个连续奇数的平方差是这两个奇数的和的倍．
【答案】见解析
【解析】
【分析】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
【详解】证明：
即：两个连续奇数的平方差是这两个奇数的和的倍．
19. 已知与成正比例，且时，．
（1）求与的函数关系式；
（2）将所得函数图象向上平移3个单位，求平移后直线与坐标轴围成的三角形的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正比例函数的定义设，然后利用待定系数法求解即可；
（2）先求出平移后直线与坐标轴的交点坐标，再利用三角形面积公式计算．
【小问1详解】
解：由题意，设，
∵时，，
∴，
解得：，
∴与的函数关系式为，即；
【小问2详解】
将所得函数图象向上平移3个单位后得到的函数解析式为：，
设平移后直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，
当时，，
∴，
∴，
当时，即，
解得：，
∴，
∴，
∴平移后直线与坐标轴围成的三角形的面积为．
【点睛】本题考查了正比例函数的定义，待定系数法，一次函数图象的平移，一次函数的应用，熟练掌握待定系数法和一次函数图象的平移规律是解题的关键．
20. 如图1，内接于，D为上一点，连接、，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，延长交于点H，连接，若，，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）的半径为．
【解析】
【分析】本题考查了圆的综合，解题的关键是熟练掌握圆周的定理，弧、弦、圆周的关系，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，则，进而得出，根据圆周角定理得出，得出，即可推出，即可求证；
（2）连接并延长，交于点E，连接，得出，推出，则，进而得出，根据勾股定理可得求出，即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：连接并延长，交于点E，连接，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据勾股定理可得：，
∴，
即的半径为．
21. 某公司开发出一种新技术产品，上市推广应用，从销售的第1个月开始，当月销售量y（件）与第x个月之间的函数关系如图1所示，月产品销售成本z（元）与当月销售量y（件）之间的函数关系如图2所示，每件产品的售价为100元．
（1）求出y与x之间的函数关系式和z与y之间的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）求第几个月获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；；
（2）第9个月利润最大，最大利润为6500元
【解析】
【分析】本题考查了一次函数，二次函数的应用，待定系数法．
（1）利用待定系数法解答即可．
（2）根据二次函数的性质，求函数的最值．
【小问1详解】
设y与x的函数关系式，代入和，
得，
解得，
∴；
将代入，
得，
∴．
【小问2详解】
设第x个月利润为w元，
，
，
当时，，
答：第9个月利润最大，最大利润为6500元．
22. 【问题情境】
在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放．其中．
【问题探究】
小昕同学将三角板绕点B按顺时针方向旋转．

（1）如图2，当点E落在边上时，延长交于点F，求的长．
（2）若点C、E、D在同一条直线上，求点D到直线的距离．
（3）连接，取的中点G，三角板由初始位置（图1），旋转到点C、B、D首次在同一条直线上（如图3），求点G所经过的路径长．
（4）如图4，G为的中点，则在旋转过程中，点G到直线的距离的最大值是______．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）在中，根据余弦的定义求解即可；
（2）分点在上方和下方两种情况讨论求解即可；
（3）取的中点，连接，从而求出，得出点在以为圆心，为半径的圆上，然后根据弧长公式即可求解；
（4）由（3）知，点在以为圆心，为半径的圆上，过O作于H，当G在的反向延长线上时，最大，即点到直线的距离的最大，在中求出，进而可求．
【小问1详解】
解：由题意得，，
∵在中，，，．
∴．
【小问2详解】
①当点在上方时，
如图1，过点作，垂足为，

∵在中，，，，
∴，
∴．
∵在中，，，
，，
∴．
∵点、、在同一直线上，且，
∴．
又∵在中，，，，
∴，
∴．
∵在中，，
∴．
②当点在下方时，
如图2，

在中，∵，，，
∴．
∴．
过点作，垂足为．
在中，，
∴．
综上，点到直线的距离为．
【小问3详解】
解：如图3，取的中点，连接，则．

∴点在以为圆心，为半径的圆上．
当三角板绕点B顺时针由初始位置旋转到点、B、首次在同一条直线上时，点所经过的轨迹为所对的圆弧，圆弧长为．
∴点所经过的路径长为．
【小问4详解】
解：由（3）知，点在以为圆心，为半径的圆上，
如图四，过O作于H，

当G在的反向延长线上时，最大，即点到直线的距离的最大，
在中，，，，
∴，
∴，
即点到直线的距离的最大值为．
【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，弧长公式，解直角三角形等知识，综合性强，难度大，属于压轴题，分点在上方和下方是解第（2）的关键，确定点G的运动轨迹是解第（3）（4）的关键．
23. 如图，抛物线，与x轴交于、O两点，点为抛物线的顶点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点E为的中点，以点E为圆心、以1为半径作，交x轴于B、C两点，点M为上一点．
①射线交抛物线于点P，若，求点P的坐标；
②如图2，连接，取的中点N，连接，则线段的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出的最值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）①点的坐标为或；②存在，线段的长度最小值和最大值分别为和
【解析】
【分析】（1）用抛物线顶点式表达式得：，将点坐标代入上式，即可求解；
（2）①由题意可知，等腰直角三角形，分点在轴上方、点在轴下方两种情况，分别求解即可；
②证明是的中位线，故，而，而，即可求解．
【小问1详解】
解：∵点为抛物线的顶点
∴设抛物线解析式为：，
将代入上式得：，解得：，
即：抛物线解析式为；
【小问2详解】
①如图，连接，
点是的中点，则点，圆的半径为1，则点，，
∴，
∵，则，
∴为等腰直角三角形，，
当点在轴上方时，此时点的坐标为，
故设直线的表达式为：将点，的坐标代入得：，
解得：，即：故直线的表达式为：，
联立并解得：或（不合题意，舍去），
当时，，即：此时，点的坐标为：；
当点在轴下方时，此时点的坐标为，
故设直线的表达式为：将点，的坐标代入得：，
解得：，即：故直线的表达式为：，
联立并解得：或（不合题意，舍去），
当时，，即：此时，点的坐标为：；
综上，点的坐标为或；
②线段的长度存在最大值或最小值，理由如下：
连接、、，如图，
∵，，
∴点为的中点，
又∵点为的中点，
∴是的中位线，
∴，
由勾股定理可知，，
由三角形三边关系可知，，
即，
故线段的长度最小值和最大值分别为和．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、中位线的性质等，解答本题的关键是熟练掌握分类讨论思想与数形结合思想的运用．抽取序号
箱沙糖桔直径
箱沙糖桔直径
统计量
平均数
众数
中位数