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147， 山东省临沂市河东区2023-2024学年八年级上学期期末考试数学试题
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这是一份147， 山东省临沂市河东区2023-2024学年八年级上学期期末考试数学试题，共16页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分120分．考试时间120分钟．
2．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上．
3．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上．
4．考试结束，将本试卷和答题卡一并收回．
第Ⅰ卷（选择题 共48分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 下列关于银行的图标中不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形，解题的关键是根据根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析可得答案．
【详解】解：选项B的图标不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项A、C、D的图标能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
2. 幼儿园的小朋友用木棒做拼图形游戏，一个孩子手中有2根木棒长度分别为和，下列木棒不能使其能围成一个三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】该试卷源自 每日更新，享更低价下载。【分析】本题考查了三角形三边关系的运用，解题的关键是根据三角形三边关系定理，设第三边长为，则，由此选择符合条件的线段．
【详解】解：设第三边长为，
由三角形三边关系定理可知，
，即，
符合题意．
故选：A．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，幂的乘方与积的乘方，平方差公式和完全平方公式，解题的关键是利用相应的运算法则分别计算．
【详解】解：A、不能合并，故错误，不合题意；
B、，故错误，不合题意；
C、，故错误，不合题意；
D、，故正确，符合题意；
故选：D．
4. 王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段应该是的（ ）
A. 角平分线B. 中线C. 高线D. 以上都不是
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答．
【详解】解：由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分，
∴他所作的线段应该是的中线，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．
5. 如图，是的角平分线，，垂足为，的面积为，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了角平分线性质，三角形的面积，过点作于，由角平分线的性质定理得出，然后利用的面积公式列式计算即可得解，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
【详解】如图，过点作于，
∵是的角平分线，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
6. 如图，在中，平分平分，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理与角平分线的定义，解题的关键是根据平分可得，，同理，然后根据，利用三角形内角和可得，从而得到，再根据三角形内角和得到．
【详解】解：在中，．
．
平分，平分．
，．
．
在中，．
故选：A．
7. 若分式的值为0，则实数x的值为（ ）
A. 0或5B. 5C. 或0D. 或5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了分式值为零的条件，解题的关键是根据分式值为0的条件得到且，然后求解即可．
【详解】解：根据题意，得且，
解得，
故选：B．
8. 已知，则的值是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了分式的值，解题的关键是先把已知条件变形为，再将原式变形为，整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
故选：B．
9. 若多项式有一个因式为，则的值为（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】多项式x2+kx-8有一个因式是（x-2），则另一个因式一定也是一个一次项系数是1的一次式，设另一个式子是（x+a），根据多项式乘法展开后再利用对应项的系数相等即可求解．
【详解】解：设另一个式子是（x+a），
则（x-2）•（x+a），
=x2+（a-2）x-2a，
=x2+kx-8，
∴a-2=k，-2a=-8，
解得a=4，k=2．
故选A．
【点睛】本题主要考查了整式的乘法运算，并且考查了代数式相等条件：对应项的系数相同．
10. 如图，在中，是的两条中线，P点是线段上一个动点，则的最小值是（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查轴对称最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质，解题的关键是连接，只要证明，即可推出，由，推出、、共线时，的值最小，最小值为的长度．
【详解】解：如图，连接，
是的中线，，
，
，
，，
，
，
，
，
、、共线时，的值最小，
最小值为的长度，即为．
故选：B．
11. 如图，AB＝AC，D，E分别是AB，AC上的点，下列条件不能判断△ABE≌△ACD的是（ ）
A. ∠B＝∠CB. BE＝CDC. AD＝AED. BD＝CE
【答案】B
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质和判定即可求解．
【详解】解：选项A，∠B＝∠C 利用 ASA 即可说明 △ABE≌△ACD ，说法正确，故此选项错误；
选项B，BE＝CD 不能说明 △ABE≌△ACD ，说法错误，故此选项正确；
选项C,AD＝AE 利用 SAS 即可说明 △ABE≌△ACD ，说法正确，故此选项错误；
选项D，BD＝CE 利用 SAS 即可说明 △ABE≌△ACD ，说法正确，故此选项错误；
故选B.
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，熟悉掌握判定方法是解题关键.
12. 如图，已知：，，现有下列结论：①；②；③;④．其中不正确的有（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明，根据全等三角形的性质进一步判断．
【详解】解：，
，
在和中，
，故①正确；
，，故③正确；
，
，
，
，故②正确；
，
，
，故④正确；
故选：A．
第Ⅱ卷（非选择题 共72分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）．
13. 在△ABC中，若，则是_________三角形．
【答案】直角
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理，当∠A+∠B=∠C可求得∠C=90°，即可得出结果．
【详解】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴当∠A+∠B=∠C时，可得∠C=90°，则△ABC为直角三角形；
故答案为：直角．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，掌握三角形的三个内角和为180°是解题的关键．
14. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解；
先提取公因式，再利用平方差公式继续分解．
【详解】解：，
故答案为：．
15. 已知，则________．
【答案】6
【解析】
【分析】对已知等式两边平方，然后运用完全平方公式展开，最后整理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，掌握与互为倒数的特点以及灵活利用完全平方公式是解答本题的关键．
16. 如果关于x的分式方程无解，那么a的值是__________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了分式方程无解的问题，解题关键是根据方程无解得出其对应的整式方程的解是或整式方程无解，即可求出．
【详解】解：，
方程两边同时乘以，得：，
整理得：，
该分式方程无解，
若，方程无解；
若，，
，
故答案为：或．
三、解答题（本大题共6小题，共56分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算
（1）；
（2）．
【答案】（1）0 （2）
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算，整式的混合运算，解题的关键是：
（1）先通分，再计算同分母分式的减法即可；
（2）先变形为，再利用完全平方公式展开．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
．
18. （1）解方程；
（2）已知，求代数式的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，整式的化简求值，绝对值及偶次幂的非负性，解题的关键是：
（1）通过去分母将原方程化为整式方程，解得的值后进行检验即可；
（2）根据绝对值及偶次幂的非负性求得，的值，将原式化简后代入数值计算即可．
【详解】解：（1）原方程化，
由题意得：不等于0，
，
去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为；
（2），
，，
解得：，，
；
当，时，
原式
．
19. （1）如图，在正方形网格上有一个．作关于直线的对称图形（不写作法）；
（2）在直线找一点P，使的周长最小（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）若网格上的最小正方形的边长为1，求的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（4）
【解析】
【分析】本题考查作图轴对称变换，三角形的面积，轴对称最短问题，解题的关键是：
（1）作出、、关于直线的对称点、、即可；
（2）连接，与y轴交于点P即可；
（3）利用割补法求面积即可．
【详解】解：（1）如图即为所求作；
（2）如图：点P即为所求作；
（3）此三角形面积为：．
20. 王师傅准备年前换车，看中了价格相同的两款国产车．一款燃油车油箱容积：40升，油价：7元/升；另一款新能源车电池电量：60千瓦时，电价：元/千瓦时．若满油状态下的燃油车的续航里程和满电状态下新能源车的续航里程相等，并且燃油车的每千米行驶费用比新能源车每千米行驶费用多元．请你帮王师傅计算一下，这两款车的每千米行驶费用各是多少？
【答案】燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是设新能源车每千米行驶费用为x元，根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车每千米行驶费用多元，可以列出相应的分式方程，然后求解，注意分式方程要检验．
【详解】解：设新能源车每千米行驶费用为x元，则燃油车每千米行驶费用为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
∴燃油车每千米行驶费用为元，
答：燃油车每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元．
21. 如图，已知在中，，，D为的中点．点P在线段上以的速度由点B出发向终点C运动，同时点Q在线段上以的速度由点C出发向终点A运动，设点P的运动时间为．
（1）求的长；（用含的式子表示）
（2）若以为顶点的三角形和以为顶点的三角形全等，且和是对应角，求的值．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）依题意得到，然后利用求解；
（2）先利用等腰三角形的性质得到，讨论：当时，则利用“”可判断，即；当时，则根据“”可判断，即，然后分别解方程即可．
【小问1详解】
∵，
∴；
【小问2详解】
∵D为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴当时，，
即，
解得；
当时，，
即，
解得；
综上所述，或．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是运用分类讨论的思想思考问题．
22. 如图1，在等边三角形中，点D、E分别在边上，,连接与相交于P．
（1）求证：；
（2）如图2，连接,当时，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题是三角形综合题，主要考查的是全等三角形的性质和判定、三角形三边关系、等边三角形的性质、含的直角三角形的性质，解题的关键是：
（1）证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
（2）过点作，交，于点，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案．
【小问1详解】
解：证明：等边三角形，
，，
在和中，
，
，
，
；
【小问2详解】
过点作，交，于点，，
由（2）可知，
，
，
，
由（1）知，
，
在和中，
，
，
，即．
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分120分．考试时间120分钟．
2．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上．
3．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上．
4．考试结束，将本试卷和答题卡一并收回．
第Ⅰ卷（选择题 共48分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 下列关于银行的图标中不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形，解题的关键是根据根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析可得答案．
【详解】解：选项B的图标不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项A、C、D的图标能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
2. 幼儿园的小朋友用木棒做拼图形游戏，一个孩子手中有2根木棒长度分别为和，下列木棒不能使其能围成一个三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】该试卷源自 每日更新，享更低价下载。【分析】本题考查了三角形三边关系的运用，解题的关键是根据三角形三边关系定理，设第三边长为，则，由此选择符合条件的线段．
【详解】解：设第三边长为，
由三角形三边关系定理可知，
，即，
符合题意．
故选：A．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，幂的乘方与积的乘方，平方差公式和完全平方公式，解题的关键是利用相应的运算法则分别计算．
【详解】解：A、不能合并，故错误，不合题意；
B、，故错误，不合题意；
C、，故错误，不合题意；
D、，故正确，符合题意；
故选：D．
4. 王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段应该是的（ ）
A. 角平分线B. 中线C. 高线D. 以上都不是
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答．
【详解】解：由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分，
∴他所作的线段应该是的中线，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．
5. 如图，是的角平分线，，垂足为，的面积为，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了角平分线性质，三角形的面积，过点作于，由角平分线的性质定理得出，然后利用的面积公式列式计算即可得解，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
【详解】如图，过点作于，
∵是的角平分线，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
6. 如图，在中，平分平分，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理与角平分线的定义，解题的关键是根据平分可得，，同理，然后根据，利用三角形内角和可得，从而得到，再根据三角形内角和得到．
【详解】解：在中，．
．
平分，平分．
，．
．
在中，．
故选：A．
7. 若分式的值为0，则实数x的值为（ ）
A. 0或5B. 5C. 或0D. 或5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了分式值为零的条件，解题的关键是根据分式值为0的条件得到且，然后求解即可．
【详解】解：根据题意，得且，
解得，
故选：B．
8. 已知，则的值是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了分式的值，解题的关键是先把已知条件变形为，再将原式变形为，整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
故选：B．
9. 若多项式有一个因式为，则的值为（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】多项式x2+kx-8有一个因式是（x-2），则另一个因式一定也是一个一次项系数是1的一次式，设另一个式子是（x+a），根据多项式乘法展开后再利用对应项的系数相等即可求解．
【详解】解：设另一个式子是（x+a），
则（x-2）•（x+a），
=x2+（a-2）x-2a，
=x2+kx-8，
∴a-2=k，-2a=-8，
解得a=4，k=2．
故选A．
【点睛】本题主要考查了整式的乘法运算，并且考查了代数式相等条件：对应项的系数相同．
10. 如图，在中，是的两条中线，P点是线段上一个动点，则的最小值是（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查轴对称最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质，解题的关键是连接，只要证明，即可推出，由，推出、、共线时，的值最小，最小值为的长度．
【详解】解：如图，连接，
是的中线，，
，
，
，，
，
，
，
，
、、共线时，的值最小，
最小值为的长度，即为．
故选：B．
11. 如图，AB＝AC，D，E分别是AB，AC上的点，下列条件不能判断△ABE≌△ACD的是（ ）
A. ∠B＝∠CB. BE＝CDC. AD＝AED. BD＝CE
【答案】B
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质和判定即可求解．
【详解】解：选项A，∠B＝∠C 利用 ASA 即可说明 △ABE≌△ACD ，说法正确，故此选项错误；
选项B，BE＝CD 不能说明 △ABE≌△ACD ，说法错误，故此选项正确；
选项C,AD＝AE 利用 SAS 即可说明 △ABE≌△ACD ，说法正确，故此选项错误；
选项D，BD＝CE 利用 SAS 即可说明 △ABE≌△ACD ，说法正确，故此选项错误；
故选B.
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，熟悉掌握判定方法是解题关键.
12. 如图，已知：，，现有下列结论：①；②；③;④．其中不正确的有（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明，根据全等三角形的性质进一步判断．
【详解】解：，
，
在和中，
，故①正确；
，，故③正确；
，
，
，
，故②正确；
，
，
，故④正确；
故选：A．
第Ⅱ卷（非选择题 共72分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）．
13. 在△ABC中，若，则是_________三角形．
【答案】直角
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理，当∠A+∠B=∠C可求得∠C=90°，即可得出结果．
【详解】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴当∠A+∠B=∠C时，可得∠C=90°，则△ABC为直角三角形；
故答案为：直角．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，掌握三角形的三个内角和为180°是解题的关键．
14. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解；
先提取公因式，再利用平方差公式继续分解．
【详解】解：，
故答案为：．
15. 已知，则________．
【答案】6
【解析】
【分析】对已知等式两边平方，然后运用完全平方公式展开，最后整理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，掌握与互为倒数的特点以及灵活利用完全平方公式是解答本题的关键．
16. 如果关于x的分式方程无解，那么a的值是__________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了分式方程无解的问题，解题关键是根据方程无解得出其对应的整式方程的解是或整式方程无解，即可求出．
【详解】解：，
方程两边同时乘以，得：，
整理得：，
该分式方程无解，
若，方程无解；
若，，
，
故答案为：或．
三、解答题（本大题共6小题，共56分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算
（1）；
（2）．
【答案】（1）0 （2）
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算，整式的混合运算，解题的关键是：
（1）先通分，再计算同分母分式的减法即可；
（2）先变形为，再利用完全平方公式展开．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
．
18. （1）解方程；
（2）已知，求代数式的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，整式的化简求值，绝对值及偶次幂的非负性，解题的关键是：
（1）通过去分母将原方程化为整式方程，解得的值后进行检验即可；
（2）根据绝对值及偶次幂的非负性求得，的值，将原式化简后代入数值计算即可．
【详解】解：（1）原方程化，
由题意得：不等于0，
，
去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为；
（2），
，，
解得：，，
；
当，时，
原式
．
19. （1）如图，在正方形网格上有一个．作关于直线的对称图形（不写作法）；
（2）在直线找一点P，使的周长最小（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）若网格上的最小正方形的边长为1，求的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（4）
【解析】
【分析】本题考查作图轴对称变换，三角形的面积，轴对称最短问题，解题的关键是：
（1）作出、、关于直线的对称点、、即可；
（2）连接，与y轴交于点P即可；
（3）利用割补法求面积即可．
【详解】解：（1）如图即为所求作；
（2）如图：点P即为所求作；
（3）此三角形面积为：．
20. 王师傅准备年前换车，看中了价格相同的两款国产车．一款燃油车油箱容积：40升，油价：7元/升；另一款新能源车电池电量：60千瓦时，电价：元/千瓦时．若满油状态下的燃油车的续航里程和满电状态下新能源车的续航里程相等，并且燃油车的每千米行驶费用比新能源车每千米行驶费用多元．请你帮王师傅计算一下，这两款车的每千米行驶费用各是多少？
【答案】燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是设新能源车每千米行驶费用为x元，根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车每千米行驶费用多元，可以列出相应的分式方程，然后求解，注意分式方程要检验．
【详解】解：设新能源车每千米行驶费用为x元，则燃油车每千米行驶费用为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
∴燃油车每千米行驶费用为元，
答：燃油车每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元．
21. 如图，已知在中，，，D为的中点．点P在线段上以的速度由点B出发向终点C运动，同时点Q在线段上以的速度由点C出发向终点A运动，设点P的运动时间为．
（1）求的长；（用含的式子表示）
（2）若以为顶点的三角形和以为顶点的三角形全等，且和是对应角，求的值．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）依题意得到，然后利用求解；
（2）先利用等腰三角形的性质得到，讨论：当时，则利用“”可判断，即；当时，则根据“”可判断，即，然后分别解方程即可．
【小问1详解】
∵，
∴；
【小问2详解】
∵D为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴当时，，
即，
解得；
当时，，
即，
解得；
综上所述，或．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是运用分类讨论的思想思考问题．
22. 如图1，在等边三角形中，点D、E分别在边上，,连接与相交于P．
（1）求证：；
（2）如图2，连接,当时，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题是三角形综合题，主要考查的是全等三角形的性质和判定、三角形三边关系、等边三角形的性质、含的直角三角形的性质，解题的关键是：
（1）证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
（2）过点作，交，于点，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案．
【小问1详解】
解：证明：等边三角形，
，，
在和中，
，
，
，
；
【小问2详解】
过点作，交，于点，，
由（2）可知，
，
，
，
由（1）知，
，
在和中，
，
，
，即．
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