02，湖北省十堰市竹山县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份02，湖北省十堰市竹山县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共26页。

1.本卷共4页，25小题，满分120分，考试时限120分钟．
2.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定的位置，并认真核对．
3.选择题必须使用2B铅笔在指定位置填涂，超出答题卡区域的答案和在试卷、草稿纸上答题无效；非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔答题，不得使用铅笔或圆珠笔等笔作答．
4.字体工整，笔迹清晰．考生须保持答题卡的整洁，请勿折叠答题卡．
一、选择题（本大题共10小题，共30分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 方程的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A. 和B. 和C. 3和D. 3和8
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的概念即可求解．一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：方程的二次项系数和一次项系数分别为．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
2. 在下列图案中，属于中心对称图形的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐一判断即可．
【详解】A．是中心对称图形，故本选项正确；
B．不中心对称图形，故本选项错误；
C．不是中心对称图形，故本选项错误；
D．不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：A
【点睛】本题主要考查了中心对称图形定义，解决本题的关键是找出对称中心．
3. 用配方法解方程，配方后所得的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案．
【详解】解：
，
，
故选C．
4. 关于抛物线下列描述正确的是（ ）
A. 对称轴为直线B. 最大值为
C. 图像与坐标轴有且只有一个交点D. 当时，随的增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的图象和性质逐个求解即可．
【详解】解：A.从函数的表达式看，抛物线的对称轴为直线，故A错误，不符合题意；
B.，抛物线有最小值，不存在最大值，故B错误，不符合题意；
C.抛物线顶点坐标为，开口向上，故抛物线和轴没有交点，只和轴有一个交点，故C正确，符合题意；
D.当时，此时抛物线在对称轴的左侧，随的增大而减小，故D错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
5. 如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（ ）
A. 40°B. 45°C. 50°D. 55°
【答案】D
【解析】
【详解】解：如图，
连接OC，
∵AO∥DC，
∴∠ODC=∠AOD=70°，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD=70°，
∴∠COD=40°，
∴∠AOC=110°，
∴∠B=∠AOC=55°．
故选D．
6. 如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为（ ）
A. 90°B. 75°C. 60°D. 45°
【答案】A
【解析】
【分析】根据旋转角的定义可得旋转角为∠BOD，结合图形即可求得旋转的角度．
【详解】解：由题意可知，旋转角为∠BOD，
由图可知，∠BOD=90°，即旋转的角度为90°，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转角，根据题意正确找到旋转角是解答的关键．
7. 如图，圆弧形拱桥的跨径米，拱高米，则拱桥的半径为（ ）米
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O．连接OA．根据垂径定理和勾股定理求解．得AD=6设圆的半径是r， 根据勾股定理， 得r2=36+（r﹣4）2，解得r=6.5
考点：垂径定理的应用．
8. 若二次函数y＝x2－6x＋c的图象过A（－1，y1）、B（2，y2）、C（5，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（ ）
A. y1＞y2＞y3B. y1＞y3＞y2C. y2＞y1＞y3D. y3＞y1＞y2
【答案】B
【解析】
【分析】二次函数抛物线向下，且对称轴为x=-=3．根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．
【详解】解：∵二次函数y=x2-6x+c，
∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：x=-=3．
∵点（-1，y1）、（2，y2）、（5，y3）都在二次函数y=x2-6x+c的图象上，
且，
∴三点横坐标离对称轴x=3的距离按由远到近为：
（-1，y1）、（5，y3）、（2，y2），
∴y1>y3>y2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，关键是根据函数关系式，找出对称轴．
9. 对于任意一个四位数，若千位上的数字与个位上的数字之积是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“共生数”．例如：四位数2156，因为2×6=2×（1+5），所以2156是“共生数”．有一个四位数为“共生数”，它的千位上的数字与个位上的数字相等，百位上的数字比千位上的数字多3，十位上的数字比个位上数字的一半少1，则这个“共生数”四位数的个位数字为（ ）
A. 2B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】设个位上的数字为a，由题意可分别表示出十位、百位及千位上的数字，再由“共生数”可得到方程，解方程即可．
【详解】设个位上的数字为a，由题意得：十位上的数字为、百位及千位上的数字分别为与a，
由此数是“共生数”，则得方程：，解方程得：或（舍去），即这个“共生数”四位数的个位数字为4．
故选：B．
【点睛】本题是新定义问题，考查了一元二次方程的应用，理解新定义的含义并正确列出方程是关键．
10. 如图1，点在边上，点是上的一动点，点是的中点，连接，设，，图2是点运动时随变化的关系图像，其中点是函数图像的最低点，则的值为（ ）
A. 24B. 26C. 28D. 30
【答案】C
【解析】
【分析】如图所示，取中点，取中点，连接，，由图2可知，当时，，此时与重合，为的中点，即为的中点，分别为的中点，同理可证是的中位线，过点作于，连接并延长交于，由图2可知，点与点重合时，取得最大值,最大值即的长．
【详解】解：如图，
取中点，取中点，连接，，
由图2可知，当时，，
∴当时，，即当与重合时，，
∵此时与重合，为的中点，即为的中点，
∴，
同理当与重合时，即时，，
∵分别为的中点，
∴为的中位线，
∴，
同理可证是的中位线，
∴，
∴点在上，
∴当时，的值最小，即此时的值最小，
过点作于，连接并延长交于，由图2可知，
∴，，
∴，
∴，
∴点与点重合时，取得最大值，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，动点的函数图象，点到直线的距离垂线段最短，勾股定理等等，正确读懂函数图象作出辅助线是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
11. 若点关于原点对称，则 __________
【答案】
【解析】
【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数即可求解．
【详解】解：∵点关于原点对称，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了原点对称的两个点的坐标特征，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键．
12. 若是方程的一个根，则方程的另一个根是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据方程的根与系数的关系：，求解即可．
【详解】∵一元二次方程的两个根满足，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，掌握一元二次方程的两个根满足，是解答本题的关键．
13. 在⊙O中，圆心角∠AOB＝80°，点P是圆上不同于点A、B的点，则∠APB＝_____°．
【答案】40或140°．
【解析】
【分析】讨论：点P点在优弧AB上，直接利用圆周角定理得到∠APB的度数；点P点在劣弧AB上，利用圆内接四边形的性质得到∠AP′B的度数．
【详解】解：如图，点P点在优弧AB上，则∠APB＝∠AOB＝×80°＝40°，
点P点在劣弧AB上，则∠AP′B＝180°﹣40°＝140°，
综上所述，∠APB的度数为40°或140°．
故答案为：40或140．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，掌握知识点是解题关键．
14. 一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离（单位：）之间的关系是，则铅球推出的距离为________m．
【答案】10
【解析】
【分析】推出的距离就是当高度时x的值，所以解方程可求解．
【详解】解：当时，
解得：（不合题意，舍去），
则铅球推出的距离为是10m
故答案为：10
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，此题把函数问题转化为方程问题来解，渗透了函数与方程相结合的解题思想方法．
15. 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝6，将△ABC绕点C逆时针旋转15°得到△MNC，则阴影面积等于_____．
【答案】6．
【解析】
【分析】由等腰直角三角形的性质得到∠ACB＝45°，∠A＝90°，根据旋转的性质得到∠ACM＝15°，∠M＝∠A＝90°，CM＝AC＝6，求得∠MCB＝30°，得到DM＝CM＝2，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝6，
∴∠ACB＝45°，∠A＝90°，
∵将△ABC绕点C逆时针旋转15°得到△MNC，
∴∠ACM＝15°，∠M＝∠A＝90°，CM＝AC＝6，
∴∠MCB＝30°，
∴DM＝CM＝2，
∴阴影面积＝＝6，
故答案为6．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，准确把握旋转的性质是解题的关键．
16. 如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线．给出以下结论：①；②；③若为函数图象上的两点，则；④若关于的一元二次方程有整数根，则对于a的每一个值，对应的p值有2个．其中正确的有_____________（写出所有正确结论的序号）
【答案】③④##④③
【解析】
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴，
∴，
故①不正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
而c与大小不确定，
故②不正确；
∵在对称轴右侧，，
∴，故③正确；
∵抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点是(3，0)，
∴抛物线与x轴的另个交点是(，0)，
把(3，0)代入得，，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
解得，．
∴，
∴顶点坐标为(1，)，
由图象得当时，，其中x为整数时，，1，2，
又∵与时，关于直线轴对称
当时，直线恰好过抛物线顶点．
所以p值可以有2个．故④正确；
故答案：③④．
【点睛】本题考查了抛物线与不等式的关系以及抛物线与x轴的交点等知识点，熟知二次函数的图象与系数的关系、x轴上点的坐标特点等知识点是解答此题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）方程左边提取公因式x分解因式，然后解方程即可；
（2）方程左边利用十字相乘法分解因式，然后解方程即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴或，
解得；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴或，
解得．
18. 已知二次函数的图象经过点．
（1）求a的值；
（2）求此抛物线的对称轴；
（3）当时，x的取值范围是 （直接写出结果）．
【答案】（1）1 （2）直线
（3）
【解析】
【分析】（1）把点的坐标代入解析式中，即可求得a的值；
（2）由即可求得对称轴；
（3）求得抛物线与x轴的交点坐标，再根据抛物线的开口方向，结合函数图象即可求得x的取值范围．
【小问1详解】
解：∵二次函数的图象经过点，
∴把点的坐标代入解析式中，得：，
解得：；
即a的值为1．
【小问2详解】
解：由（1）知，函数为，
而，
所以此抛物线的对称轴为直线．
【小问3详解】
令，解得：，，
即抛物线与x轴的交点坐标为与，
∵抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴当时，x的取值范围是；
故答案为：．
【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与不等式，二次函数与x轴的交点，要求熟练掌握二次函数的图象与性质．
19. 已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值．
【答案】(1) k≤;(2)-2.
【解析】
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=﹣4k+5≥0，解之即可得出实数k的取值范围；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2=1﹣2k、x1x2=k2﹣1，将其代入x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2中，解之即可得出k的值．
【详解】（1）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2，
∴△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）=﹣4k+5≥0，解得：k≤，
∴实数k的取值范围为k≤．
（2）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2=1﹣2k，x1x2=k2﹣1．
∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2，
∴（1﹣2k）2﹣2×（k2﹣1）=16+（k2﹣1），
即k2﹣4k﹣12=0，
解得：k=﹣2或k=6（不符合题意，舍去）．
∴实数k的值为﹣2．
20. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，．
（1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的对应点的坐标为______；
（2）直接写出的面积为______；
（3）将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为______．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）关于原点对称，则各点的横纵坐标变为原来的横纵坐标的相反数，确定点坐标后，连接各点坐标，即可得到所求图形；
（2）如图所示（见详解），利用“割补法”，则，由此即可求解；
（3），，绕某点旋转后的对应点为，，，
连接对应点，并作连线的垂直平分线即可求解．
【小问1详解】
解：的点的坐标是，，，则关于原点对称的的各点的坐标是，，，如图所示，即为所求，
∴的坐标为．
【小问2详解】
解：如图所示，利用“割补法”，
∴，
∴，
∴的面积为．
【小问3详解】
解：∵，，绕某点旋转后的对应点为，，，
∴如图所示，连接，，，
设旋转点的坐标为，则从点到点，点的距离相等，且，
∴，
∴在中，，
∴，即点到的距离为，点到的距离为，
∴旋转点在连线的垂直平分线上，即旋转点在与对应点连线的垂直平分线上，如图所示，
∴旋转点的坐标为．
【点睛】本题主要考查图形的变换，点在平面直角坐标系中的变换，掌握旋转的性质，“割补法”求面积是解题的关键．
21. 如图，等腰内接于，，点D为劣弧上一点，．
（1）求证：为等边三角形；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理得到，根据，则可判断为等边三角形；
（2）过点B作的延长线于点E，证明，根据，可得，所以，，然后根据，即可解决问题．
【小问1详解】
证明：
在中，，且
∴
又∵，
∴为等边三角形
【小问2详解】
如图，过点B作的延长线于点E，
∴
由（1）得为等边三角形，
∴
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
在中，
∴
∴，
∴
在中，，，
根据勾股定理得：，
∴
∴
【点睛】本题考查了三角形的外接圆，圆周角定理，等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解决本题的关键是灵活运用所学知识．
22. 某公司销售一种商品，成本为每件20元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如表：
（1）求y与x的关系式；
（2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过，求公司销售该商品获得的最大日利润；
（3）若物价部门规定该商品销售单价不能超过a（）元，并且由于某种原因，该商品每件成本变成了之前2倍，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．
【答案】（1）
（2）1600元 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用：
（1）根据题意可设与的关系式为，然后利用待定系数法解题即可；
（2）根据利润（单价成本销量，列出关于和的函数关系式，并根据题意求出的取值范围，然后根据二次函数的性质求出此区间的增减性，进而求出的最大值即可；
（3）根据题意由题意列出关于和的函数关系式为，然后当时，时，解得的值即可．
【小问1详解】
解：设与的关系式为，
将，代入上式得，
解得，
与的关系式为．
【小问2详解】
解：设日利润为w元，则
，
，
抛物线的开口向下，对称轴为，
又，
解得，
，在对称轴左侧，
随着增大而增大，
当时，的值最大，即，
公司销售商品获得的最大日利润为1600元．
【小问3详解】
解：由题意得
，
抛物线的开口向下，对称轴为，且，
∴当时，当，，
解得或（舍去）．
23. 如图，点P是内一点，
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，若 且 求的面积；
（3）如图3，将绕点P旋转至处，过D作，交延长线于F，若 ，直接写出的值为 ．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质及，可得，再由已知可得结论；
（2）过点作于点E，交于点，则由平行四边形的性质得，证明，可得，从而由已知面积关系可得，由勾股定理可求得的长，从而可求得平行四边形的面积；
（3）连接，由旋转性质易得，则可得，设，由旋转及勾股定理可分别求得、、，进而可求得，由勾股定理求得，则最后可求得结果．
【小问1详解】
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
过点作于点E，交于点，如图，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
即，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：；
∴，
∴平行四边形的面积为；；
【小问3详解】
连接，如图，
由旋转性质得：，，，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得，
∵，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识，综合性强，既要灵活运用这些知识，又要构造适当的辅助线，对学生而言有一定的难度．
24. 二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．
（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标．
（2）如图1，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标．
（3）如图2，P是该二次函数图象上的一个动点，连接PC、PE、CE，当△CEP的面积为30时，求点P的坐标．
【答案】（1）二次函数的解析式为y=x2−2x+3，顶点坐标E（4，-1）；（2）点D的坐标为(4，3+)或(4，3−)；（3）点P的坐标为（10，8）或（-6，24）．
【解析】
【分析】（1）将A（2，0），B（6，0）代入y=ax2+bx+3，即可得解析式，配成顶点式得E坐标；
（2）连接CB，CD，设D（4，m），BD的垂直平分线恰好经过点C，可得CD=BC，据此列出方程即可求解；
（3）设CP交抛物线的对称轴于点M，P（n，n2-2n+3），用含n的式子表示直线CP的关系式和M坐标，以及ME长度，根据△CEP的面积为30列方程即可求得n，从而求出P的坐标．
【详解】解：（1）将A（2，0），B（6，0）代入y=ax2+bx+3得：
，解得，
∴二次函数的解析式为y=x2−2x+3，
∵y=x2−2x+3= (x−4)2−1，
∴顶点坐标E（4，-1）；
（2）连接CB，CD，如图：
在二次函数y=x2−2x+3中令x=0得y=3，
∴C（0，3），
∵二次函数y=x2−2x+3的对称轴为x=4，
∴设D（4，m），而B（6，0），
∵点C在线段BD的垂直平分线CN上有CD=BC，故CD2=BC2，
∴42+（m-3）2=62+32，
解得m=3±，
∴满足条件的点D的坐标为(4，3+)或(4，3−)；
（3）设CP交抛物线的对称轴于点M，如图：
设P（n，n2-2n+3），直线CP的解析式为y=kx+3，
将P坐标代入得n2−2n+3=kn+3，
∴k=n−2，
∴直线CP的关系式y= (n−2)x+3，
当x=4时，y=4(n−2)+3=n−5，
∴M（4，n-5），ME=n-5-（-1）=n-4，
∴S△CPE=S△CEM+S△PEM=（xP-xC）•ME=n•（n-4），
∴n（n-4）=30，
∴n2-4n-60=0，解得n=10或n=-6，
当n=10时，P（10，8），
当n=-6时，P（-6，24）．
综上所述，满足条件点P的坐标为（10，8）或（-6，24）．
【点睛】本题考查了二次函数综合应用，解题的关键是设坐标，用含字母的代数式表示相关线段的长，再根据已知列方程．
销售单价x（元）
40
60
80
日销售量y（件）
80
60
40