2024年宁夏银川二十四中中考数学一模试卷

这是一份2024年宁夏银川二十四中中考数学一模试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中做了记载，如图，在实验中，物和像属于以下哪种变换（ ）
A．平移变换B．对称变换C．旋转变换D．位似变换
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．﹣3+1＝﹣4B．﹣＝3
C．x10÷x2＝x8D．x（x﹣1）＝x2﹣1
3．（3分）一滴水的质量约为0.0000512kg，将0.0000512用科学记数法表示为（ ）
A．0.512×10﹣4B．5.12×10﹣5
C．51.2×10﹣6D．512×10﹣7
4．（3分）若|a﹣1|+（b﹣3）2＝0，则的平方根是（ ）
A．2B．±2C．D．
5．（3分）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣1B．m≤1C．m≥﹣1且m≠0D．m≤1且m≠0
6．（3分）为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个．如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）如图，已知反比例函数y1＝（k1＞0）的图象与一次函数y2＝k2x（k2＞0）的图象在第一象限内交于点A，且点A的横坐标为2，当y1＜y2时，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．x＜2
C．x＜﹣2或0＜x＜2D．﹣2＜x＜0或x＞2
8．（3分）在如图所示的“赵爽弦图”中，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD，分别以点F，H为圆心，EF长为半径作弧，若AB＝5，E为DF的中点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣5B．π﹣C．5π﹣5D．5π﹣10
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）分解因式：xy2﹣x＝ ．
10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，BD，AE交于点O，若随机向平行四边形ABCD内投针，则针尖落在图中阴影部分的概率为 ．
11．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AO交⊙O于点E，连接BE．若∠C＝100°，∠DAE＝50°，则∠E＝ ．
12．（3分）如图，点A，B，C，D在数轴上，点D表示的数是1，C是线段AD的中点，线段CD＝，点C到原点的距离等于线段AB的长，则点B表示的数是 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠C＝45°，以点A为圆心，AB的长为半径作弧交BC于点D，分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧交于点E，连接AE并延长交BC于点F，则BF的长为 ．
14．（3分）如图，正方形ABCD的顶点A，B在y轴上，反比例函数y＝的图象经过点C和AD的中点E，若AB＝4，则k的值是 ．
15．（3分）图①是某款电动平衡车，图②是其简化示意图，该款平衡车的座位AB和底盘CD均平行于地面，座位AB可沿射线EF方向调节，当座位AB的位置最低时，支架EF＝27cm，GE＝35cm，支架EF与座位AB的夹角∠EFB＝70°，与支架GE的夹角∠GEF＝115°，底盘CD到地面的距离为10cm，则此时座位AB到地面的高度为 cm．（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，≈1.41）
16．（3分）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了4min，又各自按原速前往目的地，到达目的地后停止．甲、乙两人之间的距离y（m）与甲所用时间x（min）之间的函数关系如下图所示，给出下列结论：①A，B之间的距离为1200m；②乙行走的速度是甲的1.5倍；③b＝800；④a＝34，其中正确的结论为 ．（填序号即可）
三、解答题（本题共8道题，17至22题每题6分23、24题，每题8分，共52分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）解不等式组．
19．（6分）在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（1，1），C（6，4）．
（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）画出将△A1B1C1绕点B1顺时针旋转90°所得到的△A2B1C2，并求出点C1旋转到点C2所经过的路径长．
20．（6分）保护环境，人人有责，为创造一个和谐的生态环境，某村计划采购甲、乙两种树苗进行种植．已知购买15筐甲种树苗和8筐乙种树苗共需1160元，购买9筐甲种树苗和4筐乙种树苗共需640元．
（1）购买的甲、乙两种树苗每筐的价格分别是多少？
（2）该村负责人结合本村实际，商定购买甲、乙两种树苗共80筐，要求购买的乙种树苗的数量不少于甲种树苗数量的，那么购买多少筐甲种树苗才能使得购买树苗的总费用最低？最低费用为多少元？
21．（6分）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．
22．（6分）2022年3月23日，“天宫课堂”第二课开讲．“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组，A组：75≤x＜80，B组：80≤x＜85，C组：85≤x＜90，D组：90≤x＜95，E组：95≤x≤100，并绘制了如图不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，频数分布直方图中m＝ ，所抽取学生成绩的中位数落在 组；
（2）学校将从获得满分的4名同学（其中有两名男生，两名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
23．（8分）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离 OA＝3m，CA＝2m，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系y＝﹣0.4x+2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系y＝a（x﹣1）2+3.2．
（1）求点P的坐标和a的值；
（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．
24．（8分）如图，O为线段PB上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C在⊙O上，连接PC，满足PC2＝PA•PB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AB＝3PA，求的值．
四、解答题（本题共2题，每题10分，共20分）
25．（10分）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．
（1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）
公式①：（a+b+c）d＝ad+bd+cd
公式②：（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd
公式③：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
公式④：（a+b）2＝a2+2ab+b2
图1对应公式 ，图2对应公式 ，图3对应公式 ，图4对应公式 ．
（2）《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）
（3）如图6，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点重合），过点E作EG⊥BC于点G，作EH⊥AD于点H，过点B作BF∥AC交EG的延长线于点F．记△BFG与△CEG的面积之和为S1，△ABD与△AEH的面积之和为S2．
①若E为边AC的中点，则的值为 ；
②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．
26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于B，C（﹣2，0）两点，与y轴交于点A，顶点坐标为（1，﹣）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点Q是抛物线对称轴l上一点，当AQ+CQ的值最小时，求出点Q的坐标及AQ+CQ的最小值；
（3）若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PK+PD的最大值及此时点P的坐标．
2024年宁夏银川二十四中中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中做了记载，如图，在实验中，物和像属于以下哪种变换（ ）
A．平移变换B．对称变换C．旋转变换D．位似变换
【分析】根据位似变换的定义判断即可．
【解答】解：小孔成倒像的实验，物和像属于位似变换．
故选：D．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．﹣3+1＝﹣4B．﹣＝3
C．x10÷x2＝x8D．x（x﹣1）＝x2﹣1
【分析】分别根据二次根式的加减法，同底数幂的除法法则，单项式乘多项式的法则对各选项进行解答即可．
【解答】解：A、3+1＝﹣2，原计算错误，不符合题意；
B、﹣＝2﹣＝，原计算错误，不符合题意；
C、x10÷x2＝x8，正确，符合题意；
D、x（x﹣1）＝x2﹣x，原计算错误，不符合题意．
故选：C．
3．（3分）一滴水的质量约为0.0000512kg，将0.0000512用科学记数法表示为（ ）
A．0.512×10﹣4B．5.12×10﹣5
C．51.2×10﹣6D．512×10﹣7
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，由此即可得到答案．
【解答】解：0.0000512＝5.12×10﹣5．
故选：B．
4．（3分）若|a﹣1|+（b﹣3）2＝0，则的平方根是（ ）
A．2B．±2C．D．
【分析】先根据非负数的性质求出a与b的值，再代入进行计算即可．
【解答】解：由题可知，
，
解得，
则＝＝2，
则的平方根是．
故选：C．
5．（3分）若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣1B．m≤1C．m≥﹣1且m≠0D．m≤1且m≠0
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式列得不等式并计算即可．
【解答】解：∵一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，
∴Δ＝22﹣4m≥0，且m≠0，
解得：m≤1且m≠0，
故选：D．
6．（3分）为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个．如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接利用根据单价，表示出篮球与足球价格，再利用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个得出等式即可．
【解答】解：设每个足球的价格为x元，可列方程为：
﹣＝5．
故选：A．
7．（3分）如图，已知反比例函数y1＝（k1＞0）的图象与一次函数y2＝k2x（k2＞0）的图象在第一象限内交于点A，且点A的横坐标为2，当y1＜y2时，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．x＜2
C．x＜﹣2或0＜x＜2D．﹣2＜x＜0或x＞2
【分析】本题需先根据交点A的坐标，再根据图象在上方的对应的函数值大即可求出x的取值范围．
【解答】解：因为A的横坐标为2，
所以另一个交点的横坐标为﹣2，
从观察图象知，
当y1＜y2时，x＞2或﹣2＜x＜0．
故选：D．
8．（3分）在如图所示的“赵爽弦图”中，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD，分别以点F，H为圆心，EF长为半径作弧，若AB＝5，E为DF的中点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣5B．π﹣C．5π﹣5D．5π﹣10
【分析】根据全等三角形的性质、正方形的性质求出EF＝，根据S阴影部分＝S扇形FEG+S扇形HEG﹣S正方形EFGH，求解即可．
【解答】解：∵△AFD≌△DEC，
∴AF＝DE，
∵E为DF的中点，
∴EF＝DE＝AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝5，
设EF＝DE＝AF＝x，
在Rt△AFD中，AD2＝AF2+DF2，
∴52＝x2+（2x）2，
∴x＝（负值已舍），
即EF＝，
∴S阴影部分＝S扇形FEG+S扇形HEG﹣S正方形EFGH
＝+﹣
＝﹣5，
故选：A．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）分解因式：xy2﹣x＝ x（y﹣1）（y+1） ．
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：xy2﹣x，
＝x（y2﹣1），
＝x（y﹣1）（y+1）．
故答案为：x（y﹣1）（y+1）．
10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，BD，AE交于点O，若随机向平行四边形ABCD内投针，则针尖落在图中阴影部分的概率为 ．
【分析】利用平行四边形的性质得到BC＝AD，BC∥AD，再证明△BOE∽△DOE，利用相似比得到＝＝＝，则S△AOB＝2S△BOE，S△AOD＝4S△BOE，然后根据针尖落在图中阴影部分的概率＝进行计算．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC＝AD，BC∥AD，
∵E为BC的中点，
∴BE＝AD，
∵BE∥AD，
∴△BOE∽△DOE，
∴＝＝＝，
∴S△AOB＝2S△BOE，S△AOD＝4S△BOE，
∴S△ADB＝6S△BOE，
S四边形ABCD＝12S△BOE，
∴针尖落在图中阴影部分的概率＝＝．
故答案为．
11．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AO交⊙O于点E，连接BE．若∠C＝100°，∠DAE＝50°，则∠E＝ 60° ．
【分析】根据圆内接四边形的性质和圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠C＝100°，
∴∠DAB＝80°，
∵∠DAE＝50°，
∴∠EAB＝30°，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴∠E＝90°﹣30°＝60°，
故答案为：60°．
12．（3分）如图，点A，B，C，D在数轴上，点D表示的数是1，C是线段AD的中点，线段CD＝，点C到原点的距离等于线段AB的长，则点B表示的数是 ﹣ ．
【分析】根据题意可知，点D表示的数是1，C是线段AD的中点，线段CD＝，可得：点C表示的数为：1，CD＝AC，则点A表示的数为：1﹣﹣＝1﹣2，又因为点C到原点的距离等于线段AB的长，则AB＝﹣1，因此点B表示的数为：1﹣2+﹣1＝﹣．
【解答】解：∵点D表示的数是1，C是线段AD的中点，线段CD＝，
∴点C表示的数为：1，CD＝AC，
∴点A表示的数为：1﹣﹣＝1﹣2，
∵点C到原点的距离等于线段AB的长，
∴AB＝﹣1，
∴点B表示的数为：1﹣2+﹣1＝﹣，
故答案为：﹣．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠C＝45°，以点A为圆心，AB的长为半径作弧交BC于点D，分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧交于点E，连接AE并延长交BC于点F，则BF的长为 2 ．
【分析】利用正弦函数求出AF，再利用勾股定理求出BF．
【解答】解：由题意AF⊥BC，
∴∠AFC＝∠AFB＝90°，
∵∠C＝45°，AC＝8，
∴AF＝AC•sin45°＝8×＝4，
∴BF＝＝＝2．
故答案为：2．
14．（3分）如图，正方形ABCD的顶点A，B在y轴上，反比例函数y＝的图象经过点C和AD的中点E，若AB＝4，则k的值是 16． ．
【分析】根据正方形的性质以及结合已知表示出E，C点坐标，进而利用反比例函数图象上点的坐标特征得出等式求出答案．
【解答】解：由题意可得：设C（4，a），则E（2，a+4），
可得：4a＝2×（a+4），
解得：a＝4，
故C（4，4），
∵反比例函数的图象经过点C，
∴4＝，
∴k＝16．
故答案为：16．
15．（3分）图①是某款电动平衡车，图②是其简化示意图，该款平衡车的座位AB和底盘CD均平行于地面，座位AB可沿射线EF方向调节，当座位AB的位置最低时，支架EF＝27cm，GE＝35cm，支架EF与座位AB的夹角∠EFB＝70°，与支架GE的夹角∠GEF＝115°，底盘CD到地面的距离为10cm，则此时座位AB到地面的高度为 60 cm．（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，≈1.41）
【分析】过点E作EH⊥GD，垂足为H，延长HE交AB的延长线于点M，根据已知易得：HM⊥AB，然后在Rt△EFM中，利用锐角三角函数的定义可求出EM的长，再在Rt△GEH中，利用锐角三角函数的定义可求出EH的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：过点E作EH⊥GD，垂足为H，延长HE交AB的延长线于点M，
∵AB∥CD，
∴HM⊥AB，
在Rt△EFM中，∠EFB＝70°，EF＝27cm，
∴∠FEM＝90°﹣∠EFB＝20°，EM＝EF•sin70°≈27×0.94＝25.38（cm），
∵∠GEF＝115°，
∴∠GEH＝180°﹣∠GEF﹣∠FEM＝45°，
在Rt△GEH中，GE＝35cm，
∴EH＝EG•sin45°＝35×＝17.5（cm），
∵底盘CD到地面的距离为10cm，
∴此时座位AB到地面的高度＝EM+EH+10＝25.38+17.5+10≈60（cm），
故答案为：60．
16．（3分）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了4min，又各自按原速前往目的地，到达目的地后停止．甲、乙两人之间的距离y（m）与甲所用时间x（min）之间的函数关系如下图所示，给出下列结论：①A，B之间的距离为1200m；②乙行走的速度是甲的1.5倍；③b＝800；④a＝34，其中正确的结论为 ①②③④ ．（填序号即可）
【分析】根据图象可知，当x＝0时，y＝1200即可判断①；结合甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度和＝，乙的速度＝，即可判断②；由图象x＝24时的拐点可知，到24min乙到达目的地，则两人相遇后行走了24﹣16＝8（min），两人之间的距离为8×100＝800（m），则b＝800，即可判断③；根据图象知，24min开始为甲独自行走1200﹣800＝400（m），甲的速度＝，即可判断④．
【解答】解：因为由图象可知当x＝0时，甲、乙两人在A、B两地还未出发，此时y＝1200，故A，B之间的距离为1200m，故①正确；
因为前12min为甲、乙的速度和行走了1200m，故甲、乙的速度和＝＝100（m/min），由图象知乙用了24﹣4＝20（min）走完了1200m，所以乙的速度＝＝60（m/min），甲的速度＝100﹣60＝40（m/min），则＝1.5，故②正确；
因为两人相遇时停留了4min，所以两人相遇后从16min开始继续行走，由图象x＝24时的拐点可知，到24min乙到达目的地，则两人相遇后行走了24﹣16＝8（min），两人之间的距离为8×100＝800（m），则b＝800，故③正确；
因为从24min开始为甲独自行走1200﹣800＝400（m），甲的速度＝＝10（min），所以a＝24+10＝34，故④正确；
综上所述①②③④均正确，共有四个结论正确．
故答案为：①②③④．
三、解答题（本题共8道题，17至22题每题6分23、24题，每题8分，共52分）
17．（6分）计算：．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
＝4+2×﹣1﹣|﹣1|
＝4+﹣1﹣（﹣1）
＝4+﹣1﹣+1
＝4．
18．（6分）解不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：由3x﹣2（x﹣1）≤4得：x≤2，
由＞1﹣得：x＞1，
则不等式组的解集为1＜x≤2．
19．（6分）在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（1，1），C（6，4）．
（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）画出将△A1B1C1绕点B1顺时针旋转90°所得到的△A2B1C2，并求出点C1旋转到点C2所经过的路径长．
【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图即可；利用勾股定理求出B1C1的长，再利用弧长公式计算即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B1C2即为所求．
由勾股定理得，B1C1＝＝，
∴点C1旋转到点C2所经过的路径长为＝＝．
20．（6分）保护环境，人人有责，为创造一个和谐的生态环境，某村计划采购甲、乙两种树苗进行种植．已知购买15筐甲种树苗和8筐乙种树苗共需1160元，购买9筐甲种树苗和4筐乙种树苗共需640元．
（1）购买的甲、乙两种树苗每筐的价格分别是多少？
（2）该村负责人结合本村实际，商定购买甲、乙两种树苗共80筐，要求购买的乙种树苗的数量不少于甲种树苗数量的，那么购买多少筐甲种树苗才能使得购买树苗的总费用最低？最低费用为多少元？
【分析】（1）设甲种树苗每筐的价格是x元，乙种树苗每筐的价格是y元，根据题意列方程并求解即可；
（2）设购买甲种树苗a筐，则购买乙种树苗（80﹣a）筐，根据题意列关于a的一元一次不等式并求其解集；购买树苗的总费用是W元，根据“购买树苗的总费用＝购买甲种树苗的费用+购买乙种树苗的费用”写出W关于a的函数关系式，根据该函数的增减性和a的取值范围，确定当a为何值时W值最小，求出其最小值即可．
【解答】解：（1）设甲种树苗每筐的价格是x元，乙种树苗每筐的价格是y元．
根据题意，得，
解得，
∴甲种树苗每筐的价格是40元，乙种树苗每筐的价格是70元．
（2）设购买甲种树苗a筐，则购买乙种树苗（80﹣a）筐．
根据题意，得80﹣a≥a，
解得a≤64．
设购买树苗的总费用是W元，则W＝40a+70（80﹣a）＝﹣30a+5600，
∵﹣30＜0，
∴W随a的增大而减小，
∵a≤64，
∴当a＝64时，W值最小，W最小＝﹣30×64+5600＝3680，
∴购买64筐甲种树苗才能使得购买树苗的总费用最低，最低费用为3680元．
21．（6分）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．
【分析】（1）证△AOE≌△COD（ASA），得OD＝OE，再由AO＝CO，即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质得OB⊥AC，则平行四边形AECD是菱形，再由勾股定理求出OD＝3，则DE＝6，即可得出答案．
【解答】（1）证明：在△AOE和△COD中，
，
∴△AOE≌△COD（ASA），
∴OD＝OE，
又∵AO＝CO，
∴四边形AECD是平行四边形；
（2）解：∵AB＝BC，AO＝CO，
∴OB⊥AC，
∴平行四边形AECD是菱形，
∵AC＝8，
∴CO＝AC＝4，
在Rt△COD中，由勾股定理得：OD＝＝＝3，
∴DE＝2OD＝6，
∴菱形AECD的面积＝AC×DE＝×8×6＝24．
22．（6分）2022年3月23日，“天宫课堂”第二课开讲．“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组，A组：75≤x＜80，B组：80≤x＜85，C组：85≤x＜90，D组：90≤x＜95，E组：95≤x≤100，并绘制了如图不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了 400 名学生的成绩，频数分布直方图中m＝ 60 ，所抽取学生成绩的中位数落在 D 组；
（2）学校将从获得满分的4名同学（其中有两名男生，两名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．
【分析】（1）用条形统计图中C的频数除以扇形统计图中C的百分比可得本次调查一共随机抽取的学生人数；用本次调查一共随机抽取的学生人数乘以扇形统计图中B的百分比可得m的值；根据中位数的定义可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）本次调查一共随机抽取的学生人数为96÷24%＝400（名）．
m＝400×15%＝60．
将抽取的400名学生的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第200和201名的成绩都落在D组，
∴所抽取学生成绩的中位数落在D组．
故答案为：400；60；D．
（2）列表如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果有8种，
∴抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率为＝．
23．（8分）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离 OA＝3m，CA＝2m，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系y＝﹣0.4x+2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系y＝a（x﹣1）2+3.2．
（1）求点P的坐标和a的值；
（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．
【分析】（1）在y＝﹣0.4x+2.8中，令x＝0可解得点P的坐标为（0，2.8）；把P（0，2.8）代入y＝a（x﹣1）2+3.2得a的值是﹣0.4；
（2）在y＝﹣0.4x+2.8中，令y＝0得x＝7，在y＝﹣0.4（x﹣1）2+3.2中，令y＝0可得x＝﹣2+1（舍去）或x＝2+1≈3.83，由|7﹣5|＞|3.83﹣5|，即可得到答案．
【解答】解：（1）在y＝﹣0.4x+2.8中，令x＝0得y＝2.8，
∴点P的坐标为（0，2.8）；
把P（0，2.8）代入y＝a（x﹣1）2+3.2得：a+3.2＝2.8，
解得：a＝﹣0.4，
∴a的值是﹣0.4；
（2）∵OA＝3m，CA＝2m，
∴OC＝5m，
∴C（5，0），
在y＝﹣0.4x+2.8中，令y＝0得x＝7，
在y＝﹣0.4（x﹣1）2+3.2中，令y＝0得x＝﹣2+1（舍去）或x＝2+1≈3.83，
∵|7﹣5|＞|3.83﹣5|，
∴选择吊球方式，球的落地点到C点的距离更近．
24．（8分）如图，O为线段PB上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C在⊙O上，连接PC，满足PC2＝PA•PB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AB＝3PA，求的值．
【分析】（1）由PC2＝PA•PB得，可证得△PAC∽△PCB，根据相似三角形的性质得∠PCA＝∠B，根据圆周角定理得∠ACB＝90°，则∠CAB+∠B＝90°，由OA＝OC得∠CAB＝∠OCA，等量代换可得∠PCA+∠OCA＝90°，即OC⊥PC，即可得出结论；
（2）由AB＝3PA可得PB＝4PA，OA＝OC＝1.5PA，根据勾股定理求出PC＝2PA，根据相似三角形的性质即可得出的值．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵PC2＝PA•PB，
∴，
∵∠P＝∠P，
∴△PAC∽△PCB，
∴∠PCA＝∠B，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠CAB＝∠OCA，
∴∠PCA+∠OCA＝90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝3PA，
∴PB＝4PA，OA＝OC＝1.5PA，PO＝2.5PA，
∵OC⊥PC，
∴PC＝＝2PA，
∵△PAC∽△PCB，
∴＝＝＝．
四、解答题（本题共2题，每题10分，共20分）
25．（10分）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．
（1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）
公式①：（a+b+c）d＝ad+bd+cd
公式②：（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd
公式③：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
公式④：（a+b）2＝a2+2ab+b2
图1对应公式 ① ，图2对应公式 ② ，图3对应公式 ④ ，图4对应公式 ③ ．
（2）《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）
（3）如图6，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点重合），过点E作EG⊥BC于点G，作EH⊥AD于点H，过点B作BF∥AC交EG的延长线于点F．记△BFG与△CEG的面积之和为S1，△ABD与△AEH的面积之和为S2．
①若E为边AC的中点，则的值为 2 ；
②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．
【分析】（1）观察图象可得图1对应公式①，图2对应公式②，图3对应公式④，图4对应公式③；
（2）由图可得S矩形AKLC＝AK•AC＝a（a﹣b）＝BF•BD＝S矩形DBFG，即可得S正方形BCEF＝a2＝S矩形AKHD+b2，从而有a2＝（a﹣b）（a+b）+b2，故（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（3）①设BD＝m，可得AD＝BD＝CD＝m，由E是AC中点，即得HE＝DG＝m＝AH，S1＝S△BFG+S△CEG＝m2，S2＝S△ABD+S△AEH＝m2，即得＝2；
②设BD＝a，DG＝b，可得AD＝BD＝CD＝a，AH＝HE＝DG＝b，EG＝CG＝a﹣b，FG＝BG＝a+b，S1＝S△BFG+S△CEG＝×（a+b）2+×（a﹣b）2＝a2+b2，S2＝S△ABD+S△AEH＝a2+×b2＝（a2+b2），从而＝2．
【解答】（1）解：观察图象可得：
图1对应公式①，图2对应公式②，图3对应公式④，图4对应公式③；
故答案为：①，②，④，③；
（2）证明：
如图：
由图可知，矩形BCEF和矩形EGHL都是正方形，
∵AK＝BM＝BF﹣MF＝a﹣b，BD＝BC﹣CD＝a﹣b，
∴S矩形AKLC＝AK•AC＝a（a﹣b）＝BF•BD＝S矩形DBFG，
∴S正方形BCEF＝a2＝S矩形CDHL+S矩形DBFG+S正方形EGHL＝S矩形CDHL+S矩形AKLC+b2，
∴a2＝S矩形AKHD+b2，
∵S矩形AKHD＝AK•AD＝（a﹣b）（a+b），
∴a2＝（a﹣b）（a+b）+b2，
∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（3）解：①设BD＝m，
由已知可得△ABD、△AEH、△CEG、△BFG是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形，
∴AD＝BD＝CD＝m，
∵E是AC中点，
∴HE＝DG＝m＝AH，
∴CG＝CD﹣DG＝m，BG＝FG＝BD+DG＝m，
∴S1＝S△BFG+S△CEG＝×m×m+×m×m＝m2，
S2＝S△ABD+S△AEH＝m2+×m×m＝m2，
∴＝2；
故答案为：2；
②E不为边AC的中点时①中的结论仍成立，证明如下：
设BD＝a，DG＝b，
由已知可得△ABD、△AEH、△CEG、△BFG是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩形，
∴AD＝BD＝CD＝a，AH＝HE＝DG＝b，EG＝CG＝a﹣b，FG＝BG＝a+b，
∴S1＝S△BFG+S△CEG＝×（a+b）2+×（a﹣b）2＝a2+b2，
S2＝S△ABD+S△AEH＝a2+×b2＝（a2+b2），
∴＝2．
26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于B，C（﹣2，0）两点，与y轴交于点A，顶点坐标为（1，﹣）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点Q是抛物线对称轴l上一点，当AQ+CQ的值最小时，求出点Q的坐标及AQ+CQ的最小值；
（3）若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PK+PD的最大值及此时点P的坐标．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）连接AB交抛物线的对称轴于点Q，此时AQ+CQ最小，即可求解；
（3）设点P的坐标为：（p，p2﹣p﹣2），则点K（p2﹣p，p2﹣p﹣2），则PK+PD＝（﹣p2+2p）﹣（p2﹣p﹣2）＝﹣（p﹣）2+≤，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2﹣，
将点C的坐标代入上式得：0＝a（﹣2﹣1）2﹣，
解得：a＝，
则抛物线的表达式为：y＝（x﹣1）2﹣＝x2﹣x﹣2；
（2）连接AB交抛物线的对称轴于点Q，此时AQ+CQ最小，理由：
根据点的对称性，CQ＝BQ，
则AQ+CQ＝AQ+BQ＝AB为最小，
由点A、B的坐标得，AB＝2，直线AB的表达式为：y＝x﹣2，
抛物线的对称轴为直线x＝1，
当x＝1时，y＝x﹣2＝﹣，
即点Q的坐标为：（1，﹣）AQ+CQ的最小值为2；
（3）设点P的坐标为：（p，p2﹣p﹣2），
∵直线AB的表达式为：y＝x﹣2，则点K（p2﹣p，p2﹣p﹣2），
则PK＝p﹣（p2﹣p）＝﹣p2+2p，
则PK+PD＝（﹣p2+2p）﹣（p2﹣p﹣2）＝﹣（p﹣）2+≤，
故当p＝时，PK+PD的最大值为：，
此时点P（，﹣）．
男
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女
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