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河北省沧州市沧衡名校联盟2023-2024学年高三下学期4月模拟考试数学试题
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这是一份河北省沧州市沧衡名校联盟2023-2024学年高三下学期4月模拟考试数学试题，共4页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷的注释
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(共8题；共40分)
1. 已知是边长为4的正三角形，则（ ）
A . 8 B . C . -8 D .
2. 已知集合 ， 若 ， 则实数（ ）
A . -1或2 B . 1 C . D . 2
3. 在某市的一次质量检测考试中，学生的数学成绩可认为近似服从正态分布，其正态密度曲线可用函数的图象拟合，且 ， 若参加本次考试的学生共有10000人，则数学成绩超过120分的人数约为（ ）
A . 600 B . 800 C . 1200 D . 1400
4. 已知8名同学参加体能综合测试的成绩分别为 ， 从这8名同学中选出3名同学，则这3名同学中最高的体能综合测试成绩恰好是这8名同学体能综合测试成绩的第70百分位数的概率为（ ）
A . B . C . D .
5. 已知函数 ， 记 ， 则（ ）
A . B . C . D .
6. 已知复数 ， 复数满足 ， 则的最大值为（ ）
A . 7 B . 6 C . D .
7. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若和在区间上都是单调递增的，则的最大值为（ ）
A . B . C . D .
8. 已知正六棱锥的高为 ， 侧面与底面所成角的正切值为4，则该正六棱锥的内接正六棱柱（即正六棱柱的所有顶点均在正六棱锥的侧棱和底面上）的外接球的表面积的最小值为（ ）
A . B . C . D .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.(共3题；共18分)
9. 已知 ， 则（ ）
A . B . C . D . 若 ， 则
10. 已知函数为定义在上的函数的导函数， ， ， 且 ， 则下列说法正确的有（ ）
A . 函数的图象关于直线对称 B . 函数的图象关于点对称 C . D .
11. 已知点为抛物线的准线与轴的交点，分别为上不同两点（其中在第一象限），为抛物线的焦点，为坐标原点，则下列说法正确的有（ ）
A . 若 ， 则中点横坐标的最小值为4 B . 若三点共线，且 ， 则直线的斜率为 C . 若三点共线，且 ， 则直线的斜率为 D . 若三点共线，且的外接圆与的交点为（异于），则的重心在轴上
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.(共3题；共15分)
12. 已知为数列的前项和，且 ， 则.
13. 已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且的周长为6，面积的最大值为 ， 则椭圆的离心率为.
14. 已知分别为的内角的对边，且 ， 则；内角的平分线交于点 ， 若 ， 则的面积为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.(共5题；共77分)
15. 如图，在直三棱柱中， ， 点到平面的距离为分别为的中点.
（1） 证明：；
（2） 求直线与平面所成角的正弦值.
16. 在数列中， ， 都有成立.
（1） 证明：数列是等差数列；
（2） 若数列是首项为1的等差数列，求实数的值及数列的前项和.
17. 现有如下定义：在维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与对应坐标差的绝对值之和，即为.
基本事实：①在三维空间中，立方体的顶点坐标可用三维坐标表示，其中；②在维空间中 ， 以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标 ， 并称其为“维立方体”，其中.
请根据以上定义和基本事实回答下面问题：
（1） 若“维立方体”的顶点个数为 ， “维立方体”的顶点个数为 ， 求的值；
（2） 记随机变量为“维立方体”中任意两个不同顶点间的曼哈顿距离，求的分布列和数学期望.
18. 已知双曲线的一条渐近线为 ， 实轴长为 ， 为上一点.
（1） 求双曲线的方程；
（2） （i）证明：直线与双曲线相切于点；
（ii）若直线与双曲线相切，为双曲线的右焦点，且 ， 试判断点是否在定直线上，若在定直线上，求出该直线方程；若不在定直线上，请说明理由.
19. 已知函数
（1） 若函数 ， 证明：在上恒成立；
（2） 若 ， 且 ， 证明：.
难度系数：0.53
第Ⅰ卷 客观题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1 2 3 4 5 6 7 8
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9 10 11
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12 13 14
第Ⅱ卷 主观题
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15 16 17 18 19
第Ⅰ卷的注释
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(共8题；共40分)
1. 已知是边长为4的正三角形，则（ ）
A . 8 B . C . -8 D .
2. 已知集合 ， 若 ， 则实数（ ）
A . -1或2 B . 1 C . D . 2
3. 在某市的一次质量检测考试中，学生的数学成绩可认为近似服从正态分布，其正态密度曲线可用函数的图象拟合，且 ， 若参加本次考试的学生共有10000人，则数学成绩超过120分的人数约为（ ）
A . 600 B . 800 C . 1200 D . 1400
4. 已知8名同学参加体能综合测试的成绩分别为 ， 从这8名同学中选出3名同学，则这3名同学中最高的体能综合测试成绩恰好是这8名同学体能综合测试成绩的第70百分位数的概率为（ ）
A . B . C . D .
5. 已知函数 ， 记 ， 则（ ）
A . B . C . D .
6. 已知复数 ， 复数满足 ， 则的最大值为（ ）
A . 7 B . 6 C . D .
7. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若和在区间上都是单调递增的，则的最大值为（ ）
A . B . C . D .
8. 已知正六棱锥的高为 ， 侧面与底面所成角的正切值为4，则该正六棱锥的内接正六棱柱（即正六棱柱的所有顶点均在正六棱锥的侧棱和底面上）的外接球的表面积的最小值为（ ）
A . B . C . D .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.(共3题；共18分)
9. 已知 ， 则（ ）
A . B . C . D . 若 ， 则
10. 已知函数为定义在上的函数的导函数， ， ， 且 ， 则下列说法正确的有（ ）
A . 函数的图象关于直线对称 B . 函数的图象关于点对称 C . D .
11. 已知点为抛物线的准线与轴的交点，分别为上不同两点（其中在第一象限），为抛物线的焦点，为坐标原点，则下列说法正确的有（ ）
A . 若 ， 则中点横坐标的最小值为4 B . 若三点共线，且 ， 则直线的斜率为 C . 若三点共线，且 ， 则直线的斜率为 D . 若三点共线，且的外接圆与的交点为（异于），则的重心在轴上
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.(共3题；共15分)
12. 已知为数列的前项和，且 ， 则.
13. 已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且的周长为6，面积的最大值为 ， 则椭圆的离心率为.
14. 已知分别为的内角的对边，且 ， 则；内角的平分线交于点 ， 若 ， 则的面积为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.(共5题；共77分)
15. 如图，在直三棱柱中， ， 点到平面的距离为分别为的中点.
（1） 证明：；
（2） 求直线与平面所成角的正弦值.
16. 在数列中， ， 都有成立.
（1） 证明：数列是等差数列；
（2） 若数列是首项为1的等差数列，求实数的值及数列的前项和.
17. 现有如下定义：在维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与对应坐标差的绝对值之和，即为.
基本事实：①在三维空间中，立方体的顶点坐标可用三维坐标表示，其中；②在维空间中 ， 以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标 ， 并称其为“维立方体”，其中.
请根据以上定义和基本事实回答下面问题：
（1） 若“维立方体”的顶点个数为 ， “维立方体”的顶点个数为 ， 求的值；
（2） 记随机变量为“维立方体”中任意两个不同顶点间的曼哈顿距离，求的分布列和数学期望.
18. 已知双曲线的一条渐近线为 ， 实轴长为 ， 为上一点.
（1） 求双曲线的方程；
（2） （i）证明：直线与双曲线相切于点；
（ii）若直线与双曲线相切，为双曲线的右焦点，且 ， 试判断点是否在定直线上，若在定直线上，求出该直线方程；若不在定直线上，请说明理由.
19. 已知函数
（1） 若函数 ， 证明：在上恒成立；
（2） 若 ， 且 ， 证明：.
难度系数：0.53
第Ⅰ卷 客观题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1 2 3 4 5 6 7 8
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9 10 11
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12 13 14
第Ⅱ卷 主观题
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15 16 17 18 19
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