2023-2024学年广东省惠州五中教育集团七年级（下）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年广东省惠州五中教育集团七年级（下）期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题一，解答题二，解答题三等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）如图所示的图案分别是三菱、大众、奥迪、奔驰汽车的车标，其中可以看作是由“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）如果电影票上的“5排2号”记作（5，2），那么（4，3）表示（ ）
A．3排5号B．5排3号C．4排3号D．3排4号
3．（3分）在平面直角坐标系中，点A（3，﹣5）所在象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．（3分）在0，3.14159，，，，中，无理数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（3分）如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．∠1与∠B是同位角B．∠2与∠A是同旁内角
C．∠3与∠C是同位角D．∠2与∠3是内错角
6．（3分）如图，下列能判定AB∥CD的条件有（ ）个．
（1）∠B+∠BCD＝180°；
（2）∠1＝∠2；
（3）∠3＝∠4；
（4）∠B＝∠5．
A．1B．2C．3D．4
7．（3分）如图，在数轴上，点A与点C到点B的距离相等，A，B两点所对应的实数分别是﹣和1，则点C对应的实数是（ ）
A．1+B．2+C．2﹣1D．2+1
8．（3分）已知，则a+b等于（ ）
A．B．3C．2D．1
9．（3分）如图，将直尺与直角三角板叠放在一起，若∠1＝55°．则∠2的大小是（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
10．（3分）将图1中的长方形分成B，C两部分，恰与正方形A拼接成如图2的大正方形．正方形A的面积为4．拼接后的大正方形的面积是5，图1中原长方形的周长为（ ）
A．B．4C．D．8
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）二元一次方程kx﹣3y＝2的一组解是，则k＝ ．
12．（3分）如图．直线a、b相交．∠1+∠3＝82°，∠2＝ ．
13．（3分）写出一个大于3且小于4的无理数 ．
14．（3分）用“如果…那么…形式将命题“同角的补角相等”可以改写成 ．
15．（3分）如图所示，长方形ABCD的两边BC、CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A的坐标为（2，3），将长方形ABCD沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A的对应点记为A1；经过第二次翻滚，点A的对应点记为A2；……依次类推，经过第2024次翻滚，点A的对应点A2024的坐标为 ．
三、解答题一（16、17每小题5分，18、19每小题5分：共24分）
16．（5分）计算：．
17．（5分）解方程组：．
18．（7分）如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图．
（1）过点P作PQ∥CD，交AB于点Q；
（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R．
（3）在（1）（2）的条件下，若∠ACD＝65°，求∠PQB的大小．
19．（7分）某农场有一块长50米，宽30米的场地，现要用场地面积的建一个最观鱼池．（≈2.24，，
（1）若要修建的是一个长方形鱼池，且长方形的长和宽之比为5：4，则鱼池的长和宽各为多少？（精确到0.1米）
（2）能否将鱼池修建成一个正方形，若能建成，鱼池的边长为多少？不能请说明理由？
四、解答题二（每小题9分，共27分）
20．（9分）已知；如图AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2．
（1）AB与DG平行吗？什么？
（2）若∠BAC＝70°，∠C＝60°，求：∠2的度数．
21．（9分）已知关于x，y的方程组和有相同的解．
（1）求出它们的相同解；
（2）求（a+b）2023的值．
22．（9分）如图，三角形ABO中，A（﹣2，﹣3），B（2，﹣1），△A′B′O′是△ABO平移之后得到的图形，并且O的对应点O′的坐标为（5，4）．
（1）作出△ABO平移之后的图形△A′B′O′，并写出A′、B′两点的坐标分别为 ；
（2）求△ABO的面积；
（3）x轴上有一点Q，使△AOQ的面积与△ABO相同，求Q坐标．
五、解答题三（每小题12分，共24分）
23．（12分）如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b）．且a，b满足，B点在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的线路移动，点P回到O点，则停止移动．
（1）点B的坐标为 ．
（2）在移动过程中，当点P到x轴距离等于5时，求此时点P移动的时间；
（3）在移动过程中，是否存在点P，使△POB的面积为10？若存在，求此时点P坐标．若不存在说明理由；
24．（12分）综合与实践
问题情境：
数学课上，老师让同学以“三角尺与平行线”为主题开展数学活动，如图①已知l1∥l2，直角三角形ABC中，∠B＝90°，将其顶点A放在直线l2上，并使边AB⊥l1于点D，AC与l1相交于点H．老师提出问题：试判断边BC与直线l1的位置关系并说明理由．
（1）请解答老师提出的问题．
操作探究：
（2）如图②，将图①中三角尺ABC的直角顶点B放在平行线之间，两直角边AB，CB分别与l1，l2相交于点P，Q．得到∠1和∠2，试探究∠1与∠2的数量关系并说明理由．
下面是小亮不完整的解答过程，请你补充完整．
解：∠1+∠2＝90°，理由：
过点B作直线BN∥l1，如图④所示．
因为l1∥l2（已知）
所以BN∥l2（ ）
所以∠1＝∠ABN，∠2＝ （ ）
因为 +∠NBC＝∠ABC，∠ABC＝90°
所以∠1+∠2＝90°
深入探究：
（3）受小亮启发，同学们继续探究下列问题．
在图②中作线段PO和QO，使它们分别平分∠1和∠2的对顶角，如图③所示，求∠POQ的度数．
2023-2024学年广东省惠州五中教育集团七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）如图所示的图案分别是三菱、大众、奥迪、奔驰汽车的车标，其中可以看作是由“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据平移的性质：不改变图形的形状和大小，不可旋转与翻转，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是C．
【解答】解：观察图形可知，图案C可以看作由“基本图案”经过平移得到．
故选：C．
2．（3分）如果电影票上的“5排2号”记作（5，2），那么（4，3）表示（ ）
A．3排5号B．5排3号C．4排3号D．3排4号
【分析】由于将“5排2号”记作（5，2），根据这个规定即可确定（4，3）表示的点．
【解答】解：∵“5排2号”记作（5，2），
∴（4，3）表示4排3号．
故选：C．
3．（3分）在平面直角坐标系中，点A（3，﹣5）所在象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：点A（3，﹣5）所在象限为第四象限．
故选：D．
4．（3分）在0，3.14159，，，，中，无理数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可．
【解答】解：无理数有，，共2个，
故选：B．
5．（3分）如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．∠1与∠B是同位角B．∠2与∠A是同旁内角
C．∠3与∠C是同位角D．∠2与∠3是内错角
【分析】根据内错角、同旁内角、同位角的定义即可判断．
【解答】解：A、∠1与∠B是同位角，此选项不符合题意；
B、∠2与∠A是同旁内角此选项不符合题意；
C、∠3与∠C不是同位角，此选项符合题意；
D、∠2与∠3是内错角，此选项不符合题意；
故选：C．
6．（3分）如图，下列能判定AB∥CD的条件有（ ）个．
（1）∠B+∠BCD＝180°；
（2）∠1＝∠2；
（3）∠3＝∠4；
（4）∠B＝∠5．
A．1B．2C．3D．4
【分析】在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．
【解答】解：（1）利用同旁内角互补，判定两直线平行，故（1）正确；
（2）利用内错角相等，判定两直线平行，∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，而不能判定AB∥CD，故（2）错误；
（3）利用内错角相等，判定两直线平行，故（3）正确；
（4）利用同位角相等，判定两直线平行，故（4）正确．
故选：C．
7．（3分）如图，在数轴上，点A与点C到点B的距离相等，A，B两点所对应的实数分别是﹣和1，则点C对应的实数是（ ）
A．1+B．2+C．2﹣1D．2+1
【分析】根据题意求出AB的长，得到AC的长以及OC的长，确定点C对应的实数．
【解答】解：∵A，B两点所对应的实数分别是﹣和1，
∴AB＝1+，
又∵CB＝AB，
∴OC＝2+，
∴点C对应的实数是2+，
故选：B．
8．（3分）已知，则a+b等于（ ）
A．B．3C．2D．1
【分析】方程组两方程相加即可求出所求．
【解答】解：，
①+②得：4a+4b＝12，
则a+b＝3．
故选：B．
9．（3分）如图，将直尺与直角三角板叠放在一起，若∠1＝55°．则∠2的大小是（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
【分析】先利用对顶角相等可得∠1＝∠3＝55°，然后利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
【解答】解：如图：
∵∠1＝55°，
∴∠1＝∠3＝55°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠2＝180°﹣∠ACB﹣∠3＝35°，
故选：A．
10．（3分）将图1中的长方形分成B，C两部分，恰与正方形A拼接成如图2的大正方形．正方形A的面积为4．拼接后的大正方形的面积是5，图1中原长方形的周长为（ ）
A．B．4C．D．8
【分析】设C的长为x，宽为y，则B的长为x+y，宽为y，根据小正方形面积和大正方形面积利用算术平方根找到x，y之间的关系式即可求出．
【解答】解：设C的长为x，宽为y，则B的长为x+y，宽为y，
∵A的面积为4，
∴x＝2，
∵拼接后的大正方形的面积是5，
∴x+y＝，
∴y＝﹣2，
∴图1中原长方形的长为：x+x+y＝2x+y＝4+﹣2＝2+，宽为﹣2，
∴图1中原长方形的周长为2×（2++﹣2）＝4，
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）二元一次方程kx﹣3y＝2的一组解是，则k＝ ﹣4 ．
【分析】知道了方程的解，可以把这对数值代入方程，得到一个含有未知数k的一元一次方程，从而可以求出k的值．
【解答】解：把代入kx﹣3y＝2，得
k﹣3×（﹣2）＝2，
解得k＝﹣4．
12．（3分）如图．直线a、b相交．∠1+∠3＝82°，∠2＝ 139° ．
【分析】先根据对顶角相等求出∠1的度数，再根据平角等于180°列式求解即可．
【解答】解：∵∠1+∠3＝82°，∠1＝∠3（对顶角相等），
∴∠1＝×82°＝41°，
∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣41°＝139°．
故答案为：139°．
13．（3分）写出一个大于3且小于4的无理数 π（答案不唯一） ．
【分析】根据无理数是无限不循环小数进行解答，由于π≈3.14…，故π符合题意．
【解答】解：∵π≈3.14…，
∴3＜π＜4，
故答案为：π（答案不唯一）．
14．（3分）用“如果…那么…形式将命题“同角的补角相等”可以改写成 如果两个角是同角的补角，那么这两个角相等 ．
【分析】把题设写在“如果“后面，结论写在“那么“后面即可．
【解答】解：用“如果…那么…形式将命题“同角的补角相等”可以改写成“如果两个角是同角的补角，那么这两个角相等“；
故答案为：如果两个角是同角的补角，那么这两个角相等．
15．（3分）如图所示，长方形ABCD的两边BC、CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A的坐标为（2，3），将长方形ABCD沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A的对应点记为A1；经过第二次翻滚，点A的对应点记为A2；……依次类推，经过第2024次翻滚，点A的对应点A2024的坐标为 （5062，3） ．
【分析】根据所给运动方式，依次求出点A的对应点坐标，发现规律即可解决问题．
【解答】解：根据所给翻滚方式可知，
点A1的坐标为（5，0）；
点A2的坐标为（5，0）；
点A3的坐标为（7，2）；
点A4的坐标为（12，3）；
点A5的坐标为（15，0）；
点A6的坐标为（15，0）；
点A7的坐标为（17，2）；
点A8的坐标为（22，3）；
…，
由此可见，每翻滚四次，点Ai的横坐标增加10，且其纵坐标按0，0，2，3循环出现，
又因为2024÷4＝506，
所以12+10×（506﹣1）＝5062，
所以点A2024的坐标为（5062，3）．
故答案为：（5062，3）．
三、解答题一（16、17每小题5分，18、19每小题5分：共24分）
16．（5分）计算：．
【分析】先进行开方运算，去绝对值，再进行加减运算即可．
【解答】解：原式＝
＝．
17．（5分）解方程组：．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：①×2+②得：7x＝14，即x＝2，
把x＝2代入①得：y＝﹣2，
则方程组的解为．
18．（7分）如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图．
（1）过点P作PQ∥CD，交AB于点Q；
（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R．
（3）在（1）（2）的条件下，若∠ACD＝65°，求∠PQB的大小．
【分析】（1）平移CD，使它经过点P，即可得到PQ．
（2）直接过点P作PR⊥CD于R即可．
（3）根据平行线的性质可得∠PQC＝∠ACD＝65°，再利用邻补角计算∠PQB即可．
【解答】解：（1）如图，PQ即为所求．
（2）如图，PR即为所求．
（3）∵PQ∥CD，∠ACD＝65°，
∴∠PQC＝∠ACD＝65°，
∴∠PQB＝180°﹣∠PQC＝115°．
19．（7分）某农场有一块长50米，宽30米的场地，现要用场地面积的建一个最观鱼池．（≈2.24，，
（1）若要修建的是一个长方形鱼池，且长方形的长和宽之比为5：4，则鱼池的长和宽各为多少？（精确到0.1米）
（2）能否将鱼池修建成一个正方形，若能建成，鱼池的边长为多少？不能请说明理由？
【分析】（1）设鱼池的长为5x米，宽为4x米，根据矩形的面积公式列方程即可得到结论；
（2）设鱼池的边长为y米，根据正方形的面积公式列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）设鱼池的长为5x米，宽为4x米，
根据题意得，5x×4x＝×50×30，
解得x＝，
∴5x＝≈52.7，4x＝≈42.1，
答：鱼池的长和宽各为52.7米，42.1米；
（2）能，设鱼池的边长为y米，
根据题意得，y2＝×50×30，
解得y＝10，
答：能建成，鱼池的边长为10米．
四、解答题二（每小题9分，共27分）
20．（9分）已知；如图AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2．
（1）AB与DG平行吗？什么？
（2）若∠BAC＝70°，∠C＝60°，求：∠2的度数．
【分析】（1）求出AD∥EF，根据平行线的性质得出∠1＝∠DAB，求出∠2＝∠DAB，根据平行线的判定得出即可；
（2）根据直角三角形的性质求出∠DAC＝30°，根据角的和差求出∠DAB＝40°，结合（1）求解即可．
【解答】解：（1）AB∥DG，理由如下：
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠ADC＝∠FEC＝90°，
∴AD∥EF，
∴∠1＝∠DAB，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠DAB，
∴AB∥DG；
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠C+∠CAD＝90°，
∵∠C＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴∠DAB＝∠BAC﹣∠CAD＝70°﹣30°＝40°，
由（1）知，∠2＝∠DAB，
∴∠2＝40°．
21．（9分）已知关于x，y的方程组和有相同的解．
（1）求出它们的相同解；
（2）求（a+b）2023的值．
【分析】（1）根据已知条件，重新把不含有a，b的两个方程联立成方程组，利用加减消元法，求出x，y的值即可；
（2）把（1）中所求的x＝3，y＝﹣1分别代入2ax﹣by＝4和ax+2by＝7得关于a，b的方程组，解方程组求出a，b，再代入计算即可．
【解答】解：（1）由题意得：，
①×2得：4x﹣2y＝14③，
②+③得：x＝3，
把x＝3代入②得：y＝﹣1，
∴方程组的解为：；
（2）把（1）中所求的x＝3，y＝﹣1分别代入2ax﹣by＝4和ax+2by＝7得：，
①×2得：12a+2b＝8③，
②+③得：a＝1，
把a＝1代入①得：b＝﹣2，
∴（a+b）2023
＝[1+（﹣2）]2023
＝（﹣1）2023
＝﹣1．
22．（9分）如图，三角形ABO中，A（﹣2，﹣3），B（2，﹣1），△A′B′O′是△ABO平移之后得到的图形，并且O的对应点O′的坐标为（5，4）．
（1）作出△ABO平移之后的图形△A′B′O′，并写出A′、B′两点的坐标分别为 （3，1），（7，3） ；
（2）求△ABO的面积；
（3）x轴上有一点Q，使△AOQ的面积与△ABO相同，求Q坐标．
【分析】（1）利用点O和点O′的坐标特征得到平移的方向与距离，则利用此平移规律得到A′、B′两点的坐标，然后描点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积得到△ABO的面积；
（3）设Q点的坐标为（t，0），利用三角形面积公式得到×|t|×3＝4，然后解方程得到t的值，从而得到Q点的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A′B′O′为所作，A′、B′两点的坐标分别为（3，1），（7，3）；
故答案为：（3，1），（7，3）；
（2）△ABO的面积＝4×3﹣×2×1﹣×2×3﹣×4×2＝4；
（3）设Q点的坐标为（t，0），
∵△AOQ的面积与△ABO相同，
∴×|t|×3＝4，
解得t＝或t＝﹣，
∴Q点的坐标为（﹣，0）或（，0）．
五、解答题三（每小题12分，共24分）
23．（12分）如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b）．且a，b满足，B点在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的线路移动，点P回到O点，则停止移动．
（1）点B的坐标为 （4，6） ．
（2）在移动过程中，当点P到x轴距离等于5时，求此时点P移动的时间；
（3）在移动过程中，是否存在点P，使△POB的面积为10？若存在，求此时点P坐标．若不存在说明理由；
【分析】（1）根据非负数的性质可求出a，b的值，进而可求出点B的坐标；
（2）由题意可以得到符合要求的有两种情况，分别求出两种情况下点P移动的时间即可；
（3）分四种情况由三角形面积求解即可．
【解答】解：（1）∵，
∴a﹣4＝0，b﹣6＝0，
∴a＝4，b＝6，
∴B（4，6）．
故答案为：（4，6）；
（2）第一种情况，当点P在BA上时，
点P移动的时间是：（4+5）÷2＝4.5秒，
第二种情况，当点P在OC上时，
点P移动的时间是：（4+6+4+6﹣5）÷2＝7.5秒，
故在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，点P移动的时间是4.5秒或7.5秒．
（3）设t秒后三角形POB的面积为10．
当点P在OA上，由题意得，
，
解得OP＝，
此时点P的坐标为（，0）；
当点P在AB上，由题意得，
＝10，
解得AP＝1，
∴P（4，1），
当点P在CB上，由题意得，
，
∴PB＝，
∴P（，6）．
当点P在OC上，由题意得，
＝10，
∴OP＝5，
∴P（0，5）．
综上可知，点P的坐标为（，0）或（4，1）或（，6）或 （0，5）．
24．（12分）综合与实践
问题情境：
数学课上，老师让同学以“三角尺与平行线”为主题开展数学活动，如图①已知l1∥l2，直角三角形ABC中，∠B＝90°，将其顶点A放在直线l2上，并使边AB⊥l1于点D，AC与l1相交于点H．老师提出问题：试判断边BC与直线l1的位置关系并说明理由．
（1）请解答老师提出的问题．
操作探究：
（2）如图②，将图①中三角尺ABC的直角顶点B放在平行线之间，两直角边AB，CB分别与l1，l2相交于点P，Q．得到∠1和∠2，试探究∠1与∠2的数量关系并说明理由．
下面是小亮不完整的解答过程，请你补充完整．
解：∠1+∠2＝90°，理由：
过点B作直线BN∥l1，如图④所示．
因为l1∥l2（已知）
所以BN∥l2（ 平行于同一直线的两直线平行 ）
所以∠1＝∠ABN，∠2＝ ∠CBN （ 两直线平行，同位角相等 ）
因为 ∠ABN +∠NBC＝∠ABC，∠ABC＝90°
所以∠1+∠2＝90°
深入探究：
（3）受小亮启发，同学们继续探究下列问题．
在图②中作线段PO和QO，使它们分别平分∠1和∠2的对顶角，如图③所示，求∠POQ的度数．
【分析】（1）根据题意得到∠B＝∠ADH，即可判定BC∥l1；
（2）过点B作直线BN∥l1，根据平行线的判定与性质求解即可；
（3）根据角平分线定义及平行线的性质求解即可．
【解答】解：（1）BC∥l1，理由如下：
∵AB⊥直线l1于点D，
∴∠ADH＝90°，
∵∠B＝90°，
∴∠B＝∠ADH，
∴BC∥l1；
（2）∠1+∠2＝90°，理由如下：过点B作直线BN∥l1，如图5，
∵l1∥l2（已知），
∴BN∥l2（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠1＝∠ABN，∠2＝∠CBN（两直线平行，同位角相等），
∵∠ABN+∠CBN＝∠ABC，∠ABC＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
故答案为：平行于同一直线的两直线平行；∠CBN；两直线平行，同位角相等；∠ABN；
（3）∠POQ＝45°，理由如下：
如图3，过点O作OM∥l1，则OM∥l2，
∴∠NPO＝∠POM，∠HQO＝∠QOM，
∵∠NPB＝∠1，∠HQB＝∠2，∠1+∠2＝90°，
∴∠NPB+∠HQB＝90°，
∵PO和QO分别平分∠NPB和∠HQB，
∴∠NPO＝∠NPB，∠HQO＝∠HQB，
∴∠NPO+∠HQO＝45°，
∴∠POM+∠QON＝45°，
即∠POQ＝45°．