2023-2024学年新疆乌鲁木齐市天山区八一中学七年级（下）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年新疆乌鲁木齐市天山区八一中学七年级（下）期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．2的算术平方根是（ ）
A．B．C．D．4
2．在实数，，﹣3.14，，π中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．已知：如图AB∥CD，CE平分∠ACD，∠A＝110°，则∠ECD等于（ ）
A．110°B．70°C．55°D．35°
4．由，可以得到用x表示y的式子是（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝﹣2D．y＝2﹣
5．如图，下列条件中，能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠4B．∠1＝∠3C．∠5＝∠ADCD．∠2＝∠4
6．已知，，则＝（ ）
A．35.12B．351.2C．111.08D．1110.8
7．有下列四个命题：①一条直线的垂线只有一条；②在同一平面内，从一点到某直线的垂线段叫这点到这条直线的距离；③如果两条直线垂直，那么他们相交成的四个角都相等；④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．其中假命题的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是（ ）
A．60厘米B．80厘米C．100厘米D．120厘米
9．如图，AE∥CF，∠ACF的平分线交AE于点B，G是CF上的一点，∠GBE的平分线交CF于点D，且BD⊥BC，下列结论：①BC平分∠ABG；②AC∥BG；③与∠DBE互余的角有2个；④若∠A＝α，则∠BDF＝180°﹣；其中正确的有（ ）
A．①②B．②③④C．①②④D．①②③④
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
10．比较大小： 6．
11．如图，直线l1∥l2，点C在l1上，点B在l2上，∠ACB＝90°，∠1＝25°，则∠2的度数是 °．
12．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于 °．
13．如图，有一块长32m，宽24m的长方形草坪，其中有两条直道将草坪分为四块，则分成四块草坪的总面积是 ．
14．已知x、y满足方程组，则x﹣y的值为 ．
15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，P为直线AB上一动点，连PC，则线段PC的最小值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共55分）
16．（1）计算：；
（2）已知（x﹣1）2＝4，求x的值．
17．解下列方程组：
（1）；
（2）．
18．已知x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的平方根．
19．根据解答过程填空（理由或数学式）：
已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：∠ACB＝∠4．
证明：∵∠1+∠DFE＝180°（ ），
又∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠2＝∠DFE（ ），
∴AB∥EF（ ），
∴∠3＝∠ ．
∵∠3＝∠B（已知），
∴∠B＝∠ ，
∴DE∥BC（ ），
∴∠ACB＝∠4（ ）．
20．如图，直线AB、CD相交于点O，OF⊥CD，OE平分∠BOD．
（1）若∠AOC＝68°，求∠EOF的度数；
（2）若∠BOE比∠BOF大24°，求∠COE的度数．
21．已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DF∥CA，∠FDE＝∠A；
（1）求证：DE∥BA．
（2）若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度数．
22．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计110万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计115万元．
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划用400万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均要购买，且400万元全部用完），问该公司有哪几种购买方案，请通过计算列举出来；
（3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利0.8万元，销售1辆B型汽车可获利0.5万元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？
23．如图，直线PQ∥MN，一副直角三角板△ABC，△DEF中，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°．
（1）若△DEF按如图1摆放，当ED平分∠PEF时，则∠DFM＝ ；
（2）若△ABC，△DEF按如图2摆放，求∠QDF的度数；
（3）若图2中△DEF固定，（如图3）将△ABC绕点A以每秒5°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，线段AC与直线AN首次重合时停止旋转，当线段BC与△DEF的一条边平行时，请求出旋转时间t的值．
2023-2024学年新疆乌鲁木齐市天山区八一中学七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共9小题，共27分）
1．2的算术平方根是（ ）
A．B．C．D．4
【分析】此题只需根据平方根的定义，取2的平方根的正值即可．
【解答】解：2的算式平方根为．
故选：C．
2．在实数，，﹣3.14，，π中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据无理数的定义即可判断求解．
【解答】解：在实数，，﹣3.14，，π中，无理数有，，π，共3个，
故选：C．
3．已知：如图AB∥CD，CE平分∠ACD，∠A＝110°，则∠ECD等于（ ）
A．110°B．70°C．55°D．35°
【分析】本题主要利用两直线平行，同旁内角互补，再根据角平分线的概念进行做题．
【解答】解：∵AB∥CD，
根据两直线平行，同旁内角互补．得：
∴∠ACD＝180°﹣∠A＝70°．
再根据角平分线的定义，得：∠ECD＝∠ACD＝35°．
故选：D．
4．由，可以得到用x表示y的式子是（ ）
A．y＝B．y＝C．y＝﹣2D．y＝2﹣
【分析】只需把含有y的项移到方程的左边，其它的项移到另一边，然后合并同类项、系数化为1就可用含x的式子表示y．
【解答】解：移项，得＝﹣1，
系数化为1，得y＝﹣2．
故选：C．
5．如图，下列条件中，能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠4B．∠1＝∠3C．∠5＝∠ADCD．∠2＝∠4
【分析】根据平行线的判定定理即可作出判断．
【解答】解：A．∠1＝∠4，不能判定AB∥CD，故该选项不正确，不符合题意；
B．∵∠1＝∠3，∴AB∥CD，故该选项正确，符合题意；
C．∵∠5＝∠ADC，∴AD∥BC，故该选项不正确，不符合题意；
D．∠2＝∠4，∴AD∥BC，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
6．已知，，则＝（ ）
A．35.12B．351.2C．111.08D．1110.8
【分析】根据计算得出结论即可．
【解答】解：∵，
∴，
故选：A．
7．有下列四个命题：①一条直线的垂线只有一条；②在同一平面内，从一点到某直线的垂线段叫这点到这条直线的距离；③如果两条直线垂直，那么他们相交成的四个角都相等；④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．其中假命题的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据垂线的性质、点到直线距离、垂直的定义、平行线的判定逐项判断即可求解．
【解答】解：①一条直线的垂线有无数条，故①是假命题；
②在同一平面内，从一点到某直线的垂线段的长度叫这点到这条直线的距离，故②是假命题；
③如果两条直线垂直，那么他们相交成的四个角都相等，故③是真命题；
④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故④是真命题；
∴假命题有①②，一共2个，
故选：B．
8．如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是（ ）
A．60厘米B．80厘米C．100厘米D．120厘米
【分析】设小长方形纸片的长为x厘米，宽为y厘米，由大长方形的宽为60厘米，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设小长方形纸片的长为x厘米，宽为y厘米，
根据题意得：，
解得：，
则每个小长方形的周长＝2（x+y）＝120（厘米），
故选：D．
9．如图，AE∥CF，∠ACF的平分线交AE于点B，G是CF上的一点，∠GBE的平分线交CF于点D，且BD⊥BC，下列结论：①BC平分∠ABG；②AC∥BG；③与∠DBE互余的角有2个；④若∠A＝α，则∠BDF＝180°﹣；其中正确的有（ ）
A．①②B．②③④C．①②④D．①②③④
【分析】根据平行线的性质得出∠A和∠ACB的关系，再根据角平分线的性质找出图中相等的角，由等角的余角相等即可得出结论．
【解答】解：∵BD⊥BC，
∴∠CBD＝90°，
∴∠ABC+∠EBD＝90°，
∵∠GBE的平分线交CF于点D，
∴∠DBG＝∠EBD，
∴∠ABC＝∠CBG，
∴BC平分∠ABG，
∴①正确，
∵AE∥CF，
∴∠GBC＝∠ABC＝∠ACB，
∴AC∥BG，
∴②正确，
∵∠DBE＝∠DBG，
∴与∠DBE互余的角有∠ABC，∠GBC，∠ACB，∠GCB，有4个，
∴③错误，
∵∠BDF＝180°﹣∠BDG，∠BDG＝90°﹣∠CBG＝90°﹣∠ACB，
又∵∠ACB＝×（180°﹣α）＝90°﹣，
∴∠BDF＝180°﹣[90°﹣（90°﹣）]＝180°﹣，
∴④正确，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
10．比较大小： ＜ 6．
【分析】先运用二次根式的性质把根号外的移到根号内，然后只需根据条件分析被开方数即可．
【解答】解：∵6＝，
∴＜，
即＜6．
故答案为：＜．
11．如图，直线l1∥l2，点C在l1上，点B在l2上，∠ACB＝90°，∠1＝25°，则∠2的度数是 65 °．
【分析】由∠ACB＝90°可得∠3＝65°，进而由平行线的性质可得∠2＝∠3＝65°，即可求解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝90°﹣25°＝65°，
∵l1∥l2，
∴∠2＝∠3＝65°，
故答案为：65．
12．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于 50 °．
【分析】先根据平行线的性质得出∠DEF的度数，再根据翻折变换的性质得出∠D′EF的度数，根据平角的定义即可得出结论．
【解答】解：∵AD∥BC，∠EFB＝65°，
∴∠DEF＝65°，
又∵∠DEF＝∠D′EF＝65°，
∴∠D′EF＝65°，
∴∠AED′＝180°﹣65°﹣65°＝50°．
故答案为：50．
13．如图，有一块长32m，宽24m的长方形草坪，其中有两条直道将草坪分为四块，则分成四块草坪的总面积是 660m2 ．
【分析】草坪的面积等于矩形的面积﹣两条路的面积+两条路重合部分的面积，由此计算即可．
【解答】解：S＝32×24﹣2×24﹣2×32+2×2＝660．
故答案为：660m2．
14．已知x、y满足方程组，则x﹣y的值为 1 ．
【分析】一般解法是求得方程组的解，把x，y的值代入到代数式求值，但观察方程组未知数的系数特点，把两方程分别看作整体，直接相减，即可求得x﹣y的值．
【解答】解：在方程组中，
①﹣②得：x﹣y＝1．
故答案为：1．
15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，P为直线AB上一动点，连PC，则线段PC的最小值是 ．
【分析】当PC⊥AB时，PC的值最小，利用面积法求解即可；
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∵当PC⊥AB时，PC的值最小，
此时：•AB•PC＝•AC•BC，
∴PC＝，
故答案为．
三、解答题（本大题共8小题，共55分）
16．（1）计算：；
（2）已知（x﹣1）2＝4，求x的值．
【分析】（1）利用算术平方根、立方根的定义，绝对值的性质分别运算，再合并即可求解；
（2）利用平方根的定义解答即可求解．
【解答】解：（1）原式＝，
＝；
（2）∵（x﹣1）2＝4，
∴x﹣1＝±2，
即x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，
∴x1＝3，x2＝﹣1．
17．解下列方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用加减消元法解答即可求解；
（2）先化简方程组，再利用加减消元法解答即可求解．
【解答】解：（1），
①×4+②得，11x＝22，
∴x＝2，
把x＝2代入①得，4﹣y＝5，
∴y＝﹣1，
∴方程组的解为；
（2）方程组整理得，，
①+②×2得，15y＝11，
∴，
把代入①得，，
∴，
∴方程组的解为．
18．已知x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的平方根．
【分析】根据平方根、立方根的定义求出x、y即可解决问题．
【解答】解：∵x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，
∴x﹣2＝4，2x+y+7＝27，
∴x＝6，y＝8，
∴x2+y2＝100，
∴100的平方根为±10．
19．根据解答过程填空（理由或数学式）：
已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：∠ACB＝∠4．
证明：∵∠1+∠DFE＝180°（ 邻补角定义 ），
又∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠2＝∠DFE（ 同角的补角相等 ），
∴AB∥EF（ 内错角相等，两直线平行 ），
∴∠3＝∠ ADE ．
∵∠3＝∠B（已知），
∴∠B＝∠ ADE ，
∴DE∥BC（ 同位角相等，两直线平行 ），
∴∠ACB＝∠4（ 两直线平行，同位角相等 ）．
【分析】根据平行线的判定和性质定理证明即可．
【解答】证明：∵∠1+∠DFE＝180°（邻补角定义），
又∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠2＝∠DFE （同角的补角相等），
∴AB∥EF （内错角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠ADE （两直线平行，内错角相等），
又∵∠3＝∠B（已知），
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC （同位角相等，两直线平行），
∴∠ACB＝∠4 （两直线平行，同位角相等），
故答案为：邻补角定义；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；ADE；ADE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
20．如图，直线AB、CD相交于点O，OF⊥CD，OE平分∠BOD．
（1）若∠AOC＝68°，求∠EOF的度数；
（2）若∠BOE比∠BOF大24°，求∠COE的度数．
【分析】（1）根据对顶角相等可得：∠AOC＝∠BOD＝68°，再利用角平分线的定义可得∠DOE＝34°，然后根据垂直定义可得∠COF＝∠DOE＝90°，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答；
（2）设∠BOF＝x°，则∠BOE＝（x+24）°，然后利用角平分线的定义可得∠BOE＝∠DOE＝（x+24）°，从而列出关于x的方程进行计算，可得∠DOE＝38°，最后利用平角定义进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝68°，
∴∠AOC＝∠BOD＝68°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE＝∠BOD＝34°，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝∠DOE＝90°，
∴∠EOF＝∠DOF﹣∠DOE＝56°，
∴∠EOF的度数为56°；
（2）设∠BOF＝x°，
∵∠BOE比∠BOF大24°，
∴∠BOE＝（x+24）°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠DOE＝（x+24）°，
∵∠DOF＝90°，
∴∠DOE+∠BOE+∠BOF＝90°，
∴（x+24）+（x+24）+x＝90，
解得：x＝14，
∴∠DOE＝（x+24）°＝38°，
∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝142°，
∴∠COE的度数为142°．
21．已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DF∥CA，∠FDE＝∠A；
（1）求证：DE∥BA．
（2）若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质与判定方法证明即可；
（2）设∠EDC＝x°，由∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC可得∠BFD＝∠BDF＝2x°，根据平行线的性质可得∠DFB＝∠FDE＝2x°，再根据平角的定义列方程可得x的值，进而得出∠B的度数．
【解答】解：（1）证明：∵DF∥CA，
∴∠DFB＝∠A，
又∵∠FDE＝∠A，
∴∠DFB＝∠FDE，
∴DE∥AB；
（2）设∠EDC＝x°，
∵∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，
∴∠BFD＝∠BDF＝2x°，
由（1）可知DE∥BA，
∴∠DFB＝∠FDE＝2x°，
∴∠BDF+∠EDF+∠EDC＝2x°+2x°+x°＝180°，
∴x＝36，
又∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝36°．
22．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计110万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计115万元．
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划用400万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均要购买，且400万元全部用完），问该公司有哪几种购买方案，请通过计算列举出来；
（3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利0.8万元，销售1辆B型汽车可获利0.5万元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？
【分析】（1）列二元一次方程组并求解即可；
（2）分别用字母表示两种汽车型号的数量，将一种型号汽车的数量用另一种型号的汽车数量表示出来，当它们均为正整数时确定其数值，从而得到购买方案；
（3）分别计算每种方案的利润并进行比较大小即可．
【解答】解：（1）设A、B两种型号的汽车进价分别为x万元、y万元．
根据题意，得，解得．
答：A、B两种型号的汽车进价分别为25万元、20万元．
（2）设A、B两种型号的汽车分别购进a辆和b辆．
根据题意，得25a+20b＝400，即．
∵两种型号的汽车均购买，且a、b均为正整数，
∴ 或 或 ，
∴共有以下3种购买方案：
方案1：A型号的汽车购进4辆，B型号的汽车购进15辆；
方案2：A型号的汽车购进8辆，B型号的汽车购进10辆；
方案3：A型号的汽车购进12辆，B型号的汽车购进5辆．
（3）方案1可获利：0.8×4+0.5×15＝10.7（万元）；
方案2可获利：0.8×8+0.5×10＝11.4（万元）；
方案3可获利：0.8×12+0.5×5＝12.1（万元）；
∵10.7＜11.4＜12.1，
∴方案3获利最大，最大利润是12.1万元．
23．如图，直线PQ∥MN，一副直角三角板△ABC，△DEF中，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°．
（1）若△DEF按如图1摆放，当ED平分∠PEF时，则∠DFM＝ 30° ；
（2）若△ABC，△DEF按如图2摆放，求∠QDF的度数；
（3）若图2中△DEF固定，（如图3）将△ABC绕点A以每秒5°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，线段AC与直线AN首次重合时停止旋转，当线段BC与△DEF的一条边平行时，请求出旋转时间t的值．
【分析】（1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；
（2）如图2，过点E作EK∥MN，利用平行线性质即可求得答案；
（3）设旋转时间为t秒，分三种情况：①当BC∥DE时，②当BC∥EF时，③当BC∥DF时，分别求出旋转角度后，列方程求解即可．
【解答】解：（1）在△DEF中，∠EDF＝90°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°，
∵ED平分∠PEF，
∴∠PEF＝2∠PED＝2∠DEF＝2×60°＝120°，
∵PQ∥MN，
∴∠MFE＝180°﹣∠PEF＝180°﹣120°＝60°，
∴∠MFD＝∠MFE﹣∠DFE＝60°﹣30°＝30°，
故答案为：30°；
（2）解：如图2，过点E作EK∥MN，
∵∠BAC＝45°，
∴∠KEA＝∠BAC＝45°，
∵PQ∥MN，EK∥MN，
∴PQ∥EK，
∴∠PDE＝∠DEK＝∠DEF﹣∠KEA，
又∵∠DEF＝60°，
∴∠PDF＝60°﹣45°＝15°，
∴∠QDF＝180°﹣15°﹣90°＝75°；
（3）解：设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为每秒转5°，分三种情况：
①当BC∥DE时，如图，此时AC∥DF，
∴∠CAE＝∠DFE＝30°，
∴5t＝30，
解得t＝6；
②当BC∥EF时，如图，
∴∠BAE＝∠B＝45°，
∴∠BAM＝∠BAE+∠EAM＝45°+45°＝90°，
∴5t＝90，
解得t＝18；
③当BC∥DF时，如图，延长BC交MN于K，延长DF交MN于R，
∵∠DRM＝∠EAM+∠DFE＝45°+30°＝75°，
∴∠BKA＝∠DRM＝75°，
∵∠ACK＝180°﹣∠ACB＝90°，
∴∠CAK＝90°﹣∠BKA＝15°，
∴∠CAE＝180°﹣∠EAM﹣∠CAK＝180°﹣45°﹣15°＝120°，
∴5t＝120，
解得t＝24，
综上所述，△ABC绕点A顺时针旋转的时间为6s或18s或24s时，线段BC与△DEF的一条边平行．