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重庆市普通高等学校招生全国统一考试2024年高三第一次联合诊断检测数学试卷（重庆一诊）
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这是一份重庆市普通高等学校招生全国统一考试2024年高三第一次联合诊断检测数学试卷（重庆一诊），共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷的注释
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。(共8题；共40分)
1. 已知集合 ， ， 则（ ）
A . B . C . D .
2. 已知复数 ， 若 ， 则（ ）
A . B . C . D .
3. 对一个样本进行统计后得到频率分布直方图如图所示，并由此估计总体集中趋势，则 ， 可以分别大致反映这组数据的（ ）
A . 平均数，中位数 B . 平均数，众数 C . 中位数，平均数 D . 中位数，众数
4. 若 ， 则
A . B . C . D .
5. 在经济学中，常用回归模型来分析还款信度评价问题．某银行统计得到如下模型： ， 其中是客户年收入单位：万元 ， 是按时还款概率的预测值．如果某人年收入是万元，那么他按时还款概率的预测值大约为参考数据：
A . B . C . D .
6. 已知是奇函数，则在点处的切线方程为（ ）
A . B . C . D .
7. 将一副三角板拼接成平面四边形如图 ， ， 将其沿折起，使得面面 ， 若三棱锥的顶点都在球的球面上，则球的表面积为
A . B . C . D .
8. 已知函数满足 ， 且当时， ， 若存在 ， 使得 ， 则的取值范围是（ ）
A . B . C . D .
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。(共4题；共20分)
9. 下列函数中，其图象关于点对称的是（ ）
A . B . C . D .
10. 已知椭圆：和： ， 则（ ）
A . 与的长轴长相等 B . 的长轴长与的短轴长相等
C . 与的离心率相等 D . 与有个公共点
11. 已知三棱柱 ， ， ， 分别是棱 ， ， 的中点，记三棱柱的体积为 ， 则（ ）
A . 棱锥的体积为 B . 棱锥的体积为
C . 多面体的体积为 D . 多面体的体积为
12. 若不相等的两个正数 ， 满足 ， 则（ ）
A . B . C . D .
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。(共4题；共20分)
13. 一个袋子中有个大小相同的球，其中有编号为 ， 的黑球和编号为 ， ， 的白球，从中随机取出两个球，在取出的球颜色不同的条件下，球的编号之和为奇数的概率为．
14. 若向量 ， 满足 ， ， 若与的夹角为锐角，则的取值范围是．
15. 记数列的前项和为 ， 若 ， 且 ， 则．
16. 已知 ， 分别是双曲线：的左、右焦点，过作一直线交于 ， 两点，若 ， 且的周长为 ， 则的焦距为．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。(共6题；共72分)
17. 已知数列是等差数列，且 ， ．
（1） 求的通项公式；
（2） 表示不超过的最大整数，如 ， 若 ， 是数列的前项和，求
18. 年月日是中国传统的“腊八节”，“腊八”是中国农历十二月初八即腊月初八这一天．腊八节起源于古代祭祀祖先和神灵的仪式，后逐渐成为民间节日，盛行于中国北方．为调查不同年龄人群对“腊八节”民俗文化的了解情况，某机构抽样调查了某市的部分人群．
（1） 在名受调人群中，得到如下数据：
根据小概率值的独立性检验，分析受调群体中对“腊八节”民俗的了解程度是否存在年龄差异；
（2） 调查问卷共设置个题目，选择题、填空题各个．受调者只需回答个题：其中选择题必须全部回答，填空题随机抽取个进行问答．某位受调者选择题每题答对的概率为 ， 知道其中个填空题的答案，但不知道另外个的答案．求该受调者答对题目数量的期望．
参考公式： ．
独立性检验常用小概率值和相应临界值：
随机变量 ， 的期望满足：
19. 在中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 已知的面积 ．
（1） 求；
（2） 若 ， ， 求 ．
20. 如图，四棱锥中，底面为平行四边形， ， ， ， ．
（1） 证明：；
（2） 若 ， ， 求二面角的余弦值．
21. 已知 ， ， 是抛物线：上的三点，且直线与直线的斜率之和为 ．
（1） 求直线的斜率；
（2） 若直线 ， 均与圆：相切，且直线被圆截得的线段长为 ， 求的值．
22. 已知函数为自然对数的底数
（1） 当时，证明存在唯一的极小值点 ， 且；
（2） 若函数存在两个零点，记较小的零点为 ， 是关于的方程的根，证明： ．
难度系数：0.61
第Ⅰ卷 客观题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 10 11 12
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13 14 15 16
第Ⅱ卷 主观题
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17 18 19 20 21 22
年龄
了解程度
不了解
了解
岁以下
岁以上
第Ⅰ卷的注释
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。(共8题；共40分)
1. 已知集合 ， ， 则（ ）
A . B . C . D .
2. 已知复数 ， 若 ， 则（ ）
A . B . C . D .
3. 对一个样本进行统计后得到频率分布直方图如图所示，并由此估计总体集中趋势，则 ， 可以分别大致反映这组数据的（ ）
A . 平均数，中位数 B . 平均数，众数 C . 中位数，平均数 D . 中位数，众数
4. 若 ， 则
A . B . C . D .
5. 在经济学中，常用回归模型来分析还款信度评价问题．某银行统计得到如下模型： ， 其中是客户年收入单位：万元 ， 是按时还款概率的预测值．如果某人年收入是万元，那么他按时还款概率的预测值大约为参考数据：
A . B . C . D .
6. 已知是奇函数，则在点处的切线方程为（ ）
A . B . C . D .
7. 将一副三角板拼接成平面四边形如图 ， ， 将其沿折起，使得面面 ， 若三棱锥的顶点都在球的球面上，则球的表面积为
A . B . C . D .
8. 已知函数满足 ， 且当时， ， 若存在 ， 使得 ， 则的取值范围是（ ）
A . B . C . D .
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。(共4题；共20分)
9. 下列函数中，其图象关于点对称的是（ ）
A . B . C . D .
10. 已知椭圆：和： ， 则（ ）
A . 与的长轴长相等 B . 的长轴长与的短轴长相等
C . 与的离心率相等 D . 与有个公共点
11. 已知三棱柱 ， ， ， 分别是棱 ， ， 的中点，记三棱柱的体积为 ， 则（ ）
A . 棱锥的体积为 B . 棱锥的体积为
C . 多面体的体积为 D . 多面体的体积为
12. 若不相等的两个正数 ， 满足 ， 则（ ）
A . B . C . D .
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。(共4题；共20分)
13. 一个袋子中有个大小相同的球，其中有编号为 ， 的黑球和编号为 ， ， 的白球，从中随机取出两个球，在取出的球颜色不同的条件下，球的编号之和为奇数的概率为．
14. 若向量 ， 满足 ， ， 若与的夹角为锐角，则的取值范围是．
15. 记数列的前项和为 ， 若 ， 且 ， 则．
16. 已知 ， 分别是双曲线：的左、右焦点，过作一直线交于 ， 两点，若 ， 且的周长为 ， 则的焦距为．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。(共6题；共72分)
17. 已知数列是等差数列，且 ， ．
（1） 求的通项公式；
（2） 表示不超过的最大整数，如 ， 若 ， 是数列的前项和，求
18. 年月日是中国传统的“腊八节”，“腊八”是中国农历十二月初八即腊月初八这一天．腊八节起源于古代祭祀祖先和神灵的仪式，后逐渐成为民间节日，盛行于中国北方．为调查不同年龄人群对“腊八节”民俗文化的了解情况，某机构抽样调查了某市的部分人群．
（1） 在名受调人群中，得到如下数据：
根据小概率值的独立性检验，分析受调群体中对“腊八节”民俗的了解程度是否存在年龄差异；
（2） 调查问卷共设置个题目，选择题、填空题各个．受调者只需回答个题：其中选择题必须全部回答，填空题随机抽取个进行问答．某位受调者选择题每题答对的概率为 ， 知道其中个填空题的答案，但不知道另外个的答案．求该受调者答对题目数量的期望．
参考公式： ．
独立性检验常用小概率值和相应临界值：
随机变量 ， 的期望满足：
19. 在中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 已知的面积 ．
（1） 求；
（2） 若 ， ， 求 ．
20. 如图，四棱锥中，底面为平行四边形， ， ， ， ．
（1） 证明：；
（2） 若 ， ， 求二面角的余弦值．
21. 已知 ， ， 是抛物线：上的三点，且直线与直线的斜率之和为 ．
（1） 求直线的斜率；
（2） 若直线 ， 均与圆：相切，且直线被圆截得的线段长为 ， 求的值．
22. 已知函数为自然对数的底数
（1） 当时，证明存在唯一的极小值点 ， 且；
（2） 若函数存在两个零点，记较小的零点为 ， 是关于的方程的根，证明： ．
难度系数：0.61
第Ⅰ卷 客观题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 10 11 12
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13 14 15 16
第Ⅱ卷 主观题
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17 18 19 20 21 22
年龄
了解程度
不了解
了解
岁以下
岁以上
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