2024年江苏省宿迁市沭阳县怀文中学中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置）
1. ﹣3的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．
【详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3，
故选D．
【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简，进而得出答案．
【详解】解：A．，故此选项符合题意；
B．，故此选项不合题意；
C．，故此选项不合题意；
D．，故此选项不合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3. 菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届获奖者获奖时的年龄（单位：岁）分别为：36，39，35，38，则这组数据的中位数是（ ）
A. 35B. 36C. 37D. 39
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了确定一组数据的中位数的能力，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据数据的个数来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两个数的平均数．把所给数据按照由小到大的顺序排序，再求出中间两个数的平均数即可．
【详解】把已知数据按照由小到大的顺序重新排序后为35，36，38，39
∴中位数：
故选：C．
4. 华为最新款手机芯片“麒麟990”是一种微型处理器，每秒可进行10000000000次运算，它工作2024秒可进行的运算次数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选C．
5. 如图，在等边中，是边上的中线，延长至点E，使，若，则（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，先由等边三角形的性质得到，再由等边对等角和三角形外角的性质得到，则，即可得到．
【详解】解：∵在等边中，是边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
6. 整数a满足，则a的值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握夹逼法是解题的关键．根据夹逼法估算无理数的大小即可求出的值．
【详解】解：∵，
∴，
故选：B．
7. 如图所示，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要查了解直角三角形，勾股定理的逆定理．取格点D，连接，根据勾股定理的逆定理可证得，即可求解．
【详解】解：如图，取格点D，连接，

根据题意得：，，，
∴，
∴，
∴．
故选：D
8. 如图，已知点，，若将线段平移至，其中点，，则的值为（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查坐标与图象变化，根据，两点的坐标可得出平移的方向和距离，求出a和的值，整体代入进而解决问题．
【详解】解：∵线段由线段平移得到，
且，，，，
∴平移方式为：先向左平移3个单位，再向上平移1个单位，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 若有意义，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义条件，以及解一元一次不等式，根据二次根式有意义，即被开方数非负，建立不等式求解，即可解题．
【详解】解：有意义，
，
解得，
故答案为：．
10. 因式分解：________.
【答案】
【解析】
【分析】利用提取公因式法，分解因式，即可.
【详解】
【点睛】本题主要考查提取公因式法因式分解，准确找到各项的公因式，是解题的关键；注意，因式分解时，要分解到不能分解为止.
11. 若正n边形的一个外角是，则_____.
【答案】10
【解析】
【分析】主要考查了多边形的外角和定理，利用多边形的外角和即可解决问题．
【详解】解：因为正多边形的每一个外角都相等，
所以．
故答案为：10．
12. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此可得，解之即可．
【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为：2．
13. 若一个圆锥侧面展开图的半径为14cm，圆心角为，则该圆锥的底面半径长为________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查扇形的弧长公式，根据圆锥底面圆的周长等于侧面扇形的弧长列方程求解即可．
【详解】解：设圆锥的底面半径长为rcm，
∵圆锥底面圆的周长等于侧面扇形的弧长，
∴
解得
故答案为．
14. 不等式组的所有整数解的和为________．
【答案】5
【解析】
【分析】此题主要考查解一元一次不等式组．先分别求出两个一元一次不等式的解集，然后找出两个解集的公共部分所有整数求和即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：
不等式组的整数解是：2，3，
∴不等式组的整数解的和为：，
故答案为：5．
15. 如图在正方形的外侧作一个，已知，，那么等于____．
【答案】##25度
【解析】
【分析】先根据“等边对等角”得，由此得，由正方形的性质可得，，由此得，，进而可得．
本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、正方形的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】∵中，，，
，
，
又∵四边形是正方形，
，，
，且，
，
故答案为：．
16. 已知m，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为________．
【答案】2025
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义，将m代入方程可得，原式变形为，再利用一元二次方程的根与系数的关系求出的值即可．
【详解】解：m，是一元二次方程的两个实数根，
， ，
，
，
故答案为：2025．
17. 数学实验课上，小明同学用自制“密度计”测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，，当密度计悬浮在另一种液体中时，，则该液体的密度________．
【答案】##
【解析】
【分析】此题考查了反比例函数的应用．由题意可得，设，把，代入解析式，求得h关于的函数解析式；把代入（1）中的解析式，求解即可．
【详解】解：设h关于的函数解析式为，
把，代入解析式，得．
∴h关于的函数解析式为．
把代入，得．
解得：．
答：该液体的密度为．
故答案为：．
18. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C在第一象限内，直线与以为直径的圆相交于点B，连接，如果，则的最小值为________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了一点到圆上一点距离的最值问题，相似三角形的性质与判定，勾股定理，坐标与图形，直径所对的圆周角是直径等等，如图所示，过点C作且，连接，可证明，得到，进而得到，再证明，则点E在y轴上，即可得到点C在以为直径的圆上运动，取，连接，则当点C在上时，有最小值，据此求解即可．
【详解】解；如图所示，过点C作且，连接，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∵点A的坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点E在y轴上，
∵，
∴点C在以为直径的圆上运动，
取，连接，则当点C在上时，有最小值，
由勾股定理得，
∴最小值为，
故答案：．
三、解答题（共10小题，共96分，解答时应写出必要的步骤、过程或文字说明．）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查锐角三角函数的计算，解题的关键是掌握，，进行计算，即可．
【详解】，
，
．
20. 先化简，再求值：其中
【答案】，
【解析】
【分析】先去括号，再把除法统一为乘法把分式化简，再把数代入．
【详解】解：原式
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的混合运算，通分、分解因式、约分是关键．
21. 如图，在中，平分线交于点E，，．
（1）求的长．
（2）若，连接，求的长．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，等角对等边等知识：
（1）由平行四边形的性质得到，，再由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，则；
（2）过点C作于F，由平行四边形的性质得到，，再求出，得到，则E、F重合，即可得到．
【小问1详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵的平分线交于点E，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图所示，过点C作于F，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴E、F重合，
∴．
22. 某校为了了解家长和学生观看安全教育视频的情况，随机抽取本校部分学生作调查，把收集的数据按照A，B，C，D四类（A表示仅学生参与；B表示家长和学生一起参与；C表示仅家长参与；D表示其他）进行统计，得到每一类的学生人数，并把统计结果绘制成如图所示的未完成的条形统计图和扇形统计图．

（1）在这次抽样调查中，共调查了多少名学生？
（2）补全条形统计图．
（3）已知该校共有1000名学生，估计B类的学生人数．
【答案】（1）200名
（2）见解析 （3）600名
【解析】
【分析】（1）由A类别人数及其所占百分比可得总人数；
（2）先求出B类学生人数为：(名)，再补画长形图即可；
（3）用该校学生总数1000乘以B类的学生所占百分比即可求解．
【小问1详解】
解：(名)，
答：这次抽样调查中，共调查了200名学生；
【小问2详解】
解：B类学生人数为：(名)，
补全条形统计图如图所示：
小问3详解】
解：(名)，
答：估计B类的学生人数600名．
【点睛】本题考查样本容量，条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，从条形统计图与扇形统计图获取到有用信息是解题的关键．
23. 化学实验课上，张老师带来了（镁、（铝、（锌、（铜四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：、、可以置换出氢气，而不能置换出氢气）
（1）小明从四种金属中随机选一种，则选到的概率为 ；
（2）小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属分别进行实验，求二人所选金属均能置换出氢气的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及二人所选金属均能置换出氢气的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
解：由题意得，选到的概率为．
故答案为：．
【小问2详解】
列表如下：
共有16种等可能的结果，其中二人所选金属均能置换出氢气的结果有：，，，，，，，，，共9种，
二人所选金属均能置换出氢气的概率为．
24. 如图，是的弦，经过圆心交于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查圆的基本性质，切线定理，勾股定理的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，切线定理，勾股定理的应用，即可．
（1）连接，根据，求出，根据，则，即可；
（2）根据，则，再根据，，求出，；根据勾股定理求出，根据三角形的外角，则，阴影部分的面积等于的面积减去扇形的面积，即可．
【小问1详解】
连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线．
【小问2详解】
∵是的切线，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为：．
25. 从2024年1月1日起，国务院、中央军事委员会颁布的《无人驾驶航空器飞行管理暂行条例》正式实施，非经营性活动的微型无人机适飞空域高度不超过50米．如图，在水平地面上选择观测点A和B，无人机悬停在C处，此时在A处测得C的仰角为37°；无人机垂直上升10m悬停在D处，此时在B处测得D的仰角为．，点A，B，C，D在同一平面内，A，B两点在的同侧．请你判断此次无人机起飞是否在允许的范围内．（参考数据：，，，，，．）
【答案】在允许的范围内
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长交的延长线于点E，根据题意可得：，然后设，则，在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
【详解】解：延长交的延长线于点E，
由题意得，，
设，
，
在中，，


在中，，

解得 ，
经检验，是原方程的解
，
∴此次无人机起飞在允许的范围内．
26. 定义：对于平面内的两点、，若点是点绕点旋转度所得到的点，则称点是点关于点的旋转点；是旋转角，若旋转角小于，则称点是点关于点的锐角旋转点．如图1，点是点关于点的旋转点．
（1）已知点，点，在点，，中，是点关于点锐角旋转点的是________．
（2）已知点，点在直线上，若点是点关于点的锐角旋转点，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查角旋转点的定义，圆的知识，解题的关键是学会找特殊点，特殊位置解决问题．
（1）根据锐角旋转点的定义，进行解答，即可；
（2）以原点为圆心，为半径，作，交正半轴于点，当经过点时，；求出的值；当经过点时，则，则点；当时，绕点逆时针旋转锐角时，点一定落在某条直线上，
当与相切且切点在第四象限时，连接，此时时，有最小值，根据勾股定理，求出，再根据等面积法，即可．
【小问1详解】
∵点，点，
∴，
∵点，，，
∴，，，
∴，
如图：，
∴是点关于点的锐角旋转点．
故答案为：．
【小问2详解】
以原点为圆心，为半径，作，交正半轴于点，
∵点，
∴，
当经过点时，；
∴，
当经过点时，则
∴点；
当时，绕点逆时针旋转锐角时，点一定落在某条直线上，
当与相切且切点在第四象限时，连接，此时时，有最小值，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴实数的取值范围为：．
27. 如图1，在中，为锐角，，以为直径的交边于点，连接．
（1）若，则________．
（2）若，求的值；
（3）如图2，过点作，请仅用无刻度的直尺在射线上作点，使得与相切（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查圆，锐角三角形函数，等腰三角形，一元二次方程等知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，锐角三角形函数的运用，等腰三角形的性质，一元二次方程的运用，即可．
（1）根据等腰三角形的性质，求出，再根据直径所对的圆周角是直角，三角形的内角和，求出，即可；
（2）根据勾股定理，则，，根据，，得到关系式，设，求得的值，即可；
（3）延长，作直线的垂直平分线，与的交点，即为点，即，即可．
【小问1详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【小问2详解】
∵是的直径，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
设，
∴，
解得：，（舍去），
∴．
【小问3详解】
延长，作直线的垂直平分线，与的交点，即为点，图形如下：
28. 在平面直角坐标系中，A、B两点在抛物线图象上，抛物线的对称轴为．
（1）________；
（2）若A、B两点都在直线上，且，求k；
（3）若抛物线的顶点D的纵坐标为9，线段AB与对称轴相交于点，如果，求的面积．
【答案】（1）2 （2）或1
（3）的面积为
【解析】
【分析】（1）根据对称轴的，即可求解，
（2）由A、B两点为直线与抛物线的交点，得到，即：，根据根与系数关系，得到，，由两点间距离公式得到，即：，代入，即可求解，
（3）将抛物线化为顶点式，由顶点D的纵坐标为9，可得， ，，，设直线解析式为：，与抛物线解析式联立，可得，由根与系数关系得到，，消去得到：，由，，得到，代入，即可求出或，求出，，代入即可求解，
本题考查了，对称轴，根与系数关系，两点间距离公式，二次函数综合，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．
【小问1详解】
解：抛物线的对称轴为：，
故答案为：2，
【小问2详解】
解：∵A、B两点都在直线上，在抛物线图象上，
∴，整理得：，
∴，，，，
∵，
∴，
∴整理得：，
∴，
∴，解得：或，
故答案为：或1，
【小问3详解】
解：∵，顶点D的纵坐标为9，
∴，解得：，
∴，，
∵抛物线的对称轴为：直线，线段与对称轴相交于点，
∴，，
设直线解析式为：，
∴，整理得：，
∴，整理得：，，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，整理得：，
代入，得，整理得：，
解得：或，
当时，，，
当时， ，，
∵，，
∴，
故答案为： 的面积为．