黑龙江省绥化市望奎县2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

这是一份黑龙江省绥化市望奎县2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版），文件包含黑龙江省绥化市望奎县2023-2024学年九年级下学期期中数学试题原卷版docx、黑龙江省绥化市望奎县2023-2024学年九年级下学期期中数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共42页， 欢迎下载使用。
考生注意：
1．考试时间120分钟
2．全卷共三道大题，总分120分
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）
1. 各学科的图形都蕴含着对称美，下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形的是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，据此作答即可．
【详解】解：A．该图形轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
2. 2023年10月，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本次高峰论坛达成合作远超上届，预计未来5年，中国货物贸易进出口额有望累计超过32万亿美元，其中32万亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是科学记数法，解题的关键是熟练掌握“科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，是正数；当原数的绝对值小于1时，是负数”据此解答即可．
【详解】解：32万亿用科学记数法表示为，
故选：D．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查单项式乘以单项式，积的乘方与幂的乘方，零指数幂和负整数指数幂，运用相关运算法则进行计算即可判断出正确结果．
【详解】解：A. ，故选项A计算错误，不符合题意；
B. ，故选项B计算错误，不符合题意；
C. ，计算正确，故C符合题意；
D. ，故选项D计算错误，不符合题意；
故选：C．
4. 鲁班锁，民间也称作孔明锁、八卦锁，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构.下图是鲁班锁的其中一个部件，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】它的主视图是：．
故选C．
【点睛】此题主要考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
5. 用※定义一种新运算：对于任意实数和，规定※．
如：1※．则※的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据定义的新运算，进行计算即可解答；本题考查了二次根式的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．
【详解】解：由题意得：
※
；
故选：A．
6. 小明同学学习时善于自己动手操作，以加深对知识理解和掌握．在学习了相交线与平行线的知识后，他又探索起来：将直角三角板按如图方式放置在直尺上，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，过点E作，然后利用平行线的性质进行计算，即可解答．
【详解】解：如图：过点E作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
7. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
B. 三个角对应相等的两个三角形是全等三角形
C. 三角形三条角平分线的交点叫做三角形的重心
D. 等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查命题与定理，根据三角形的基本性质，全等三角形的判定，轴对称图形的定义一一判断即可．
【详解】解：A、到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，说法正确，本选项符合题意；
B、三个角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，本选项不符合题意；
C、三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心，原说法错误，本选项不符合题意；
D、等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线，原说法错误，本选项不符合题意；
故选：A．
8. 运算能力是一项重要的数学能力，王老师为帮助学生诊断和改进运算中的问题，对全班学生进行了三次运算测试．下面的气泡图中，描述了其中5位同学的测试成绩，(气泡圆的圆心横，纵坐标分别表示第一次和第二次测试成绩，气泡的大小表示三次成绩的平均分的高低；气泡越大平均分越高)；以下说法中：
①甲同学的第一次测试成绩高于乙同学的第一次测试成绩；
②5位同学中，第一次测试成绩比第二次测试成绩高的有2人；
③五位同学的前两次测试成绩之和均超过了100 分；
④同学第三次测试成绩高于乙同学．
其中合理的是 （ ）
A. ①③B. ③④C. ②③D. ①④
【答案】B
【解析】
【分析】根据气泡圆的圆心横、纵坐标分别表示第一次和第二次测试成绩，气泡的大小表示三次成绩的平均分的高低，气泡越大平均分越高，由此一一判断即可解决问题．
【详解】解：由题意甲的气泡圆的圆心横坐标小于乙的气泡圆的圆心横坐标，
甲同学的第一次测试成绩低于乙同学的第一次测试成绩，故①错误．
观察图象可知，这5五位同学中，第一次测试成绩比第二次测试成绩高的有3人，故②错误．
观察图象可知，这5位同学的前两次测试成绩之和均超过了100分，故③正确．
观察图象可知，甲的第一次，第二次的成绩的和小于乙的第一次，第二次的成绩的和，而甲的平均成绩高于乙的平均成绩，
所以甲的第三次的成绩高于乙的第三次成绩，故④正确．
故选：．
【点睛】本题考查象形统计图，算术平均数等知识，解题的关键是理解题意，读懂图象信息，属于中考常考题型．
9. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形的顶点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形的面积是5，则k的值是（ ）
A. 3B. 4C. 2D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查反比例图像上点的性质，涉及两点之间距离、平行四边形的性质和平行四边形面积公式．设点A即可得到点B的坐标，利用平行四边形的性质可列出方程，求解即可．
【详解】解：设，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵平行四边形的面积是5，
∴，
解得．
故选：A．
10. 一列火车匀速行驶，经过一条长800米的隧道，从车头开始进入隧道到车尾离开隧道一共需要50秒的时间，在隧道中央的顶部有一盏灯，垂直向下发光照在火车上的时间是18秒，设该火车的长度为x米，根据题意可列一元一次方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设该火车的长度为米，根据路程等于速度乘以时间，即可得出关于的一元一次方程，可得答案．
【详解】解：设该火车的长度为米，
∴从车头开始进入隧道到车尾离开隧道共米，
∴．
故答案为：C．
11. 如图，在等腰中，于点D．动点从点出发，沿着的路径以每秒个单位长度的速度运动到点停止，过点作于点，作于．在此过程中四边形的面积与运动时间的函数关系图象如图所示，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，由图中拐点的纵坐标，得到四边形的面积，此时点运动到点，可证明四边形是正方形，面积为，那么正方形的边长为，易得为等腰直角三角形，即得到长为，进而求出长度为，解题的关键理解拐点的纵坐标表示的意义及动点此时所在的位置．
【详解】解：∵动点从点出发，沿着的路径运动，
∴第一个拐点的位置在点处，此时点运动到点，
∵图中拐点的纵坐标，
∴四边形的面积为，
∵，，
∴，
∵，
∴ 四边形是矩形，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，，
∴，，
∴四边形是正方形，，
∴是等腰直角三角形，
∵四边形的面积为，
∴，
∴，
∴，
故选：．
12. 如图，在等腰直角三角形中，，F，G是线段上的两个动点，运动过程中始终保持．过点F，G作，分别垂直，，垂足为E，H，延长，交于点D，连接，．下列结论：①四边形是正方形；②；③当时，．其中结论正确的个数有（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可知四边形是矩形，在由等腰直角三角形的性质证明，，即可证得，进而可知四边形是正方形，利用即可证明，设，由等腰直角三角形的性质结合，可得，则，求得，可知，即可证得结论．
【详解】解：∵，，，
∴四边形是矩形，
∵是等腰直角三角形，
∴，，则，
∴，，，则，
又∵，
∴，
∴ ，即：，
∴四边形是正方形，故①正确；
∵，则，
∴，
∵，
∴，故②正确；
设，则，，
，，
∵，
∴，则，
∴，
∴，故③正确；
综上，正确的结论有①②③，共3个，
故选：D．
【点睛】本题考查正方形的判定，全等三角形的判定，等腰直角形的判定及性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
13. 因式分解：________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【详解】解：
，
故答案为：．
14. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______ ．
【答案】且
【解析】
【分析】根据分式的分母不为零，二次根式的被开方数是非负数以及零指数幂的性质解答．
【详解】解：根据题意，得：且，
解得且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，二次根式有意义的条件以及零指数幂，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
15. 某鱼塘养了1000条草鱼、500条鲤鱼、若干条鲫鱼，鱼塘主通过多次捕捞试验发现，捕捞到鲫鱼的频率稳定在0.25左右．若鱼塘主随机在鱼塘里捕捞一条鱼，捕捞到草鱼的概率约为______．
【答案】0.5##
【解析】
【分析】根据捕捞到鲫鱼的频率可以估计出放入鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到捞到草鱼的概率．
【详解】解：∵捕捞到鲫鱼的频率稳定在0.25左右，
设鲫鱼的条数为x，可得：
；
解得：x=500，
经检验：x=500是原方程的解且符合实际意义
∴由题意可得，捞到草鱼的概率约为:
，
故答案为：0.5.
【点睛】本题考查了应用频率估计的概率应用，解题的关键是明确题意，由鱼的数量和鲫鱼出现的频率可以计算出草鱼的数量,进而估算出捕捞到草鱼的概率．
16. 若是方程的两个实数根，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，根据根与系数的关系得到，根据一元二次方程解的定义得到，再由，利用整体代入法求解即可；对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．
【详解】解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴
，
故答案为：．
17. 计算的结果是____________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算，按照运算法则计算即可．
【详解】
，
故答案为：1．
18. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，则，，，围成的面积（图中阴影部分面积）为______ ．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了图形的旋转，不规则图形的面积计算，扇形的面积，发现阴影部分面积的计算方法是解题的关键．将绕点逆时针旋转得到，可得≌，由题给图可知：，可得出阴影部分面积．
【详解】解：中，，，
，
将绕点逆时针旋转得到，
≌，
，
．
故答案为：．
19. 如图，在矩形中，，，连接，于点O，分别与、交于点E，F．连接、，则的最小值为________．
【答案】10
【解析】
【分析】过点作，且，连接，，当、、三点共线时，有最小值，为的长，由矩形的性质，证明四边形是平行四边形，进而得出垂直平分，，则，利用勾股定理，求出的值，从而得出，再证明，由对应边成比例求出的长，即可得到答案．
【详解】解：如图，过点作，且，连接，，
四边形是平行四边形，
，，
，
∴当、、三点共线时，有最小值，为的长，
如图，当、、三点共线时，
四边形是矩形，
，，
又，
四边形是平行四边形，
，即，
，
垂直平分，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得：，
，
，
，
，
，
即的最小值为10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，最短路径问题等知识，作辅助线将求最小值转化为求的长是解题关键．
20. 如图，已知正方形的边在的边上，顶点分别在边上，如果，的面积为12，那么的长为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质．关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程．
根据正方形的性质得出，则，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，结合正方形的性质列方程求解即可．
【详解】解：作于，交于，如图所示：
∵的面积，
∴，
设正方形的边长为．
由正方形得，，
即，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得．
故正方的边长为，
故答案为：．

21. 如图，在平面直角坐标系中，，，，……，均为等腰直角三角形，且，点，，，…， 和点，，，…， 分别在正比例函数和的图象上，且点，，，…， 的横坐标分别为1，2，3，…，n，线段，，……， 均与y轴平行，按照图中所反映的规律，的顶点的坐标是________，线段的长是________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的规律探究问题，旨在考查学生的抽象概括能力．先求出，，得出，根据等腰直角三角形的性质求出的坐标，再分别求出的坐标，得出规律，进而求出的坐标；分别计算线段的长度，从而得出线段的长．
【详解】解：∵时，，
∴，，
∴
∵为等腰直角三角形，
∴的横坐标是，的纵坐标是，
∴的坐标是；
∵时，，
∴，，
∴
∵为等腰直角三角形，
∴的横坐标是，的纵坐标是，
∴的坐标是；
同理，可得的坐标是；的坐标是
…
∴的顶点的坐标是；
∵
…
∴
故答案为：；．
22. 如图，在矩形中，，，点E在矩形的边上运动，将沿翻折，使点B落在矩形所在平面内的点处，若有两条边存在3倍的数量关系，则点到的距离为________．
【答案】或
【解析】
【分析】连接交于点G，作于点，先由有两条边存在3倍的数量关系结合，分四种情况：当时，当时，当时，当时，利用勾股定理，结合面积法求出，，最后根据，利用计算即可．
【详解】解：连接交于点G，作于点，

在矩形中，，，，
∵将沿翻折，使点落在点处，
∴，，
∴，则
∴
∴，
当时，
∴,
∵，
∴，
∴，
∴，此时点在矩形外面，不符合题意；
当时，，
∴,
∵，
∴，
∴，
∴；
当时，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，此时点在矩形外面，不符合题意；
综上所述，点到的距离可为或，
故答案为：或．
【点睛】此题考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（本题共6个小题，共54分）
23. 如图，在中，．
（1）尺规作图：在边上求作一点，使，并连接；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，当，时，_____，的周长为_____．
【答案】（1）见详解 （2）1，3
【解析】
【分析】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形等知识，
（1）作线段的垂直平分线交于点，点即为所求；
（2）由作图可知：，，，可得为等边三角形，即可得出答案
【小问1详解】
解：点即为所求；
【小问2详解】
∵，，
∴
∵，
∴
∵，
∴
∴为等边三角形
∴
的周长，
故答案为：1，3．
24. 周六，小李和小张相约到图书馆去看书．如图，小李家在点A处，小张家在小李家的正南方向300米的点B处，图书馆在小张家的南偏东方向的点C处．小李骑自行车从家向正东方向前进到路口D，再沿D的南偏东方向前行米到图书馆C；小张从家跑步到图书馆C．
（1）小李家到路口D的路程是多少米（结果保留根号）？
（2）若小李骑自行车的速度是300米/分钟，小张跑步的速度是200米/分钟，请通过计算说明他们谁先到达图书馆C．（参考数据：，）
【答案】（1）小李家到路口D的路程是米
（2）小李先到达图书馆C
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，矩形的性质，正确地找出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）过C作交的延长线于E，过D作于F，根据矩形的性质得到，解直角三角形即可得到结论；
（2）由（1）知，米，求得米，根据时间路程速度即可得到结论．
【小问1详解】
解：过C作交的延长线于E，过D作于F，

则四边形是矩形，
，，
由题意得，，
（米），
米，
米，
（米），
，
（米），
米，
答：小李家到路口D的路程是米；
【小问2详解】
由（1）知，米，
米，
∵小李骑自行车的速度是300米/分钟，小张跑步的速度是240米/分钟，
∴小李所用时间为（分钟），
小张所用时间为（分钟），
答：小李先到达图书馆C．
25. 为了进一步落实“双减”政策，丰富多彩的课外活动，如篮球、足球、徒步行等运动形式，实验学校九年级（1）班准备购买一些篮球和足球．据了解，购买8个篮球和10个足球共需2000元；购买10个篮球和20个足球共需3100元．
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；
（2）若该班恰好用3500元购买这些篮球和足球（两种均购买），求共有几种购买方案；
（3）实验学校组织了一次远足活动，由九年级（1）班男生拿着校旗打头阵，一名教师负责摄影，学生们匀速步行从学校出发，教师等学生们都出发后，骑车匀速出发，追上拿着校旗的同学后为学生们拍照，后继续按原骑车速度追赶学生，与学生一起到达人工湖休息．如图是教师和学生间的距离y（单位：）与学生出发时间单位：）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
①图中a的值是 ；
②请直接写出教师出发多长时间，教师与拿着校旗的学生相距．
【答案】（1）篮球的单价为元，足球的单价为元
（2）共有3种采购方案
（3）①；②或或
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的应用、从函数图象提取信息，读懂题意，能正确识图，根据题意，正确的列出二元一次方程（组）是解题的关键．
（1）设篮球的单价为元，足球的单价为元，根据题意，列出二元一次方程组，进行求解即可；
（2）设购买篮球个，足球个，列出二元一次方程，求出正整数解，即可得解；
（3）①根据图象求得学生步行的速度为，教师的骑车时间为，教师的骑车速度为：，再根据学生出发，教师追上学生列方程求解即可；
②设教师出发，分三种情况：当教师出发，在拍照前教师追赶拿着校旗的学生相距时，当教师出发，拍照时，拿着校旗的学生超过教师时，当教师出发，达到人工湖之前，教师追赶拿着校旗的学生相距时，分别求解即可．
【小问1详解】
解：设篮球的单价为元，足球的单价为元，由题意，得：
，解得：，
∴篮球的单价为元，足球的单价为元；
【小问2详解】
设购买篮球个，足球个，
则：，
∴，
∵，，且，均为正整数，
∴方程的解为：或或，
∴共有3种采购方案：
方案1：采购18个篮球，10个足球；
方案2：采购10个篮球，25个足球；
方案3：采购2个篮球，40个足球．
【小问3详解】
①由题意可知，学生步行的速度为，
则全程为：，
教师的骑车时间为：学生步行时间减去学生提前出发，再减去教师拍照时间，
则教师的骑车时间为：，
∴教师的骑车速度为：，
由题意可知，学生出发，教师追上学生：，
解得：，
故答案为：；
②设教师出发，
当教师出发，在拍照前教师追赶拿着校旗的学生相距时，
则，解得：；
当教师出发，拍照时，拿着校旗的学生超过教师时，
即教师追上学生后时，此时；
当教师出发，达到人工湖之前，教师追赶拿着校旗的学生相距时，
则，解得：；
综上，教师出发或或时，教师与拿着校旗的学生相距．
26. 【模型呈现：材料阅读】
如图①，在四边形中，对角线，相交于点P，若，则可判定A，B，C，D四点共圆．
（1）在图①中，若有，，，则 ， ；
【模型改编：问题解决】
（2）如图②，和均为等边三角形，连接，交于点F，交于点M，连接．求证：A，B，C，F四点共圆；
【模型拓广：问题延伸】
（3）如图③，在中，，将绕着点C顺时针旋转得到，连接，，直线与直线交于点F．
①若，，则的长为 ；
②若，，当时，的长为 ．
【答案】（1），；（2）见解析；（3）①6；②
【解析】
【分析】（1）根据，可证，得，进而可知，，，四点共圆，再由圆的内接四边形可知，，即可求解；
（2）由等边三角形的性质可证，得，即：，即可证明结论；
（3）①由旋转的性质可知，，，，，进而可证，得，可得，易证，，，四点共圆，可知，得，再利用相似三角形的性质可得，即可求解；
②结合题意可知为等腰直角三角形，由①可知，，，，四点共圆，得，由旋转可知，，则，过点作，可证得，得，解得，根据，求解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，，，四点共圆，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：，；
（2）证明：∵和均为等边三角形，
∴，，，
则，
∴，
∴，
∴，即：，
∴，，，四点共圆；
（3）①由旋转的性质可知，，，，，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，，四点共圆，
∵，则是直径，
∴，即：，
∴，
∵，，
∴，
∴，则，
故答案：6；
②∵，由旋转可知，，
∴为等腰直角三角形，
由①可知，，，，四点共圆，
∴，
由旋转可知，，则，
过点作，
∴，，
∴，
∴，即：，解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题属于几何综合，考查旋转的性质，圆周角定理，相似三角形的判定及性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
27. 古希腊数学家毕达哥拉斯认为；“一切平面图形中最美的是圆”小明决定研究一下圆，如图，是的直径，点C是上的一点，延长至点D，连接，且，过点C作于点E．

（1）求证：是的切线；
（2）若，求证：点E是的中点；
（3）在（2）的条件下，若点F是上一点(不与A、B、C重合)，求的值
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）要证明是的切线，只需证明，即即可；
（2）利用直角三角形斜边中线的性质证明是等边三角形，利用等边三角形的性质即可得到结论；
（3）连接，由，，证明，即可得到答案．
【小问1详解】
证明：连接，

∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，而是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
证明：∵，，
∴，而，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴点E是的中点；
【小问3详解】
解：连接，

则，而，，
∴，，
∴，而，
∴，
∴，
即的值为．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
28. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C， P为x轴下方抛物线上一点（点P不在y轴上）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图①，当点P的纵坐标为时，D为直线上一点，的周长为9是否成立？若成立，请求出点D的坐标；若不成立，请说明理由；
（3）若直线与y轴交于点M，直线与抛物线交于点Q，连接与y轴交于点H，如图②，试求出的值．
【答案】（1）
（2）不成立 （3）4
【解析】
【分析】（1）将，代入，利用待定系数法即可求解；
（2）过点作轴交于，在抛物线上，求出点坐标，根据点坐标求出，因为，所以为等腰直角三角形，作关于直线的对称点，连接，，与于，连接；此时，和最小，由翻折可得：，从而求出B点坐标，在中，可求出的最小周长为，从而得出结论不成立；
（3）过作轴交于，过作轴交于，过作轴交于，过作轴交于，设，，证明，得出，同理可得到，由轴，轴，由，得到，求出最后结果即可．
【小问1详解】
解：将，代入，
得：，解得：，
∴抛物线的表达式为；
【小问2详解】
不成立，理由如下：
当时，，解得，，
∴，
过点作轴交于，
，，
，
，
，
，
，
，
作关于直线的对称点，连接，，与于，连接，此时，和最小，
由对称可得：，
，，，
，，
∵，
，
，
在中，
，
最小值为，
最小值为，
，
的周长为9不成立，
即：的周长为9不成立．
【小问3详解】
过作轴交于，过作轴交于，过作轴交于，过作轴交于，
设，，
，，，，
轴，
，
，
，
，
，
，
同理，可得：
，
，
，
，
，
，
轴，轴，
，
，
，
，
．
当点在第四象限，同理可得：，
综上，．
【点睛】本题考查了二次函数与几何知识相结合的综合应用，涉及相似三角形性质，待定系数法求解析式，利用翻折性质和相似三角形对应边成比例是解答本题的关键．