福建省莆田第二十五中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

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审核人：高二数学备课组
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在对应的答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ）
1．已知函数，则（ ）
A．B．1C．D．
2．在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．甲、乙、丙三人参加县里的英文演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（ ）

A .B．
C．D．
6．抛掷两枚质地均匀的骰子，两个点数都出现偶数的概率和已知第一枚骰子的点数是偶数的条件下，第二枚骰子的点数也是偶数的概率分别是（ ）
A．都是B．和C．都是D．和
7．函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分。）
9．以下命题正确的是（ ）
A．平面，的法向量分别为，，则
B．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直
C．直线的方向向量为，平面的法向量为，则
D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则
10．一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球5个，白球2个，黑球1个，则下列选项正确的有（ ）
A．从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为，则数学期望
B．从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有X种，则数学期望
C．每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的红球次数为，则方差
D．每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的白球的个数为Y，则数学期望
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，在上单调递增 B．若极大值为0，则
C．时，恒成立 D．若，则有两个零点
第II卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分）
12．函数的极大值为 ．
13．在空间直角坐标系中，已知三点，则点到直线的距离为 .
14．如图，在边长为1的正方体中，点在上，点在平面内，设直线与直线所成角为.若直线到平面的距离为，则的最小值为 .
四、解答题（本题共5小题，共计77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．（13分）某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一个礼物，有4个装小兔和3个装小狗，依次不放回地从中取出2个盲盒．
(1)求第1次、第2次取到的都是小兔盲盒的概率；
(2)求第2次取到的是小狗盲盒的概率；
(3)若随机变量X表示取到小狗的盲盒数，求X的分布列和数学期望。
16．（15分）已知函数在时有极值0.
(1)求函数的解析式；
(2)记，若函数有三个零点，求实数的取值范围.
17．（15分）如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点，，。
(1)证明：；
(2)若，平面与平面所成的锐二面角的角余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.
18．（17分）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，M为棱PC的中点．
(1)证明：平面PAD；
(2)若，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是？若存在，求出PQ的值；若不存在，说明理由．
19．（17分）已知函数
(1)讨论的单调性;
(2)证明:当时，