2024年广东省汕头市澄海区中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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说明：
1．全卷共4页，考试时长120分钟，满分为120分；
2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡信息栏填写自己的姓名、考生号和座位号，并用2B铅笔填涂考生号；
3．答案必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，且必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效；
4．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将所选选项的字母填涂在答题卡中对应题号的方格内）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
2. 为了加快构建清洁低碳、安全高效的能源体系，国家发布《关于促进新时代新能源高质量发展的实施方案》，旨在锚定到2030年我国风电、太阳能发电总装机容量达到1200000000千瓦以上的目标．数据1200000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 在标有数字3，5，7的三张卡片中，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是5的倍数的概率是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，直线的顶点在上，若，则（ ）
A B. C. D.
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，为的直径，是的切线，点是切点，连接交于点，连接，若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，点都在方格纸的格点上，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（ ）
A. 1B. 2C. D.
10. 如图，在矩形中，，，动点P沿折线运动到点B，同时动点Q沿折线运动到点C，点在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P，Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度．设运动时间为t秒，的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上）
11. 分解因式：__________________
12. 不等式的最小整数解是__________．
13. 根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当飞行时间t为___________s时，小球达到最高点．
14. 如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角α为，看这栋楼底部C的俯角β为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为________．
15. 观察一组数：它们是按一定规律排列的，）那么这一组数的第n个数是____________．
16. 如图，在中，，，点在线段上，且，是线段上的一点，连接，将四边形沿直线翻折，得到四边形，当点恰好落在线段上时，面积为______________．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
17. 计算：．
18. 先化简，再求值：，其中．
19. 今年3月25日是第29个全国中小学生安全教育日．某市面向中小学生举行了一次关于心理健康、预防欺凌、防溺水、应急疏散等安全专题知识竞赛，共有18000名学生参加本次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，随机抽取了n名学生成绩x（成绩均为整数，满分为100分）分成四个组：1组（），2组（），3组（），4组（），并绘制如图所示频数分布图．
（1） ；所抽取的n名学生成绩的中位数在第 组；
（2）若成绩在第4组才为优秀，则所抽取的n名学生中成绩为优秀的频率为 ；
（3）试估计18000名参赛学生中，成绩大于或等于70分的人数．
四、解答题（二）（本大题共3 小题，每小题8分，共24分）
20. 如图，四边形是平行四边形．
（1）作对角线的垂直平分线，分别交，于点E、F；（用尺规作图，不写作法和证明）
（2）分别连接，请判断四边形的形状，并说明理由．
21. 一旅游团从某景区乘车到潮汕国际机场，有两条线路可供选择，线路一：走省道全程是25千米，但交通比较拥堵；线路二：走高速全程是30千米，平均速度是线路一的倍，因此到达潮汕国际机场的时间比走线路一少用7分钟，求走线路一到达潮汕国际机场需要多长时间．
22. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A、C分别在x轴负半轴，y轴负半轴上，点，点B在第三象限内，点在函数的图像上
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）连接，记的面积为S，设，求T的最大值．
五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
23 如图，内接于，是的直径的延长线上一点，．过圆心作的平行线交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若 ，求的半径长及的面积．
24. （1）如图1，和都是等边三角形，点A、E、D在同一直线上，连接，求证：；
（2）如图2，和都是直角三角形，，点A、N、D在同一直线上，，垂足为D，求证：
（3）在（2）的条件下，点C关于的对称点F在边上．若，，求的值．
25. 如下图，二次函数图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点的坐标为，点的坐标为，直线l经过B、C两点．
（1）求该二次函数的表达式及其图像的顶点坐标；
（2）如图1，点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图像相交于另一点N，当时，求点P的坐标；
（3）如图2，点C关于x轴的对称点为点D，点为线段上的一个动点，连接，点为线段上一点，且，连接，当的值最小时，直接写出的长．