2024天津南开区高三下学期二模试题数学含答案

这是一份2024天津南开区高三下学期二模试题数学含答案，共11页。试卷主要包含了5C．15D．15等内容，欢迎下载使用。
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至9页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；
2.本卷共9小题，每小题5分，共45分。
参考公式：
·如果事件A，B互斥，那么.
·如果事件A，B相互独立，那么.
·锥体的体积公式，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
（2）设a，，则“且”是“”的（ ）.
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
（3）已知，，，则（ ）.
A．B．C．D．
（4）已知函数的部分图象如下：
则的解析式可能为（ ）.
A．B．
C．D．
（5）某校抽取100名学生做体能测试，其中百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成五组：第一组，第二组，…，第五组.如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，若成绩低于a即为优秀，如果优秀的人数为14人，则a的估计值是（ ）
A．14B．14.5C．15D．15.5
（6）设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数b的取值范围为（ ）.
A．B．C．D．
（7）已知函数（），，则（ ）.
A．
B．的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称
C．在上单调递减
D．
（8）如图，在正方体中，，M，N分别为，的中点，E，F分别为棱AB，CD上的动点，则三棱锥M-NEF的体积（ ）
A．不确定，与E，F的位置有关B．为定值
C．存在最小值，最小值为D．存在最大值，最大值为
（9）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（ ）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷
注意事项：
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2.本卷共11小题，共105分
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，答对一个给3分，全部答对的给5分.
（10）是虚数单位，复数 .
（11）在的展开式中，的系数为 .
（12）过圆C：上的点作圆C切线l，则l的倾斜角为 .
（13）连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能，则3次结果中有正面向上，也有反面向上的概率为 ；3次结果中最多一次正面向上的概率为 .
（14）已知在平行四边形ABCD中，，，记，，用和表示
；若，，则值为 .
（15）已知函数，若方程有三个不等实根，则实数k的取值范围是 .
三、解答题：本大题共5题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（16）（本小题满分14分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值.
（17）（本小题满分15分）
在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，O为CD的中点，二面角A-CD-P为直二面角.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线PC与平面PAB所成角的正弦值；
（Ⅲ）求平面POB与平面PAB夹角的余弦值.
（18）（本小题满分15分）
已知椭圆C：（）的离心率为，且C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，过点A与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为Q.当△BPQ的面积取得最大值时，求直线l的方程.
（19）（本小题满分15分）
已知是等差数列，公差，，且是与的等比中项.
（Ⅰ）求的通项公式
（Ⅱ）数列满足，且.
（ⅰ）求的前n项和.
（ⅱ）是否存在正整数m，n（），使得，，成等差数列，若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由.
（20）（本小题满分16分）
已知函数，.
（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）证明：对，恒成立（为的导数）；
（Ⅲ）设，证明：（）.
2023—2024学年度第二学期高三年级质量监测（二）参考答案
数学学科
一、选择题：（本题共9小题，每题5分，共45分）
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对一个给3分，全部答对的给5分．）
（10）；（11）；（12）150°；（13），；（14），；（15）．
三、解答题：（其他正确解法请比照给分）
（16）解：
（Ⅰ）因为，
又由余弦定理，
可得，
由知，
所以，
（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理得，
又因为，
所以，
又因为，
解得．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
所以，，
所以
．
又由得，
所以B还可以为，此时．
（17）解：因为，O为CD的中点，
所以．
又因为平面平面ABCD，平面平面，平面PCD，
所以平面ABCD．
因为，，，所以．
以点O为坐标原点，OD，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系D-xyz，
则，，，，，．
（Ⅰ），，
因为，
所以．
（Ⅱ）设平面PAB的一个法向量为，
则，即，
令，则．
设直线PC与平面PAB所成的角为，
又，
则，
所以直线PC与平面PAB所成的角的正弦值为．
（Ⅲ）设平面POB的一个法向量为，
则，即，
令，则．
设平面POB与平面PAB的夹角为，
则．
故平面POB与平面PAB的夹角的余弦值为．
（18）解：
（Ⅰ）设椭圆C的焦距为2c，依题意，，，
解得，，
所以椭圆C的方程为．
（Ⅱ）设直线l的方程为，，，则，
联立直线l与椭圆C的方程，得，
则．
又，，
易知与同号，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以△BPQ面积的最大值为，此时直线l的方程为．
（19）解：
（Ⅰ）因为为等差数列，且，所以．
又是与的等比中项，
所以，即．
化简得，解得或（舍），
所以．
（Ⅱ）（ⅰ）由，得，
所以（），又，
当时，
，
又也适合上式，所以，
则，
所以．
（ⅱ）假设存在正整数m，n，使得，，成等差数列，
则，即，整理得，
显然是25的正约数，又，则或，
当，即时，与矛盾；
当，即时，，符合题意，
所以存在正整数使得，，成等差数列，此时，．
（20）解：
（Ⅰ），可得，又，
所以曲线在点处的切线方程为．
（Ⅱ）令，，
则，，
令，则在上恒成立，
故在单调递增，
其中，故在上恒成立，故在上单调递增，
故，即恒成立．
（Ⅲ）设，证明．
令，，
因为，
所以在上单调递减，
所以，从而，．
由于，
所以．
由（Ⅱ）知，（），
所以．
设，①
则，②
①－②得
，
所以．
题号
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
答案
B
A
C
D
B
A
D
B
C