中考数学圆的证明与计算题型解析

这是一份中考数学圆的证明与计算题型解析，共8页。试卷主要包含了三切线模型等内容，欢迎下载使用。

类型二、切线的判定与性质综合——双切线模型
【例题2】如图，PB与⊙O相切于点B，过点B作OP的垂线BA，垂足为点C，交⊙O于点A，连接PA，AO，AO的延长线交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D.(1)求证：PA是⊙O的切线；(2)若tan∠BAD＝2/ 3，且OC＝4，求BD的长．
例题2图
【参考答案】
解：(1) 如解图1所示，连接OB，则OA＝OB.
解图1
∵OP⊥AB，∴AC＝BC.∴OP是AB的垂直平分线．∴PA＝PB.在△PAO和△PBO中，∴△PAO≌ △PBO ( SSS )．∴∠PAO＝∠PBO.∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO＝90°.∴∠PAO＝90°，即PA⊥OA.∴PA是⊙O的切线．
(2) 如解图2所示，连接BE.
解图2
在Rt△AOC 中，tan∠BAD＝tan∠CAO＝OC/ AC＝2/ 3，且OC＝4，∴AC＝BC= 6 .∵PA⊥OA，OP⊥AB，∴∠PAC＋∠OAC＝90°.∴∠ACP＝∠OCA＝90°，∠PAC＋∠APC＝90°.∴∠APC＝∠OAC.∴△PAC∽△AOC.∴ PC/ AC＝AC/ OC，即PC/ 6 ＝6/ 4 .解得PC＝9.∴OP＝PC＋OC＝13.
解图2
在Rt△PCB 中，由勾股定理得，∵AC＝BC，OA＝OE，∴OC为△ABE的中位线．∴BE＝2OC＝8，OC∥BE.∴△DBE∽△DPO .∴BD/ PD = BE / PO ,
类型三、切线的判定与性质综合——切割线模型
【例题3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE＝∠DCE(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若D是AC的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长．
例题3图
【参考答案】
(1)证明：如解图1所示，连接BD.
解图1
∵∠ACB＝90°，点B，D在⊙O上，∴BD是⊙O的直径．又∵ ∠BDE＝∠BCE，∠FDE＝∠DCE，∴∠BDE＋∠FDE＝∠BCE＋∠DCE，即∠BDF＝∠ACB＝90°.∴DF⊥BD.又∵BD是⊙O的直径，∴DF是⊙O的切线．
(2)解：
解图1
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，∴AB＝2BC＝8.∵点D是AC的中点，∴AD＝CD＝1/2AC＝2√3.∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB＝90°.∴∠DEA＝180°－∠DEB＝90°.∴DE＝1/2AD＝1/2× 2√3＝√3. （∠A= 30°）
解图1
在Rt△BCD 中，在Rt△BED 中，∵∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE，∴∠FDE＝∠DBE.∵∠DEF＝∠BED＝90°∴△FDE∽△DBE.∴DF/ BD = DE / BE , 即DF/ 2√7 = √3 / 5 ,∴DF＝2√21/ 5 .
类型四、三切线模型
【例题4】如图，AB是⊙O的直径，AB⊥BD，AC与⊙O相切于点A，点E为⊙O上一点，且AC＝CE，连接CE并延长交BD于点D.(1)求证：CD为⊙O的切线；(2)连接AD，BE交于点F，⊙O的半径为2，当点F为AD中点时，求BD的长．
例题4图
【参考答案】
(1)证明：如解图1，连接OC，OE.
解图1
∵AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，∴∠OAC＝90°.在△ACO和△ECO中，∴△ACO≌ △ECO ( SSS )．∴∠OEC＝∠OAC＝90°.∴OE⊥DC.∴CD为⊙O的切线．
(2)解：如解图2所示，连接OF，AE，过点F作FG⊥BD于点G.
解图2
∵AB⊥BD，∴∠ABD＝∠FGD＝∠FGB＝90°.∴FG∥AB.∴∠ABF＝∠BFG.∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝∠FGB＝90°.∴△ABE∽△BFG.∴AB/ BF ＝BE/ FG .
解图2
∵点F为AD中点，O为AB中点，∴OF∥BG.易证四边形OFGB是矩形．∴FG＝OB＝2.∵AB是⊙O的直径，AB⊥BD，∴BD是⊙O的切线．由(1)知CD是⊙O的切线∴DB＝DE.∴∠DEB＝∠DBE.∵∠ABD＝90°，点F为AD中点，∴BF＝FD.∴∠DBE＝∠FDB.∴∠FDB＝∠DEB.
解图2
又∵ ∠FBD＝∠DBE，∴△FBD∽△DBE.∴BF/ BD＝BD/ BE .∴BD2＝BF·BE.设BF＝a，BD＝n.∵△ABE∽△BFG，∴AB/ BF = BE / FG ,∴4/ a = BE / 2 ,∴BE= 8 / a ,∵BD2＝BF·BE，∴n2＝a· 8 / a .∴n2＝8.∴n＝2√2( 负值舍去)．∴BD的长为2√2.