2024 年广西柳州市中考数学模拟试卷（解析版）

这是一份2024 年广西柳州市中考数学模拟试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，二元一次方程组 的解为，下列计算正确的是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。 用 2B 铅笔将试卷类型（B） 填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先 划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题 3 分，满分 30 分）
1．已知点P(m,n)，为是反比例函数y=- 3 上一点，当 -3 ≤ n<-1 时，m 的取值范围是 ( ) x
A ． 1 ≤ m<3 B ． -3 ≤ m<-1 C ．12．下列天气预报中的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )
A .
B .
C .
D .
3．等腰三角形一条边的边长为 3，它的另两条边的边长是关于 x 的一元二次方程 x2﹣12x+k=0 的两个根，则 k 的值是 ( )
A ．27 B ．36 C ．27 或 36 D ．18
4．如图，点 P 是∠AOB 内任意一点，OP=5cm，点 M 和点 N 分别是射线 OA 和射线 OB 上的动点， Δ PMN 周长的 最小值是 5cm，则∠AOB 的度数是 ( ) .
A ． 25。 B ． 30。 C ． 35。 D ． 40。
5．袋子中装有 4 个黑球和 2 个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中
摸出三个球．下列事件是必然事件的是 ( ) A ．摸出的三个球中至少有一个球是黑球
B ．摸出的三个球中至少有一个球是白球 C ．摸出的三个球中至少有两个球是黑球 D ．摸出的三个球中至少有两个球是白球
6．如图，Δ ABC 内接于⊙O，BC 为直径，AB=8，AC=6，D 是弧 AB 的中点，CD 与 AB 的交点为 E，则 CE：DE 等于( )
A ．3:1 B ．4:1 C ．5:2 D ．7:2
7．二元一次方程组 的解为 ( )
A ． B ． C ． D .
8．有三张正面分别标有数字－2 ，3, 4 的不透明卡片，它们除数字不同外，其余全部相同，现将它们背面朝上洗匀后，
从中任取一张（不放回），再从剩余的卡片中任取一张， 则两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的概率是( )
4 1 1 1
A ． B ． C ． D .
9 12 3 6
9．许昌市 2017 年国内生产总值完成 1915.5 亿元，同比增长 9.3%，增速居全省第一位，用科学记数法表示 1915.5 亿 应为( )
A ．1915.15×108 B ．19.155×1010
C ．1.9155×1011 D ．1.9155×1012
10．下列计算正确的是( )
A ．(a－3)2＝a2－6a－9 B ．(a＋3)(a－3)＝a2－9
C ．(a－b)2＝a2－b2 D ．(a＋b)2＝a2＋a2
二、填空题（共 7 小题，每小题 3 分，满分 21 分）
1
11．在Δ ABC 中，∠C=90°,若 tanA= ，则 sinB= .
2
12．轮船沿江从 A 港顺流行驶到 B 港，比从 B 港返回A 港少用3h，若静水时船速为 26km/h ，水速为 2km/h，则 A 港和 B 港相距_____km .
13．分解因式：m3–m=_____ .
14. Δ ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sinA＝_ ▲ .
15．如图，直线 a ∥b，直线 c 分别于 a，b 相交，∠1=50°,∠2=130°,则∠3 的度数为( )
A ．50° B ．80° C ．100° D ．130°
6
17．已知 A(x1 ，y1)，B(x2 ，y2)都在反比例函数 y ＝ x 的图象上．若 x1x2 =﹣ 4，则 y1 . y2 的值为_____ .
三、解答题（共 7 小题，满分 69 分）
18．（10 分）先化简，再求值：（1﹣ ) ÷ 2，其中 x 是不等式组 的整数解
19．（5 分）如图,在直角坐标系中,矩形asd的顶点与坐标原点重合,顶点a,c分别在坐标轴的正半轴上, a=G,点在 直线上,直线与折线E亚有公共点.点的坐标是；若直线i经过点，求直线i的解析式； 对于一次函数，当 随的增大而减小时，直接写出的取值范围.
20．（8 分）如图，在Δ ABC 中，AD=15 ，AC=12，DC=9，点 B 是 CD 延长线上一点，连接 AB，若 AB=1 . 求：Δ ABD 的面积.
21．（10 分）某中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为 30 米的篱笆围成．已 知墙长为 18 米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为 x 米.
若平行于墙的一边长为 y 米，直接写出 y 与 x 的函数关系式及其自变量 x 的取值范围.
垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值.
22．（10 分）随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部 分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买 6 盒甲品牌粽子和 3 盒乙 品牌粽子需 600 元；打折后，买 50 盒甲品牌粽子和40 盒乙品牌粽子需要 5200 元．打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分 别为多少元？阳光敬老院需购买甲品牌粽子80 盒，乙品牌粽子 100 盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？ 23．（12 分）一只不透明的袋子中装有 2 个白球和 1 个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出 1 个球（不 放回），再从余下的 2 个球中任意摸出 1 个球．用树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果；求两次摸到的球的颜 色不同的概率.
24．（14 分）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，BD 是⊙O 的直径，AE⊥CD 于点 E，DA 平分∠BDE .
（1）求证：AE 是⊙O 的切线；
（2）如果 AB=4，AE=2，求⊙O 的半径.
参考答案
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题 3 分，满分 30 分）
1、A
【解析】
直接把 n 的值代入求出 m 的取值范围. 【详解】
3
解：∵点 P（m，n），为是反比例函数 y=- 图象上一点，
x
∴当-1≤n＜-1 时，
∴n=-1 时，m=1，n=-1 时，m=1， 则 m 的取值范围是：1≤m＜1 .
故选 A .
【点睛】
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标性质，正确把 n 的值代入是解题关键.
2、A
【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解. 【详解】
解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意； D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意 .
故选：A.
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中 心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合.
3、B
【解析】
试题分析：由于等腰三角形的一边长 3 为底或为腰不能确定，故应分两种情况进行讨论：（3）当 3 为腰时，其他两条 边中必有一个为 3，把 x=3 代入原方程可求出 k 的值，进而求出方程的另一个根，再根据三角形的三边关系判断是否 符合题意即可；（3）当 3 为底时，则其他两条边相等，即方程有两个相等的实数根，由Δ =0 可求出 k 的值，再求出方 程的两个根进行判断即可.
试题解析：分两种情况：
（3）当其他两条边中有一个为 3 时，将 x=3 代入原方程， 得：33-33×3+k=0
解得:k=37
将 k=37 代入原方程， 得：x3-33x+37=0
3 ，3，9 不能组成三角形，不符合题意舍去； （3）当 3 为底时，则其他两边相等，即Δ =0， 此时：344-4k=0
解得：k=3
将 k=3 代入原方程， 得：x3-33x+3=0
解得：x=6
3 ，6，6 能够组成三角形，符合题意. 故 k 的值为 3 .
故选 B .
考点：3 ．等腰三角形的性质；3 ．一元二次方程的解.
4、B
【解析】
试题分析：作点 P 关于 OA 对称的点 P3,作点 P 关于 OB 对称的点 P3,连接 P3P3,与 OA 交于点 M,与 OB 交于点 N,此时 Δ PMN 的周长最小．由线段垂直平分线性质可得出Δ PMN 的周长就是 P3P3 的长，∵OP=3，∴OP3=OP3=OP=3 ．又
∵P3P3=3，, ∴OP3=OP3=P3P3, ∴△OP3P3 是等边三角形, ∴∠P3OP3=60°,即 3 (∠AOP+∠BOP）=60° , ∠AOP+∠BOP=30°,即∠AOB=30°,故选 B .
考点：3 ．线段垂直平分线性质；3 ．轴对称作图.
5、A
【解析】
根据必然事件的概念：在一定条件下，必然发生的事件叫做必然事件分析判断即可. 【详解】
A、是必然事件；
B、是随机事件，选项错误； C、是随机事件，选项错误； D、是随机事件，选项错误. 故选 A .
6、A
【解析】
利用垂径定理的推论得出 DO⊥AB，AF=BF，进而得出 DF 的长和Δ DEF∽△CEA，再利用相似三角形的性质求出即 可.
【详解】
连接 DO，交 AB 于点 F，
∵D 是 AB 的中点，
∴DO⊥AB，AF=BF， ∵AB=8，
∴AF=BF=4，
∴FO 是Δ ABC 的中位线，AC∥DO，
∵BC 为直径，AB=8，AC=6，
1
∴BC=10，FO= AC=1，
2 ∴DO=5，
∴DF=5-1=2，
∵AC∥DO，
∴△DEF∽△CEA，
,
故选：A . 【点睛】
此题主要考查了垂径定理的推论以及相似三角形的判定与性质，根据已知得出Δ DEF∽△CEA 是解题关键.
7、C
【解析】
利用加减消元法解这个二元一次方程组. 【详解】
解：
①-②× 2，得：y=-2，
将 y=-2 代入②,得： 2x-2=4，
解得，x=3，
所以原方程组的解是
故选 C. 【点睛】
本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程等知识点，解此题的关键是把二元一次方程组转化成一元一次方程， 题目比较典型，难度适中.
8、C
【解析】
画树状图得：
∵共有 6 种等可能的结果，两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的有 2 种情况，
∴两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的概率是： .
故选 C.
【点睛】运用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法 适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件.
9、C
【解析】
科学记数法的表示形式为a × 10 n 的形式，其中1 ≤a <10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移 动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1 时，n 是正数；当原数的绝对值<1 时，n 是负数. 【详解】
用科学记数法表示 1915.5 亿应为 1.9155×1011， 故选 C .
【点睛】
考查科学记数法，掌握绝对值大于 1 的数的表示方法是解题的关键.
10、B 【解析】
利用完全平方公式及平方差公式计算即可. 【详解】
解：A、原式=a2-6a+9，本选项错误； B、原式=a2-9，本选项正确；
C、原式=a2-2ab+b2，本选项错误； D、原式=a2+2ab+b2，本选项错误， 故选：B .
【点睛】
本题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键.
二、填空题（共 7 小题，每小题 3 分，满分 21 分）
11、
2 5
5 【解析】
分析：直接根据题意表示出三角形的各边，进而利用锐角三角函数关系得出答案. 详解：如图所示：
∵ ∠C=90° , tanA= ，
∴设 BC=x，则 AC=2x，故 AB= 5 x，
2 5
故答案为： .
5
点睛：此题主要考查了锐角三角函数关系，正确表示各边长是解题关键.
12、1 . 【解析】
根据逆流速度=静水速度-水流速度，顺流速度=静水速度+水流速度，表示出逆流速度与顺流速度，根据题意列出方程， 求出方程的解问题可解.
【详解】
解：设 A 港与B 港相距xkm，
根据题意得：
解得：x=1，
则 A 港与B 港相距 1km . 故答案为：1 .
【点睛】
此题考查了分式方程的应用题，解答关键是在顺流、逆流过程中找出等量关系构造方程.
13、m（m+1）（m-1） 【解析】
根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式a2 - b2 = (a + b)(a - b)，完全平方公式 a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 ）、三检查（彻底分解），可以先提公因式，再利用平方差完成因式分解
【详解】
解： m3 - m = m (m2 - 1)= m (m +1)(m - 1)
故答案为：m（m+1）（m-1）. 【点睛】
本题考查因式分解，掌握因式分解的技巧是解题关键.
5
14、
5
【解析】
在直角Δ ABD 中利用勾股定理求得 AD 的长，然后利用正弦的定义求解. 【详解】
在直角Δ ABD 中，BD=1，AB=2，
则AD= AB 2 + BD2 = 22 +12 = 5 ，
5
.
故答案是：
5
【解析】
根据平行线的性质即可解决问题 【详解】
∵a∥b，
∴∠1+∠3=∠2，
∵∠1=50°,∠2=130° , ∴∠3=80° , 故选 B.
【点睛】
考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，属于中考基础题.
16、1
【解析】
分析：第一项根据非零数的零次幂等于 1 计算，第二项根据算术平方根的意义化简，第三项根据负整数指数幂等于这 个数的正整数指数幂的倒数计算.
详解：原式=1+2﹣2 =1 .
故答案为：1 .
点睛：本题考查了实数的运算，熟练掌握零指数幂、算术平方根的意义，负整数指数幂的运算法则是解答本题的关键.
17、﹣ 1 . 【解析】
6 6
1 x 2 x 1 2
根据反比例函数图象上点的坐标特征得到 y = ，y = , 再把它们相乘，然后把xx = —4 代入计算即可.
1 2
【详解】
6 6
根据题意得
y = ，y = ,
1 x 2 x
1 2
所以 y1 y2 = = —9.
1 2 1 2
故答案为:−1. 【点睛】
6 6
1 x 2 x
考查反比例函数图象上点的坐标特征，把点A, B 的坐标代入反比例函数解析式得到 y = , y = , 是解题的关键.
三、解答题（共 7 小题，满分 69 分） 1
18、x=3 时，原式= 4
【解析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘 法运算,约分得到最简结果,求出不等式组的解集,找出解集中的整数计算得出到 x 的值,代入计算即可求出值.
【详解】
解：原式=÷
=×
=，
解不等式组得，2＜x< ,
∵x 取整数， ∴x=3，
1
当 x=3 时，原式=
4 .
【点睛】
本题主要考查分式额化简求值及一元一次不等式组的整数解.
19、（1）；（2）；（3）
【解析】
（1）OA=6，即 BC=6，代入，即可得出点 B 的坐标
（2）将点 B 的坐标代入直线 l 中求出 k 即可得出解析式
（3）一次函数，必经过，要使 y 随 x 的增大而减小，即 y 值为，分别代入即可求出 k 的值. 【详解】
解：∵OA=6，矩形 OABC 中，BC=OA ∴BC=6
∵点 B 在直线上，
,解得 x=8
故点 B 的坐标为（8，6）
故答案为（8，6）
（2）把点的坐标代入得，
解得： ∴
（3））∵一次函数，必经过），要使 y 随 x 的增大而减小
∴y 值为
∴代入， 解得.
【点睛】
本题主要考待定系数法求一次函数解析式，关键要灵活运用一次函数图象上点的坐标特征进行解题.
20、2. 【解析】
试题分析：由勾股定理的逆定理证明Δ ADC 是直角三角形，∠C=90°,再由勾股定理求出 BC，得出 BD，即可得出结 果.
解：在Δ ADC 中，AD=15，AC=12 ，DC=9， AC2+DC2=122+92=152=AD2，
即 AC2+DC2=AD2，
∴△ADC 是直角三角形，∠C=90° , 在 RtΔ ABC 中，BC===16，
∴BD=BC﹣DC=16﹣9=7，
∴△ABD 的面积=×7×12=2 .
21、112.1 【解析】
试题分析：（1）根据题意即可求得 y 与x 的函数关系式为y=30﹣2x 与自变量x 的取值范围为 6≤x＜11；
（2）设矩形苗圃园的面积为 S，由 S=xy，即可求得 S 与x 的函数关系式，根据二次函数的最值问题，即可求得这个 苗圃园的面积最大值.
试题解析：解：（1）y=30﹣2x（6≤x＜11）.
（2）设矩形苗圃园的面积为 S，则 S=xy=x（30 ﹣2x）=﹣2x2+30x，∴S=﹣2（x﹣7.1）2+112.1，由（1）知，6≤x＜11， ∴当 x=7.1 时，S 最大值=112.1，即当矩形苗圃园垂直于墙的一边的长为 7.1 米时，这个苗圃园的面积最大，这个最大
值为 112.1 .
点睛：此题考查了二次函数的实际应用问题．解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求 解即可.
22、（1）打折前甲品牌粽子每盒 70 元，乙品牌粽子每盒 80 元．（2）打折后购买这批粽子比不打折节省了 3120 元. 【解析】
分析：（1）设打折前甲品牌粽子每盒 x 元，乙品牌粽子每盒 y 元，根据“打折前，买 6 盒甲品牌粽子和 3 盒乙品牌粽子 需 600 元；打折后，买 50 盒甲品牌粽子和 40 盒乙品牌粽子需要 5200 元”，即可得出关于 x、y 的二元一次方程组，解 之即可得出结论；
（2）根据节省钱数=原价购买所需钱数-打折后购买所需钱数，即可求出节省的钱数.
详解：（1）设打折前甲品牌粽子每盒 x 元，乙品牌粽子每盒 y 元， 根据题意得：
[6x+ 3y＝600
{l50 ×0.8x + 40 ×0.75y＝5200 ，
[x＝40 解得： {
ly＝120 .
答：打折前甲品牌粽子每盒 40 元，乙品牌粽子每盒 120 元. （2）80×40+100×120-80×0.8×40-100×0.75×120=3640（元）. 答：打折后购买这批粽子比不打折节省了 3640 元.
点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据
数量关系，列式计算.
2
23、（1）详见解析；（2）
3 .
【解析】
试题分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由（1）中树状图可求得两次摸到的球的颜色不同的情况有 4 种，再利用概率公式求解即可求得答案. 试题解析：（1）如图：
,
所有可能的结果为（白 1 ，白 2）、（白 1 ，红）、（白 2 ，白 1）、（白 2 ，红）、（红，白 1）、（红，白 2）；
4 2
（2）共有 6 种情况，两次摸到的球的颜色不同的情况有 4 种，概率为 = .
6 3
4
3
24、（1）见解析；（1）ΘO 半径为
3
【解析】
（1）连接 OA，利用已知首先得出 OAⅡDE，进而证明 OA丄AE 就能得到AE 是ΘO 的切线； （1）通过证明Δ BAD∞△AED，再利用对应边成比例关系从而求出ΘO 半径的长.
【详解】
解：（1）连接 OA，
」OA=OD， :上1=上1 .
」DA 平分上BDE， :上1=上2 .
:上1=上2 ．:OAⅡDE . :上OAE=上4，
」AE丄CD，:上4=90° .
:上OAE=90°,即 OA丄AE . 又」点 A 在ΘO 上，
:AE 是ΘO 的切线.
（1）」BD 是ΘO 的直径， :上BAD=90° .
」上3=90°,:上BAD=上3 .
又」上1=上2，:△BAD∞△AED .
,
」BA=4，AE=1，:BD=1AD .
在 RtΔ BAD 中，根据勾股定理，
得
∴⊙O 半径为
4
3 .
3