2023-2024学年福建省泉州市永春县高一（下）期中数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年福建省泉州市永春县高一（下）期中数学试卷-普通用卷，共13页。试卷主要包含了利用斜二测画法得到的，下列命题为真命题的是，在△ABC中，下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。
A. 8−4i5B. 8+4i5C. 8−44i25D. 8+44i25
2.已知圆锥的轴截面是腰长为10的等腰三角形，且该三角形底角的正弦值为35，则该圆锥的底面积与表面积之比为( )
A. 13B. 59C. 49D. 79
3.在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，设AC=mAE+nAD，则m+n=( )
A. 12B. 1C. 32D. 2
4.利用斜二测画法得到的( )
①三角形的直观图是三角形，②平行四边形的直观图是平行四边形
③正方形的直观图是正方形，④菱形的直观图是菱形
A. ③④B. ①C. ①②D. ①②③④
5.已知△ABC内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若csB=14，b=2，sinC=2sinA，则△ABC的面积为( )
A. 156B. 154C. 152D. 15
6.已知一个圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为π2的扇形，将该圆锥加工打磨成一个球状零件，则该零件表面积的最大值为( )
A. 12π5B. 2πC. 14π5D. 256π15
7.若复数z满足1−iz=1+i，其中i为虚数单位，则|z|=( )
A. 1B. 2C. 2D. 3
8.在△ABC中，三边长可以组成公差为1的等差数列，最大角的正弦值为 32，则这个三角形的面积为( )
A. 1516B. 15 316C. 154D. 15 34
9.下列命题为真命题的是( )
A. 过任意三点有且仅有一个平面
B. m为直线，α，β为平面，若m⊥α，m⊥β，则α//β
C. m，n为直线，α为平面，若m//α，n//α，则m//n
D. m，n为直线，α为平面，若m⊥α，n⊥α，则m//n
10.在△ABC中，下列命题正确的是( )
A. 若a2+b2>c2，则△ABC定为锐角三角形
B. 若A>B，则sinA>sinB
C. 若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形或直角三角形
D. 若点P满足PA+PB+PC=0，则点P必为此三角形的重心
11.如图所示的各个向量中，下列结论正确的是( )
A. PQ=32a+32bB. PT=−32a−32b
C. PS=32a−12bD. PR=32a+b
12.如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为2，高为4，内装水若干，将容器放倒.把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好是中截面.则图1中容器水面的高度是______.
13.若非零向量a，b，c满足a+2b+3c=0，且a⋅b=b⋅c=c⋅a，则b与c的夹角为______.
14.一艘船以每小时15公里的速度向东航行，已知船在A处看到北偏东60∘方向有一个灯塔B，行驶4小时后，船到达C处，看到灯塔在北偏东15∘方向，此时船与灯塔的距离是______公里．
15.已知向量OA=(1,1)，OB=(2,3)，OC=(m+1,m−1).
(1)若点A、B、C能构成三角形，求实数m的取值范围；
(2)若在△ABC中，∠B为直角，求∠A.
16.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=2 2，b=5，∠C=π4.
(1)求sinA的值；
(2)求sin(3A+B)的值．
17.如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥AB，PA=AB=BC=4，∠ABC=90∘，PC=4 3，D为线段AC的中点，E是线段PC上一动点．
(1)当DE⊥AC时，求证：PA//面DEB；
(2)当△BDE的面积最小时，求三棱锥E−BCD的体积．
18.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a+b+c)(a−b+c)=ac.
(1)求B;
(2)若sinAsinC= 3−14，求C.
19.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若csAsinA+csCsinC=1sinB.
(1)求证：01.
设最大角为θ，则csθ=±12=(b−1)2+b2−(b+1)22b(b−1)=b−42(b−1).
解得b=52，b−1=32，b+1=72.
则这个三角形的面积S=12×52×32× 32=15 316.
故选：B.
三边长可以组成公差为1的等差数列，不妨设为：b−1，b，b+1.b>1.设最大角为θ，利用余弦定理可得：csθ=±12=(b−1)2+b2−(b+1)22b(b−1).解得b，利用三角形面积计算公式即可得出．
本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9.【答案】BD
【解析】解：对于A，过不共线的任意三点有且仅有一个平面，所以选项A错误；
对于B，m为直线，α，β为平面，若m⊥α，m⊥β，根据直线与平面垂直的性质定理知，α//β，选项B正确；
对于C，m，n为直线，α为平面，若m//α，n//α，不能得出m//n，也可能是m、n相交或异面，选项C错误；
对于D，m，n为直线，α为平面，若m⊥α，n⊥α，根据直线与平面垂直的性质定理知，m//n，选项D正确．
故选：BD.
根据空间的线面平行、与垂直关系，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．
本题考查了空间中的平行和垂直关系的应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：对于A，a2+b2>c2，
则有余弦定理可知，csC>0，即C为锐角，最大角不确定，故A错误，
对于B，在△ABC中，若A>B，
则a>b，
因此sinA>sinB，故B正确，
对于C，若sin2A=sin2B，
则2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=π2，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故C正确，
对于D，由重心的性质可知，D正确．
故选：BCD.
对于A，结合余弦定理，即可求解，
对于B，结合正弦定理，即可求解，
对于C，根据正弦函数的性质，即可求解，
对于D，结合重心的性质，即可求解．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
11.【答案】AC
【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
不妨设a=(1,1),b=(−1,1)，
则由图形可知，P(2,2)，Q(2,5)，R(3,4)，S(4,3)，T(5,2)，
所以PQ=(0,3),PR=(1,2),PS=(2,1),PT=(3,0)，
对于A，由于32a+32b=(32,32)+(−32,32)=(0,3)=PQ，
故选项A正确；
对于B，由于−32a−32b=(−32,−32)−(−32,32)=(0,−3)≠PT，
故选项B错误；
对于C，由于32a−12b=(32,32)−(−12,12)=(2,1)=PS，
故选项C正确；
对于D，由于32a+b=(32,32)+(−1,1)=(12,52)≠PR，
故选项D错误．
故选：AC.
建立平面直角坐标系，再根据平面向量基本定理进行判断即可．
本题主要考查平面向量基本定理的应用，利用坐标法求出向量坐标是解决本题的关键，是中档题．
12.【答案】3
【解析】解：根据棱柱的体积公式V=Sh，其中S是底面积，h是高，
由图2得水面是中截面，水面以上部分是一个三棱柱，
∴这个三棱柱的底面积是原来三棱柱底面的14，
则这个小三棱柱的体积是大棱柱体积的14(高一样)，
∴水的体积是大三棱柱体积的34，
∴图1中水面的高度是棱柱高的34，
则图1中容器水面的高度为3.
故答案为：3.
根据水的体积与棱柱体积的关系，即可得出答案．
本题考查棱柱的结构特征，考查转化思想，考查逻辑推理能力，属于中档题．
13.【答案】3π4
【解析】解：∵a+2b+3c=0，
∴a=−2b−3c，
代入a⋅b=b⋅c，得(−2b−3c)⋅b=b⋅c，即|b|= −2b⋅c，
再代入b⋅c=c⋅a，b⋅c=c⋅(−2b−3c)，即|c|= −b⋅c，
∴cs=b⋅c|b|⋅|c|=− 22，
∴b与c的夹角为3π4，
故答案为：3π4.
由a+2b+3c=0，得到a=−2b−3c，结合a⋅b=b⋅c=c⋅a，得到|b|= −2b⋅c，|c|= −b⋅c，然后代入数量积求夹角公式求解．
本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，是中档题．
14.【答案】30 2
【解析】解：由题意画出示意图，如图：
可得∠CAB=30∘，∠BCA=105∘，AC=60，
则∠B=180∘−30∘−105∘=45∘，
在△ABC中，由正弦定理得BCsin∠CAB=ACsinB，即CB12=60 22，
解得CB=30 2.
故答案为：30 2.
由题意画出示意图，求出各角的度数后，由正弦定理即可得解．
本题主要考查正弦定理及其应用，解三角形的实际应用等知识，属于基础题．
15.【答案】解：(1)AB=(1,2),AC=(m,m−2)…(2分)
∵A，B，C不共线，
∴2m≠m−2即m≠−2…(4分)
(2)BA=(−1,−2)BC=(m−1,m−4)BA⋅BC=0
∴m=3…(7分)
AB=(1,2),AC=(3,1)，
csA=AB⋅AC|AB|⋅|AC|=5 5⋅ 10= 22
∠A=π4…(10分)
【解析】(1)表示出AC,AB，A，B，C可构成三角形，AC,AB不共线，求出实数m的取值范围；
(2)∠B为直角的直角三角形，BA⊥BC，数量积为0，求实数m的值，再利用向量的数量积公式求出夹角即可．
本题考查向量的数量积判断两个向量的垂直关系，考查计算能力，是基础题．
16.【答案】解：(1)已知a=2 2，b=5，∠C=π4，
由余弦定理得：c2=25+8−2×5×2 2csπ4=13，
所以c= 13.
由正弦定理得：csinπ4=asinA⇒sinA=2 1313.
(2)因为a=2 2