2024年广东省深圳市宝安区海韵学校中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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1. 如图，数轴上表示的点A到原点的距离是（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了绝对值的意义，根据绝对值的定义即可得到结论．
【详解】解：数轴上表示的点A到原点的距离是3，
故选：B
2. 下面四幅图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A. 科克曲B. 笛卡尔心形线
C. 赵爽弦图D. 斐波那契螺旋线
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形即在平面内，沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形即把一个图形绕某一点旋转后能与自身重合，这个图形就是中心对称图形．
【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选B
3. “你以为你已经很爱很爱妈妈了，但妈妈远比你想象中更爱更爱更爱你”．这是2021年2月12日大年初一全国上映的电影《你好，李焕英》中的一句话，这部电影首日票房就达298000000元，数字298000000用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，解题的关键是掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
4. “科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现，某班50名同学的视力检查数据如表，其中有两个数据被遮盖，下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）
A. 中位数，众数B. 中位数，方差
C. 平均数，方差D. 平均数，众数
【答案】A
【解析】
【分析】根据表格中的数据，求得视力为4.9和5.0的总人数，然后根据各统计量的求解方法判断即可．
【详解】解：根据表格数据，可得视力为4.9和5.0的总人数为（人）
视力为4.7所占人数最多为12，因此众数为4.7
从小到大排列后处在第25、26位的两个数是4.7、4.7，因此中位数为4.7
则与被遮盖的数据无关的是中位数和众数，
故选：A．
【点睛】本题考查了中位数、众数、方差以及平均数的意义和求解方法，理解每个统计量的实际意义和求解方法是解题的关键．
5. 若点在平面直角坐标系的第三象限内，则x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】第三象限上的点，横坐标小于0，纵坐标小于0，从而得出关于x的一元一次不等式组，解不等式组，将解集在数轴上表示出来即可．
【详解】解：∵点在平面直角坐标系的第三象限内，
∴，
∴，
不等式的解集为：，
在数轴上可表示为： ，
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解题的关键在于熟记平面直角坐标系上点的特点，列出不等式组．
6. 乐乐观察“抖空竹“时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE＝92°，∠DCE＝115°，则∠E的度数是（ ）
A. 32°B. 28°C. 26°D. 23°
【答案】D
【解析】
分析】延长DC交AE于F，依据AB∥CD，∠BAE=92°，可得∠CFE=92°，再根据三角形外角性质，即可得到∠E=∠DCE-∠CFE．
【详解】解：如图，延长DC交AE于F，
∵AB∥CD，∠BAE=92°，
∴∠CFE=92°，
又∵∠DCE=115°，
∴∠E=∠DCE-∠CFE=115°-92°=23°，
故选：D．
【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，解题关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
7. 龙泉窑是中国历史上的一个名窑，宋代六大窑系，某龙泉窑瓷器工厂烧制龙泉青瓷茶具，每套茶具由1个茶壶和6只茶杯组成，用1千克瓷泥可做3个茶壶或9只茶杯，现要用6千克瓷泥制作这些茶具，设用x千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题．设用x千克瓷泥做茶壶，则可制作个茶壶，个茶杯，根据“每套茶具由1个茶壶和6只茶杯组成”即可列出方程．
【详解】解：设用x千克瓷泥做茶壶，则用千克瓷泥做茶杯，
根据题意得：．
故选：A
8. 下列命题正确的是（ ）
A. 同圆或等圆中，若，则
B. 有一组角相等及两组边成比例的两个三角形相似
C. 关于x的方程有增根，那么
D. 二次函数图象与坐标轴有两个交点
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据圆心角、弧、弦的关系定理、相似三角形的判定定理、分式方程的增根，二次函数图象与坐标轴的交点情况判断即可．
【详解】解：A、同圆或等圆中，当时，，故本选项命题是假命题，不符合题意；
B、两组边成比例、夹角相等的两个三角形相似
C、关于x的方程可化为，
由题意可知：方程增根是，则，故本选项命题是假命题，不符合题意；
D、二次函数的图象与x轴有一个交点，与y轴有一个交点，
二次函数图象与坐标轴有两个交点，故本选项命题正确；
故选：D．
9. 如图，用尺规过圆外一点P作已知圆O的切线，下列作法无法得到为切线的是（ ）
A. 作中垂线交于点D，再以D为圆心，为半径，作圆D交圆O于点A，连接
B. 以O为圆心，为半径作圆弧交延长线于D，再以D为圆心，为半径作弧，两弧交于点A，连接
C. 先用尺规过点D作垂线，再以O为圆心，为半径画弧交垂线于B，再以P为圆心，为半径画弧交圆O于点A，连接
D. 以P为圆心，为半径画弧，再以O为圆心，为半径画弧，两弧交于点D，连接交圆O于点A，连接
【答案】D
【解析】
【分析】利用圆周角性质定理，中位线性质定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质进行分析，从而判断出结果．
【详解】解：A、连接，
为直径，
，可得到为切线．
B、过点O作，垂足为E，为以为圆的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为半径，可得到为切线．
C、先用尺规过点作垂线，再以为圆心，为半径画弧交垂线于，再以为圆心，为半径画弧交圆于点，连接，
，
，可得到为切线．
D、以为圆心，为半径画弧，再以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，是等边三角形，连接交圆于点，连接，如果为切线，则，必须为中点，
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是圆的切线的作法，包含了圆周角的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线性质定理，相似三角形的判定与性质，熟悉性质是本题的关键．
10. 在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．由图象可知线段的长为（ ）
A. 7B. 6C. 5D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了求二次函数解析式，解题的关键是：从图中获取信息．在中，，，则，求得的长，用顶点法，设函数解析式，用待定系数法，求出函数表达式，即可求解，
【详解】解：在中，，，则，
当时，，解得：（负值已舍去），
∴，
∴抛物线经过点，
∵抛物线顶点为：，
设抛物线解析式为：，
将代入，得：，解得：，
∴，
当时，，（舍）或，
∴，
故选：B．
二.填空题（共5小题，共15分）
11. 如果（都不等于零），那么_____．
【答案】##
【解析】
【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质．
【详解】∵，
∴设，（），
∴，
故答案为：．
12. 关于的方程的一个根为，则另一个根是________．
【答案】
【解析】
【分析】设另一个根是a，根据“若，是一元二次方程的两个实数根，则，”，即可求解．
【详解】解：设另一个根a，
∵关于的方程的一个根为，
∴，
解得：．
故答案为：．
13. 如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则的值是 _______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图像及性质，待定系数法求函数解析式，坐标与轴对称，解题关键是求解反射后的直线方程．首先求出点关于y轴的对称点为，由对称可知反射光线所在直线过点，再由待定系数法求解反射光线所在直线即可求解．
【详解】解：点关于y轴的对称点为，
反射光线所在直线过点和，
设的解析式为：，过点，
，
，
的解析式为：，
反射后经过点，
，
．
故答案为：．
14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B分别在x轴、y轴上，E为正方形对角线的交点，反比例函数的图象经过点C，E．若正方形的面积为10，则k的值是 _____．

【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，利用全等三角形的判定与性质求出点C的坐标是解题的关键．设点C的坐标为，过点C作轴，证明，得出点E的坐标，再根据点C和点E都在反比例函数的图象上，根据正方形面积结合勾股定理即可求解．
【详解】解：设点C的坐标为，过点C作轴，

∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
则点A的坐标为，
∵点E为正方形对角线的交点，
∴点E为的中点，
∴点E的坐标为，即，
∵点C和点E都在反比例函数的图象上，
，
∴，
∴，
∵正方形的面积为10，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴点C的坐标为，
∴．
故答案为：4．
15. 如图，矩形的对角线和交于点，，．将沿着折叠，使点落在点处，连接交于点，交于点，则 ____________________．

【答案】
【解析】
【分析】连接，设交于点，勾股定理得出，等面积法求得，然后求得，根据中位线的性质得出，证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，设交于点，

∵矩形中，，．
∴，
∵矩形的对角线和交于点，将沿着折叠，使点落在点处
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
三.解答题（共7小题，共55分）
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先化简绝对值，零次幂及特殊角的三角函数、负整数指数幂，然后计算加减法即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】题目主要考查绝对值，零次幂及特殊角的三角函数、负整数指数幂，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
17. 先化简代数式，然后再从1，2，3中选择一个适当的数代入求值．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先计算括号内的，再计算除法，然后根据分式有意义的条件可得，再代入，即可求解．
【详解】解：
，且，
∴，
当时，原式．
18. 为了了解学生掌握环境保护知识的情况，进一步增强学生绿色文明意识、生态保护意识，号召学生积极参与到环境保护的行动中来，某校举行了“保护环境，人人有责”的知识测试，现随机抽取了部分学生的测试成绩，发现成绩（单位：分）的最低分为50分，最高分为98分，并绘制了如下尚不完整的统计图：
学生的测试成绩分成5组：A（），B（），C（），D（），E（）．
请根据图表提供信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，C组所对应的扇形圆心角是_______度；
（2）若本校共有1000名学生参加本次知识测试，请估计全校参加本次知识测试的学生成绩在E组的有多少人；
（3）本次抽样调查成绩在E组的学生中有2名是女生，校团委将从E组学生中随机抽取2名学生，参加全市环境保护知识竞赛，求恰好抽中2名女生的概率．
【答案】（1）108 （2）125人
（3）
【解析】
分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体：
（1）用B组的人数除以其人数占比求出参与调查的人数，进而求出C组的人数占比，再用360度乘以C组的人数占比即可得到答案；
（2）先求出样本中E组的人数，进而用1000乘以样本中E组的人数占比即可得到答案；
（3）先求出E组的男生人数为3人，再画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到恰好抽中2名女生的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：人，
∴参与调查的人数为40人，
∴本次调查中，C组所对应的扇形圆心角是度，
故答案为：108；
【小问2详解】
解：人，
∴估计全校参加本次知识测试的学生成绩在E组的有125人；
【小问3详解】
解：E组一共有人，
∵在E组的学生中有2名是女生，
∴在E组的学生中有3名是男生，
画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中恰好抽中2名女生的结果有2种，
∴恰好抽中2名女生的概率为．
19. 临近期末，某文具店需要购进一批2B涂卡铅笔和0.5mm黑色水笔，已知用600元购进铅笔与用400元购进水笔的数量相同，且每支铅笔比每支水笔进价高1元．
（1）求这两种笔每支的进价分别是多少元？
（2）该商店计划购进水笔的数量比铅笔数量的2倍还多60支，且两种笔的总数量不超过360支，售价见店内海报（如图所示）．该商店应如何安排进货才能使利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）每支铅笔3元，每支水笔2元．
（2）商店购进铅笔100支，水笔260支时，能使利润最大，最大利润为230元．
【解析】
【分析】（1）根据题中的已知条件列分式方程，解方程即可得到答案，分式方程的应用题，注意检验；
（2）根据题意，先求出铅笔购买数量的取值范围，然后写出费用关于铅笔数量的函数关系式，根据函数的增减性可得购买数量，进而可求得最大利润．
【小问1详解】
解：设每支铅笔的进价为x元，则每支水笔的进价为（x-1）元，
由题意可得： ，
解得，x=3，
经检验，x=3是原分式方程的解，
∴每支铅笔3元，每支水笔2元．
【小问2详解】
解：设购进铅笔a支，则购进水笔（2a+60）支，
由题意可得，a+2a+60≤360，
解得 a≤100，
总利润W=（4-3）a+（2.5-2）（2a+60）
=2a+30
∵k=2>0，
∴W随a的增大而增大，
故当a=100时，利润最大，最大利润=2×100+30=230（元），
所以商店购进铅笔100支，水笔260支时，能使利润最大，最大利润为230元．
【点睛】本题考查方程、不等式、一次函数的综合，准确理解题意是解题的关键，分式方程易忘记检验，需要注意．
20. 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由菱形的性质得且，再证明，则四边形是平行四边形，然后证明，即可得出结论．
（2）过点作于点，则，得，由菱形的性质和勾股定理得，再由菱形面积求出的长，进而由勾股定理求出的长，然后由三角形面积求出的长，即可解决问题．
【小问1详解】
证明：四边形是菱形，
且，
，
，
即，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形；
【小问2详解】
解：如图，过点作于点，
则，
，
四边形是菱形，，，
，，，
在中，由勾股定理得：，
，
，，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握矩形的判定和菱形的性质是解题的关键．
21. 如图（1）是某餐馆外的伸缩遮阳棚，其轮廓全部展开后可近似看成一个圆，即弧，已知和遮阳棚杆子在同一条直线上，且与地面垂直，当上午某一时刻太阳光从东边照射，光线与地面呈角时，光线恰好能照到杆子底部D点，已知长为．
（1）求遮阳棚半径的长度．
（2）如图（2）当下午某一时刻太阳光从西边照射，光线与地面呈角，在遮阳棚外，距离遮阳棚外檐C点正下方E点的F点处有一株高为的植物，请问植物顶端能否会被阳光照射？请说明理由．
（3）如图（3）为扩大遮阳面积，餐馆更换了遮阳棚，新遮阳棚轮廓可近似看成抛物线的一部分，已知新遮阳棚上最高点仍为A点，且外檐点到的距离为、到的距离为．现需过遮阳棚上一点P为其搭设架子，架子由线段、线段两部分组成，其中与地面垂直，若要保证从遮阳棚上的任意一点P（不含A点）都能按照上述要求搭设架子，则至少需要准备______m的钢材搭设架子．
【答案】（1）
（2）植物顶端不能被太阳照射，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）解直角三角形，求得结果；
（2）连接，延长交于，可证得，从而得出，，从而求得的值，进而得出，从而得出，进一步得出结果；
（3）以所在直线为轴，所在的直线为轴建立坐标系，可求得抛物线的解析式为，从而可设设，从而表示出，进一步得出结果．
【小问1详解】
解：如图1，
，，
，
，，
，
；
【小问2详解】
如图2，
植物顶端不能被太阳照射，理由如下：
连接，延长交于，
与相切，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
植物顶端不能被太阳照射；
【小问3详解】
解：如图3，
以所在直线为轴，所在的直线为轴建立坐标系，
，，
设抛物线的解析式为：，
，
，
，
设，
，
当时， 有最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，圆的切线的性质，三角形全等的判定与性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是理解题意，列出函数关系式．
22. （1）【问题探究】如图1，正方形中，点F、G分别在边、上，且于点P，求证：；
（2）【知识迁移】如图2，矩形中，，，点E、F、G、H分别在边、、、上，且于点P．若，求的长；
（3）【拓展应用】如图3，在菱形中，，，点E在直线上，，交直线于点F．请直接写出线段的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或
【解析】
【分析】(1)由正方形的性质得，，而，则，即可根据“”证明，得；
(2)作于点M，交于点J，作于点N，交于点I，由矩形的性质得，，可证明四边形是矩形，则，，所以，再证明四边形是矩形，得，，所以，而，可证明，进而证明，得，则，所以，即可求得的长是；
(3)作于点M，交的延长线于点M，由菱形的性质得，，则，求得，，则，再分两种情况讨论，一是点E在线段上，则，，，求得，设设于点G，，则，求得，则，由，求得，则；二是E在线段的延长线上，则，，求得，设设于点L，则，求得，则，由，求得，则．
【详解】（1）∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）如图2，作于点M，交于点J，作于点N，交于点I，则，
∵四边形是矩形，，，
∴，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵于点P，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
∴的长是．
（3）线段的长为或，理由如下：
如图3，作于点M，交的延长线于点M，则，
∵四边形是菱形，，，
∴，，
∴，
∴， ，
∴，，
∴，
当点E在线段上，且，则，
∴，
∴，
设于点G，则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图4，点E在线段的延长线上，且，则，
∴，
∴，
设于点L，则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上所述，线段的长为或．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．
视力
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
人数
3
3
6
9
12
10
■
■
为期末加油！
2B涂卡铅笔
4元/支
黑色水笔
2.5元/支