广东省深圳市龙岗区德琳学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、单选题（共10题，每小题3分，共30分）
1. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台”，这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只有左右．将0.00003用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法．运用科学记数法进行解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：将0.00003用科学记数法表示为
故选：C
2. 化简所得的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查同底数幂的乘法，关键是根据同底数幂的乘法的法则解答．
根据同底数幂的乘法计算即可．
【详解】解：，
故选：A．
3. 下列乘法中，能运用平方差公式进行运算的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式，解答本题的关键在于熟练掌握平方差公式的概念：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即．
结合平方差公式的概念：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．进行求解即可．
【详解】解：下列运算中，能运用平方差公式进行运算的是：．
故选：B．
4. 如图，直线与直线，都相交．若，，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行同位角相等，即可求解．
【详解】解：，
，
，
．
故选：D．
5. 小文去水果店买西瓜，如图是称西瓜所用的电子秤显示屏上的数据，则其中的变量是（ ）
A. 金额B. 数量C. 单价D. 金额和数量
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查变量与常量，解答本题的关键要明确：变化的量叫变量，恒定不变的量叫常量．
根据变化的量叫变量，恒定不变的量叫常量逐个判断即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，金额单价数量，单价不变，数量与金额是变化的量，
∴单价常量，数量与金额是变量，
故选：D．
6. 小东要从下面四组木棒中选择一组制作一个三角形作品，你认为他应该选（ ）组．
A. 2，3，5B. 3，8，4C. 2，4，7D. 3，4，5
【答案】D
【解析】
【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．
【详解】解：根据三角形三边关系，得
A、2+3=5，不能组成三角形，不符合题意；
B、3+4＜8，不能够组成三角形，不符合题意；
C、2+4＜7，不能够组成三角形，不符合题意；
D、3+4＞5，不能够组成三角形，不符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
7. 马峦山特长隧道是连接坪山新区和盐田区必不可少的交通要塞，也是目前深圳最长的隧道，全长，一辆小汽车匀速通过马峦山隧道，小汽车车身在隧道内的长度记为y米，小汽车进入隧道的时间记为t秒，则y与t之间的关系用图象描述大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，主要考查了根据实际问题作出函数图象的能力．解题的关键是要知道本题是分段函数，分情况讨论与之间的函数关系．
先分析题意，把各个时间段内与之间的关系分析清楚，本题是分段函数，分为三段．
【详解】解：根据题意可知小汽车进入隧道的时间与汽车在隧道内的长度之间的关系具体可描述为：当小汽车开始进入时逐渐变大，小汽车完全进入后一段时间内不变，当小汽车开始出来时逐渐变小，故反映到图象上应选D．
故选：D．
8. 下列说法中正确的个数有（ ）
①从直线外一点到已知直线的垂线段叫做点到直线的距离；
②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
③，，三点在同一直线上且，则是线段的中点；
④在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行与相交；
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了点到直线的距离、垂线段的性质、中点的定义、两直线的位置关系，正确把握相关性质和定义是解题关键．
根据点到直线的距离、垂线段的性质、中点的定义、两直线的位置关系进行判断即可．
【详解】①从直线外一点到已知直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故错误；
②连接直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确；
③A，B，C三点在同一直线上且，则B是线段的中点，正确；
④在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行与相交，正确．
正确的共有3个，
故选：C
9. 如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，如图所示，过点A作，过点B作，则，由得到，则，进而得到，再根据平行线的性质得到，由此即可得到．正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图所示，过点A作，过点B作，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
10. 观察下列算式：①；②；③；…结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（ ）
A. 1B. 3C. 5D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出的个位数字，最后即可得出答案.
【详解】解：由题意，得
．
因为，，，，，，
所以2的乘方运算，其末位数字分别为2，4，8，6，每4个为一组，依次循环．
因为，所以的末位数字为6，所以的末位数字为5，
即的计算结果的末位数字为5．
【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值的运用，主要考查学生阅读理解能力，题目比较好，但有一定的难度.
二、选择题（共5题，每小题3分，共15分）
11. 已知，则＝________．
【答案】12
【解析】
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【详解】解：∵，
∴＝12．
故答案为：12．
【点睛】此题主要考查了同底数幂乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
12. 已知一个角的补角是这个角的4倍，那么这个角的度数是_________．
【答案】36°
【解析】
【分析】设这个角的度数为，根据补角的性质列出方程求解即可．
【详解】设这个角的度数为，可得
解得
故答案为：36°．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，掌握解一元一次方程的解法、补角的性质是解题的关键．
13. 如图，直线与直线相交于点，，射线，则度数为_____．
【答案】##30度
【解析】
【分析】本题考查了角度的计算，理解垂直的定理，根据条件正确解出是关键．
根据条件求得的度数，然后根据即可求解．
【详解】解：∵，
，
，
，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：．
14. 已知是完全平方式，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了完全平方式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
利用完全平方公式得到，从而得到，从而求出值．
【详解】解：∵是完全平方式，
，
，
，
故答案为：．
15. 如图，在等腰中，，，点P从点B出发，以的速度沿向点C运动，点Q从点C出发，以的速度沿向点A运动，当__________时，与全等．
【答案】4或4.8
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边．分两种情况①当时，；当时，，然后分别计算出t的值，进而得到v的值．
【详解】解：设运动时间为t秒，
∵点P从点B出发，以的速度沿向点C运动，点Q从点C出发，以的速度沿向点A运动，
∴，，
∴，
∵，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴；
②当时，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
综上所述：当或4.8时与全等，
故答案为：4或4.8．
三、解答题（共7题，共55分）
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算和整式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先算乘方，再算除法，后算加减，即可解答；
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
．
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先根据整式的运算法则把所给代数式化简在，再把代入计算即可．
【详解】
，
当时，
原式．
18. 如图，点P是内一点，PDAB交于点D．
（1）利用尺规作图：过点P画平行线交于点E．保留作图痕迹；
（2）在（1）的条件下，等于吗？请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）相等，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行线的尺规作图方法作图即可；
（2）根据平行线的性质证明即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：，
理由如下：∵（已知）
∴（两直线平行，同位角相等）
由（1）知：
∴（等量代换）．
【点睛】本题主要考查了平行线的尺规作图，平行线的性质，熟知平行线的相关知识是解题的关键．
19. 如图，，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先证明，再利用即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴．
20. 综合实践小组探究香燃烧时剩余长度（cm）与燃烧时间（分）的关系下面是他们实验过程的示意图以及相关数据，请利用图中信息解答下列问题：

（1）将表格中空缺的数据补充完整；
（2）根据表中信息，分析香燃烧过程中剩余长度y（cm）随燃烧时间（分）的变化规律（写出一个结论即可）；
（3）香的剩余长度（cm）与燃烧时间（分）之间的关系式为______．
【答案】（1）4 （2）香燃烧过程中剩余长度y（cm）随燃烧时间x（分）的增加而减少
（3）
【解析】
【小问1详解】
由题意可知，燃烧时间为分钟时，剩余长度为；
故答案为：．
【小问2详解】
由表格数据可知，香燃烧过程中剩余长度随燃烧时间分的增加而减少．
【小问3详解】
由题意可知，香每燃烧分钟，剩余长度减少，
所以香的剩余长度与燃烧时间分之间的关系式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了函数的实际应用，在求函数解析式时要注意根据实际情况确定自变量的取值范围，除了根据燃烧时间与剩余长度之间的关系来求解析式，还可以运用待定系数法来求函数解析式．
21. 在学习“整式的乘除”这一章时，我们经常构造几何图形来对代数式的变形加以说明，借助直观
阅读下列材料：
材料1：如图1，现有甲，乙，丙三种型号的卡片若干张，乙型号卡片边长为b的正方形，丙型号卡片是长为a宽为b的长方形．


材料2：用1张甲，1张乙和2张丙型号的卡片，拼成正方形，
可以验证：，
验证如下：从整体看是一个边长为的正方形，所以．
从正方形的分割情况看，它的面积是由1张甲，1张乙和2张丙卡片的面积之和，比较两种不同的计算方法，可得．
根据以上材料，解答以下问题
（1）用图1中的卡片，拼成图3所示长方形，可以验证的等式为： ．
（2）用4张丙型号的卡片拼成图4所示正方形框，中间的阴影部分是边长为 的正方形，现用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以验证的等式为： ．
（3）已知图1中的纸片（足够多），利用3种卡片设计一个几何图形来计算画出图形并求出计算结果．
【答案】（1）
（2）；
（3）图见解析，
【解析】
【分析】（1）由图可知大长方形的长为：，宽为：，即有大长方形的面积为：，再根据大长方形的面积等于图中各个卡片的面积和，即可作答；
（2）结合图形可知：中间的阴影部分的边长为：，大正方形的的边长为：，即阴影部分的面积为：，再根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小矩形的面积，即可作答；
（3）画出图形，根据（1）、（2）的方法即可作答．
【小问1详解】
由图可知大长方形长为：，宽为：，
∴大长方形的面积为：，
又∵大长方形的面积等于图中各个卡片的面积和，
∴大长方形的面积为：，
∴，
故答案为：；
小问2详解】
结合图形可知：中间的阴影部分的边长为：，大正方形的的边长为：，
∴阴影部分的面积为：，
又∵阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小矩形的面积，
∴阴影部分的面积为：，
化简为：，
∴，
故答案为：；；
【小问3详解】
如图，
，
由图可知大长方形的长为：，宽为：，
∴大长方形的面积为：，
又∵大长方形的面积等于图中各个卡片的面积和，
∴大长方形的面积为：，
∴．
【点睛】此题主要考查完全平方式，多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
22. 实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角．
（1）利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，，请解释进入潜望镜的光线m为什么和离开潜望镜的光线是平行的？（请把证明过程补充完整）
理由：∵（已知），
∴（① ），
∵，（已知），
∴（② ），
∴，即：，
∴（③ ）
（2）显然，改变两面平面镜AB、CD之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变，如图3，一束光线m射到平面镜AB上，被AB反射到平面镜CD上，又被CD反射．若被CD反射出的光线n和光线m平行，且，则∠6=______°，∠ABC=______°．
（3）请你猜想：图3中，当两平面镜AB、CD的夹角∠ABC=______°时，可以使任何入射光线m经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行、请说明理由．
【答案】（1）①两直线平行，内错角相等；②等量代换；③内错角相等，两直线平行；
（2）96，90 （3）当时，可以使任何入射光线m经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据两直线平行内错角相等得，根据角之间的关系等量代换得，即可得，根据内错角相等两直线平行即可得；
（2）由题意得，，，即可得，根据得，可得，即可得，根据三角形内角和定理即可得；
（3）由（1）得，，，根据，得，即可得，等量代换得即，根据三角形内角和定理即可得．
【小问1详解】
证明：∵（已知），
∴（①两直线平行，内错角相等 ），
∵，（已知），
∴（②等量代换 ），
∴，即：，
∴（③内错角相等，两直线平行 ）
故答案为：①两直线平行，内错角相等；②等量代换；③内错角相等，两直线平行；
【小问2详解】
解：由题意得，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：96，90．
【小问3详解】
当时，可以使任何入射光线m经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线n平行，理由如下：
解：由（1）得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是理解题意，掌握平行线的判定与性质．
燃烧时间/分
剩余长度/