江苏省苏锡常镇四市2024届高三下学期教学情况调研考试数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合，，若中有2个元素，则a取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3. 某学生通过计步仪器，记录了自己最近30天每天走的步数，数据从小到大排序如下：
5588 6054 8799 9851 9901 10111 11029 11207 12634 12901
13001 13092 13127 13268 13562 13621 13761 13801 14101 14172
14191 14292 14426 14468 14562 14621 15061 15601 15901 19972
估计该学生最近30天每天走的步数数据的第75百分位数为（ ）
A. 14292B. 14359C. 14426D. 14468
4. 若函数是定义在R上的奇函数，则（ ）
A 3B. 2C. D.
5. 有4个外包装相同的盒子，其中2个盒子分别装有1个白球，另外2个盒子分别装有1个黑球，现准备将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上的一个动点，且“”的最小值是，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知圆，过点的直线l与圆O交于B，C两点，且，则（ ）
A. 2B. C. D.
8. 如图，圆和圆外切于点，，分别为圆和圆上的动点，已知圆和圆的半径都为1，且，则的最大值为（ ）
A. 2B. 4C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B. 在区间单调递减
C. 在区间的值域为
D. 在区间有3个极值点
10. 已知正四棱锥的所有棱长均相等，为顶点在底面内的射影，则下列说法正确的有（ ）
A. 平面平面
B. 侧面内存在无穷多个点，使得平面
C. 在正方形的边上存在点，使得直线与底面所成角大小为
D. 动点分别在棱和上（不含端点），则二面角范围是
11. 已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则________．
13. 已知，若平面内满足到直线的距离为1的点有且只有3个，则实数________．
14. 有序实数组称为维向量，为该向量的范数，范数在度量向量的长度和大小方面有着重要的作用．已知维向量，其中．记范数为奇数的的个数为，则______；______．（用含的式子表示）
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知中，角所对的边分别为.
（1）求角；
（2）若，且的周长为，求的面积.
16. 单位面积穗数､穗粒数､千粒重是影响小麦产量主要因素，某小麦品种培育基地在一块试验田种植了一个小麦新品种，收获时随机选取了100个小麦穗，对每个小麦穗上的小麦粒数进行统计得到如下统计表：
其中同一组中的数据用该组区间的中点值作代表.从收获的小麦粒中随机选取5组，每组1000粒，分别称重，得到这5组的质量（单位：）分别为：.
（1）根据抽测，这块试验田的小麦亩穗数为40万，试估计这块试验田的小麦亩产量（结果四舍五入到）；
公式：亩产量亩穗数样本平均穗粒数
（2）已知该试验田穗粒数近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.若小麦穗粒数不低于28粒的穗数超过总体的，则称该小麦品种为优质小麦品种，试判断该试验田中的小麦品种是否为优质小麦品种.
参考数据：若近似服从正态分布，则.
17. 如图，在四棱柱中，四边形与四边形是面积相等的矩形，，，平面平面为的中点.
（1）求点到平面距离的差；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18. 三等分角是古希腊几何尺规作图的三大问题之一，如今数学上已经证明三等分任意角是尺规作图不可能问题，如果不局限于尺规，三等分任意角是可能的.下面是数学家帕普斯给出的一种三等分角的方法：已知角的顶点为，在的两边上截取，连接，在线段上取一点，使得，记的中点为，以为中心，为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，为半径作圆，与双曲线左支交于点（射线在内部），则.在上述作法中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，若，点在轴的上方.
（1）求双曲线的方程；
（2）若过点且与轴垂直的直线交轴于点，点到直线的距离为.
证明：①为定值；
②.
19. 已知函数.
（1）若，讨论的单调性；
（2）已知存在，使得在上恒成立，若方程有解，求实数的取值范围.穗粒数
穗数
4
10
56
22
8