上海市嘉定区迎园中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、单选题(共6小题，每题3分，共18分)
1. 下列各点中，在直线上的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．分别把各点代入一次函数的解析式进行检验即可．
【详解】解：A．当 时，，故不合题意；
B．当时，，故不合题意；
C．当时，，故符合题意；
D．当时，，故不合题意．
故选：C．
2. 若一次函数的图象如图所示， 则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. y随x的增大而增大D. 当时，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据一次函数的图象和一次函数的性质，可以判断出各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】由图象可得，
一次函数图象过第一、二、四象限，则，故选项A错误，不符合题意；
令，则，故选项B错误，不符合题意；
y随x的增大而减小，故选项C错误，不符合题意；
当时， ，故选项D正确，符合题意；
故选∶ D．
3. 下列方程或方程组中，有实数解的是（ ）
A. ；B. ；
C. ；D. ．
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程、二次根式有意义的条件、一元二次方程根的判别式，根据解分式方程、二次根式有意义的条件、一元二次方程根的判别式逐项判断即可得出答案．
【详解】解：A、当，时，，故有实数解，符合题意；
B、两边同时乘得：，当时，，故没有实数解，不符合题意；
C、由二次根式有意义的条件可得：，，解得，此时左边右边，故没有实数解，不符合题意；
D、由得：，整理得：，，方程无解，故没有实数解，不符合题意；
故选：A．
4. 如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是（ ）
A. 180°B. 270°C. 360°D. 540°
【答案】B
【解析】
【分析】分四边形剪去一个角，边数减少1，不变，增加1，三种情况讨论求出所得多边形的内角和，即可得解．
【详解】解：剪去一个角，若边数减少1，则内角和＝（3﹣2）×180°＝180°，
若边数不变，则内角和＝（4﹣2）×180°＝360°，
若边数增加1，则内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，
所以，所得多边形内角和的度数可能是180°，360°，540°，不可能是270°．
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，要注意剪去一个角有三种情况．
5. 学校准备举办一次摄影展览，在一张长和宽分别为18 厘米和12厘米矩形相片周围镶上一圈等宽的彩纸．经试验，彩纸面积为相片面积的 时较美观，求所镶彩纸的宽．若设：所镶彩纸的宽为x厘米．下面是强强同学所列的3 个方程，其中正确的个数是（ ）
（1）
（2）
（3）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，由所镶彩纸的宽为x厘米，可得出照片和彩纸组成的矩形长为( 厘米，宽为 厘米，结合彩纸面积为相片面积的 即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵所镶彩纸的宽为x厘米，
∴照片和彩纸组成的矩形长为厘米，宽为厘米，
又∵彩纸面积为相片面积的
∴可列方程：



即
∴所列的三个方程均正确．
故选∶ D．
6. 取一次函数部分的自变量x值和对应函数y值如表：根据信息，下列说法正确的个数是（ ）
①；②当时；③；④不等式的解集是．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征，认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系及一次函数的增减性是解决本题的关键．
认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系及一次函数的增减性是解决本题的关键．根据表格数据逐项判定即可求解．
【详解】①由表格可知，时，，，即， 故本选项说法正确，符合题意；
②由表格可知，时，，且y随x的增大而增大，即当时，故本选项说法正确，符合题意；
③由表格可知，时，，即，则有，故本选项说法错误，不符合题意；
④由表格可知，时，，且y随x的增大而增大，即不等不等式的解集是，故本选项说法正确，符合题意；
故选∶ C．
二、填空题(共12小题，每题2分，共24分)
7. 已知函数，那么_________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据自变量与函数值的对应关系，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了函数值，利用自变量与函数值的对应关系是解题的关键．
8. 直线在轴上的截距是___________．
【答案】
【解析】
【分析】令，求得的值，即可判断.
【详解】解：令，
，
直线在y轴上的截距是
【点睛】本题考查直线截距的求法，考查运算求解能力，属于基础题.
9. 方程的解是___．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解无理方程，能把解无理方程转化成解有理方程是解此题的关键，注意解无理方程一定要进行检验．根据得出或，求出的值，再进行检验即可．
【详解】解：，
或，
解得：或，
经检验是原方程的解，不是原方程的解，
所以原方程的解是，
故答案为：．
10. 如果一个多边形的内角和为，那么过这个多边形的一个顶点可作___________条对角线．
【答案】4
【解析】
【分析】根据多边形的内角和是，可以求出多边形的边数，再根据多边形的一个顶点的对角线的条数与边数的关系：一个顶点的对角线条数等于边数减3，即可得解．
【详解】解：根据题意，得
，
解得：，
那么过这个多边形的一个顶点可作条对角线．
【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，过多边形的一个顶点的对角线的条数边数．
11. 已知点，在函数的图像上，则______．（填、或）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质，，y随x的增大而减小，结合，计算即可，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】∵点，在函数的图像上，
∴，y随x的增大而减小，
∵，
∴，
故答案为：．
12. 有两块正方形纸片，较大的面积比较小的面积大28，较大纸片的边长比较小的纸片的边长大2，则两个纸片的面积分别是_______和_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】此题考查了平方差公式及解方程组的能力，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据题意得出 ，，求解即可得出答案．
【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，
根据题意得：，
可得
解得：，
则大正方形的边长为，小正方形的边长为．
大正方形的面积为，小正方形的面积为．
故答案为：，．
13. 在分式方程中，令，则原方程可化为关于y的方程是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用换元法，将代入原方程，再将其化为整式方程即可．
【详解】解：设，则原方程可化为，
即，
故答案为：．
【点睛】考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程是常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解分式方程的特点，寻找解题技巧．
14. 如图，正方形，边在轴正半轴上，顶点，在直线上，如果正方形边长是1，那么点的坐标是____________________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，涉及到正方形的性质、点的坐标，解题的关键是熟练掌握正方形的性质求得点、的坐标．令可得，即点根据正方形的性质可得点的横坐标，待入解析式即可求得点的纵坐标，继而根据正方形的性质可得点的坐标．
【详解】解：正方形，边在轴的正半轴上，
，，、、、轴，
顶点，在直线，
令，则，
点，
点的横坐标为3，
将代入直线，得，
点、的纵坐标是，
即，
点的横坐标为，
即点，
故答案为：．
15. 如图，已知A地在B地正南方3千米处，甲、乙两人同时分别从A、B两地向正北方向匀速直行，他们与A地的距离S（千米）与所行时间t（小时）之间的函数关系图象如图所示的AC和BD给出，当他们行走3小时后，他们之间的距离为________千米．
【答案】1.5##
【解析】
【分析】根据图分别求出甲乙行走时的路程与时间的函数关系，从坐标图中可以读出两函数过的点，将坐标点代入函数表达式中即可找到两函数关系式，求出时间为3小时甲乙到A地的距离，其差为两人之间的距离．
【详解】由题，图可知甲走的是AC路线，乙走的是BD路线，设（t>0），因为AC过(0,0)，(2,4) 所以代入函数得：k=2，b=0，所以；因为BD过(2,4)， (0,3)所以代入函数得： ，b=3，所以．当时，，，所以．
故答案为：1.5
【点睛】本题考查得是一元函数在实际生活中的应用，数形结合，求其解析式，可根据题意解出符合题意的解，很常见的中档题类型．
16. 某公司在2022年的盈利额为300万元，预计2024年的盈利额将达到363万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2023年的盈利额为_________万元．
【答案】330
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设平均每年盈利额增长的百分率为x，利用2023年的盈利额年的盈利额平均每年盈利额增长的百分率，列出一元二次方程，解之取其正值得出平均每年盈利额增长的百分率，即可解决问题．
【详解】解：依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
（万元）
即该公司在2022年的盈利额为330万元，
故答案为：330．
17. 如图，点A的坐标为， 将沿x轴向右平移得到， 若点A的对应点落在直线上， 则点 B与其对应点间的距离为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形变换中的平移，将代入一次函数解析式中求出点的坐标是解题的关键．先求出点的坐标，然后再根据平移的性质进行求解即可．
【详解】解：把代入得：，
解得：，
∴点的坐标为，
沿x轴向右平移个单位得到，
∴点B与其对应点间的距离为．
故答案为：．
18. 如图，直线和x轴、y轴分别交于点A、点B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角，，如果在直角坐标平面内有一点，且的面积与的面积相等，则a的值为______．
【答案】−4或．
【解析】
【分析】由已知求出A、B的坐标，求出三角形ABC的面积，再利用S△ABP=S△ABC建立含a的方程，把S△ABP表示成有边落在坐标轴上的三角形面积和、差，通过解方程求得答案．
【详解】解：如图，连接OP，
∵直线与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A(，0)，B(0，1)，AB==2，
∴S△ABP=S△ABC=2，
又S△ABP=S△OPB+S△OAB−S△AOP，
∴|a|×1+×1−=4，
解得a=−4或，
故答案为−4或．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用；解函数图象与面积结合的问题，要把相关三角形的面积用边落在坐标轴的其他三角形面积来表示，这样面积与坐标之间就建立了联系；把S△ABP表示成有边落在坐标轴上的三角形面积和、差是正确解答本题的关键．
三、简答题(共5小题， 19-22题每题6分， 23题每题8分， 共32分)
19. 解方程∶ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查无理方程的解法，两边同时平方，移项将带根号的式子与整式分在等号两边，两边再次平方，化简可得一个一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】
，
解得：，，
经检验是增根，舍去，
∴原方程的根为．
20. 解方程：
【答案】x＝9
【解析】
【分析】方程两边都乘（x＋1）（x−1）得出6x＝（x＋1）（x−1）−5（x＋1）＋3（x−1），求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】解：
解方程两边都乘（x＋1）（x−1），得6x＝（x＋1）（x−1）−5（x＋1）＋3（x−1），
整理得：x2−8x−9＝0，
解得：x＝9或−1，
检验：当x＝9时，（x＋1）（x−1）≠0，
所以x＝9是原方程的解，
当x＝−1时，（x＋1）（x−1）＝0，
所以x＝−1是增根，
所以x＝−1不是原方程的解，
即原方程的解是x＝9．
【点睛】本题考查了解分式方程和一元二次方程，掌握分式方程的解法并注意验根是解此题的关键．
21. 解方程组∶
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了解二元二次方程组，熟练掌握因式分解法是解题的关键．
根据题意利用因式分解，将原方程组化为或 ，然后分类讨论即可求解．
【详解】解：由①得，或
将它们与方程②分别组成方程组，得：
或
分别解这两个方程组，
得原方程组的解为
，．
22. 用换元法解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了换元法解方程组．设，，则原方程组可化为，求出，从而得到，求解即可．
【详解】解：设，，则原方程组可化为，
解得，
于是，得，
得，
检验：把，代入原方程组中所含各分式的分母，各分母的值不为零，
原方程组的解是．
23. 如图，在平面直角坐标系中（O为坐标原点），已知直线与x轴y轴分别交于点、点，点C的坐标是．

（1）求直线的表达式．
（2）设点D为直线上一点，且．求点D的坐标．
【答案】（1）；
（2）D点坐标为．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）由题意可知点D在线段的垂直平分线上，求出点D的横坐标即可解决问题．
【小问1详解】
解：∵直线与x轴、y轴分别交于点、点，
∴，解得，
∴直线的表达式为：；
【小问2详解】
解：过点D作，垂足为H，如下图所示：

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴把代入直线，
得，解得，
∴D点坐标为．
【点睛】本题考查了一次函数与几何问题，熟练掌握待定系数法以及等腰三角形的性质是解题的关键．
四、解答题(共3小题， 24题7分，25题9分，26题10分， 共26分)
24. 某宾馆有房间40间，当每间房间定价为300元/天时，可全部住满．每间房间定价每增加10元/天，未入住的房间将增加1间．入住的房间的维护费为20元/天，未入住的房间的维护费为5元/天．
（1）当每间房间定价为360元/天时，入住的房间有 间；
（2）若该宾馆每天的收入为11350元，每间房间定价为多少元/天？（宾馆每天的收入=入住的房费-维护费）
【答案】（1）34 （2）400
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键
（1）利用入住的房间数，即可求出结论；
（2）设每间房间定价为x元/天，则入住的房间有间有，根据该宾馆每天的收入要达到11350元，可得出关于x的一元二次方程，求解取其符合题意的值，即可得出结论．
【小问1详解】
解：（间），
∴当每间房间定价为360元/天时，入住的房间有34间．
故答案为： 34；
【小问2详解】
解：设每间房间定价为x元/天，则入住的房间有 间，
根据题意得：
，
整理得：
解得：
又正整数，

答：每间房间定价为400元/天．
25. A团队接到抗疫任务，乘坐巴士从甲地出发赶往乙地执行任务，甲乙两地距离为340千米．他们出发后不久，B专家也接到命令须赶往当地进行支援，他乘坐轿车前往．设A团队走的路程为yA（千米），B专家走的路程为yB（千米），他们前进的时间（从B出发开始计时）为x（小时），yA、yB与x之间的部分函数图像如图所示．
（1）在B专家出发时，A团队已经行进了 千米；B专家的速度是每小时 千米．
（2）当0≤x≤5时，求yA关于x的函数解析式；
（3）如果5个小时后，B专家保持之前的速度继续前进，A团队提高速度去追赶B，提速后的速度是每小时70千米，请问A团队能否在B专家到达乙地之前追上他？如果能够追上，求出此时他们离乙地的距离；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）20，50；
（2）y＝40x+20；
（3）A团队能在B专家到达乙地之前追上他，此时他们离乙地的距离是15千米．
【解析】
【分析】（1）根据图像可知：B专家出发时，A团队已经行进了20千米，然后再求出B专家的速度即可；
（2）由图像可知，B专家出发后2小时追上A团队，此时离甲地2×50＝100（千米），然后再运用待定系数法求得一次函数的解析式即可；
（3）先根据题意求出A团队的速度，进而求得A团队走的路程为yA，B专家走的路程为yB，再求得A团队追上B专家所需的时间，然后求出追上时B专家走的路程，最后用总路程减去即可．
【小问1详解】
解：（1）由图像可知：B专家出发时，A团队已经行进了20千米，
B专家的速度是250÷5＝50（千米/小时），
故答案：20，50．
【小问2详解】
解：由图像可知，B专家出发后2小时追上A团队，此时离甲地2×50＝100（千米），
设当0≤x≤5时，yA关于x的函数解析式是y＝kx+20，将（2，100）代入得：
2k+20＝100，
解得k＝40，
∴当0≤x≤5时，yA关于x的函数解析式是y＝40x+20．
【小问3详解】
解：由题意得，A团队速度是（100﹣20）÷2＝40（千米/小时），
当x＝5时，yA＝40×5+20＝220，yB＝250，
所以A团队追上B专家所需的时间为30÷（70﹣50）＝1.5（小时），
当x＝1.5+5＝6.5时，yB＝50×6.5＝325，
340﹣325＝15（千米），
答：A团队能在B专家到达乙地之前追上他，此时他们离乙地的距离是15千米．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用、一次函数的图像等知识点，正确从一次函数图像获取信息成为解答本题的关键．
26. 已知一次函数的图像与坐标轴交于、点（如图），平分，交轴于点．
（1）求点的坐标；
（2）先求点E坐标，然后在轴上找点P，使得为等腰三角形，请直接写出符合条件的点P坐标；
（3）过点作，垂足为，联结OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积．
【答案】（1）；（2）；；（3）等腰三角形，8
【解析】
【分析】（1）y＝﹣x+6令y＝0即可得B坐标；
（2）过点E作EG⊥AB，垂足为G，证明△AOE≌△AGE得AG＝AO，OE＝GE，设OE＝x，在Rt△BEG中用勾股定理列方程，即可得到答案；
（3）延长BF交y轴于点K，过点F作FH⊥OB，垂足为H，先证明△OFB为等腰三角形，再利用直线AE解析式y＝﹣2x+6，求出FH即可得到答案．
【详解】解：（1）y＝﹣x+6中，令y＝0得x＝8，
∴B（8，0）；
（2）过点E作EG⊥AB，垂足为G，如图：
在中，当x＝0时，y＝6，
∴A（0，6），OA＝6，
而B（8，0），OB＝8，
∴AB＝10，
∵AE平分∠BAO，
∴∠OAE＝∠GAE，
而∠AOE＝∠AGE＝90°，AE＝AE，
∴△AOE≌△AGE（AAS），
∴AG＝AO＝6，OE＝GE，
设OE＝x，则 EG＝x，BE＝8﹣x，BG＝AB﹣AG＝10﹣6＝4，
在Rt△BEG中，GE2+BG2＝BE2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，解得 x＝3，
∴OE＝3，
∴E（3，0），
∴AE＝3，
△AEP为等腰三角形，设P（m，0），则PE＝|m﹣3|，AP＝，
①AE＝PE时，3＝|m﹣3|，解得m＝3+3或m＝﹣3+3，
∴P（3+3，0）或（﹣3+3，0），
②AE＝AP时，3＝，解得m＝3（舍去）或m＝﹣3
经检验：符合题意，
∴P（﹣3，0）
③PE＝AP时，|m﹣3|＝，解得m＝﹣，
经检验：符合题意，
∴P（﹣，0），
综上所述，△AEP为等腰三角形，P坐标为（3+3，0）或（﹣3+3，0）或P（﹣3，0）或P（﹣，0）；
（3）延长BF交y轴于点K，过点F作FH⊥OB，垂足为H，如图：
∵A（0，6），E（3，0）；
∴直线AE解析式为：y＝﹣2x+6，
∵AE平分∠BAO，
∴∠KAF＝∠BAF，
∵BF⊥AE，
∴∠AFK＝∠AFB＝90°，
而AF＝AF，
∴△AFK≌AFB（ASA），
∴FK＝FB，
∵∠BOK＝90°，
∴OF＝BK＝BF，
∴△OFB为等腰三角形，
∵OF＝BF，FH⊥OB，
∴OH＝BH＝4，
∴F点的横坐标为4，
设F（4，y），
将F（4，y）代入直线AE解析式y＝﹣2x+6，解得 y＝﹣2，
∴FH＝2，
∴．
【点睛】本题考查一次函数、等腰三角形等综合知识，解题的关键是设点的坐标，表示相关线段，再列方程求解．x
…
0
2023
…
y
…
…