福建省福州市鼓楼区文博中学2022—2023学年七年级下学期期末数学试卷

这是一份福建省福州市鼓楼区文博中学2022—2023学年七年级下学期期末数学试卷，共26页。试卷主要包含了在下列实数中，最小的数是，若，则下列不等式一定成立的是等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）在平面直角坐标系中，点所在象限为
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（4分）在下列实数中，最小的数是
A．0B．C．D．3
3．（4分）一个三角形的三边长分别为、3、4，那么的取值范围是
A．B．C．D．
4．（4分）如图，已知，把三角板的直角顶点放在直线上．若，则的度数为
A．B．C．D．
5．（4分）已知是二元一次方程组的解，则的值为
A．2B．4C．8D．3
6．（4分）若，则下列不等式一定成立的是
A．B．C．D．
7．（4分）下列调查中，适合用全面调查方式的是
A．了解一批节能灯泡的使用寿命
B．了解某班级同学的视力情况
C．了解一批袋装食品含防腐剂的超标情况
D．了解福州某河流的水质情况
8．（4分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子来量竿，却比竿子短一托．大意为，现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长4尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短6尺．设绳索长尺，竿长尺，根据题意，可列方程组为
A．B．
C．D．
9．（4分）实数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得
A．B．C．D．
10．（4分）如图，在，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的是
A．1B．2C．3D．4
二.填空题。（共6小题，每小题4分）
11．（4分）不等式的解集是 ．
12．（4分）在平面直角坐标系中，点到轴的距离是 ．
13．（4分）若一个正多边形的一个内角是，则该正多边形是 边形．
14．（4分）如果，是2023的两个平方根，那么 ．
15．（4分）已知，且，，若，则的取值范围是 ．
16．（4分）已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解为 ．
三.解答题（共9小题，共86分）
17．（10分）解下列方程组或不等式组：
（1）；
（2）．
18．（8分）已知的平方根是，的立方根是3，试求的平方根．
19．（6分）如图，已知，，试说明的理由．
20．（8分）如图，、、，把向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△．
（1）在图中画出△．
（2）写出平移后三个点的坐标 ， ， ．
（3）若点在直线上运动，当线段长度最小时，则点的坐标为 ．
21．（8分）纳溪区开展“育本课堂”教学改革，改变学生的学习模式，变“老师要学生学习”为“学生自主学习”，培养了学生自主学习的能力．某中学学生小华与小明同学就“你最喜欢哪种学习方式”随机调查了他们周围的一些同学，根据收集到的数据绘制了以下两个不完整的统计图（如图）．
请根据上面两个不完整的统计图回答问题：
（1）这次抽样调查中，共调查了 名学生；
（2）根据所提供的信息，补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，选择教师直接讲授的占 ，选择小组合作学习的占 ；
（4）根据调查结果，估算该校1800名学生中大约有 人选择小组合作．
22．（10分）某商店计划同时购进一批甲、乙两种型号的计算器，若购进甲型计算器3只和乙型计算器5只，共需资金370元，若购进甲型计算器2只和乙型计算器7只，共需资金430元．
（1）求甲、乙两种型号的计算器每只进价是多少元？
（2）该商店计划购进两种型号的计算器共50只，而可用于购买这两种型号的计算器资金不少于2250元但又不超过2270元，该商店共有几种进货方案？
23．（10分）如图，是外角的平分线，且交的延长线于点．
（1）若，，求的度数；
（2）请你写出、、三个角之间存在的等量关系，并写出证明过程．
24．（12分）阅读理解：
定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”．
问题解决：
（1）在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是 ；（填序号）
（2）若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围；
（3）若方程，都是关于的不等式组的“子方程”，直接写出的取值范围．
25．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，，，现同时将点，分别向上平移2个单位，再向右平移2个单位，分别得到点，的对应点，，连接，．
（1）直接写出点、的坐标： ， ；
（2）如图1，若点在线段上，且，点以每秒1个单位长度的速度从点沿轴正半轴向上运动，是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，已知，射线以的速度绕点顺时针旋转至停止，射线以的速度绕点顺时针旋转，射线、同时开始旋转，同时停止运动．在射线到达之前，会与射线交于点，过作交于，则在转动过程中，的值是否会改变，如果不变请求出这个定值：如果会变，请说明理由．
2022-2023学年福建省福州市鼓楼区文博中学七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题，每小题4分）
1．（4分）在平面直角坐标系中，点所在象限为
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据各象限内点坐标特征解答．
【解答】解：，，
点所在象限为第四象限．
故选：．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
2．（4分）在下列实数中，最小的数是
A．0B．C．D．3
【分析】根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小，即可解答．
【解答】解：，，
，
，
在0，，，3这四个数中，
，
最小的数是，
故选：．
【点评】本题考查了实数的大小比较，算术平方根，熟练掌握两个负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键．
3．（4分）一个三角形的三边长分别为、3、4，那么的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】根据三角形的三边关系列出不等式即可求出的取值范围．
【解答】解：三角形的三边长分别为、3、4，
，即．
故选：．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．
4．（4分）如图，已知，把三角板的直角顶点放在直线上．若，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】根据“两直线平行，内错角相等”求解即可．
【解答】解：如图，
，，
，
，
，
故选：．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键．
5．（4分）已知是二元一次方程组的解，则的值为
A．2B．4C．8D．3
【分析】根据方程的解满足方程，可得关于的方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：由是关于，的二元一次方程的解，得，
解得，
故选：．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，利用方程的解满足方程得出关于的方程是解题关键．
6．（4分）若，则下列不等式一定成立的是
A．B．C．D．
【分析】根据不等式的性质，对选项逐个判断即可．
【解答】解：，，原变形错误，不符合题意；
，，原变形错误，不符合题意；
，（乘以负数，不等号方向改变），正确，符合题意；
，比如，，，，，原变形错误，不符合题意．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的有关性质是解题的关键．
7．（4分）下列调查中，适合用全面调查方式的是
A．了解一批节能灯泡的使用寿命
B．了解某班级同学的视力情况
C．了解一批袋装食品含防腐剂的超标情况
D．了解福州某河流的水质情况
【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
【解答】解：、了解一批节能灯泡的使用寿命，适合用抽样调查，故不符合题意；
、了解某班级同学的视力情况，适合用全面调查，故符合题意；
、了解一批袋装食品含防腐剂的超标情况，适合用抽样调查，故不符合题意；
、了解福州某河流的水质情况，适合用抽样调查，故不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
8．（4分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子来量竿，却比竿子短一托．大意为，现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长4尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短6尺．设绳索长尺，竿长尺，根据题意，可列方程组为
A．B．
C．D．
【分析】根据题意可得等量关系：绳索长竿长尺，竿长绳索长的一半尺，根据等量关系可得方程组．
【解答】解：由题意得：
，
故选：．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数列出方程．
9．（4分）实数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得
A．B．C．D．
【分析】根据图示，可得：，据此化简即可．
【解答】解：根据图示，可得：，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了实数的运算，注意运算顺序，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
10．（4分）如图，在，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的是
A．1B．2C．3D．4
【分析】①根据，和，证明结论正确；
②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；
③证明，根据①的结论，证明结论正确；
④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确．
【解答】解：设交于点．
①，
，
，
，
，
①正确；
②平分，
，
，
，
，
，
②正确；
③，
，
，
，
由①得，，
，
；
③正确；
④，
，
，
，，
，
，
④正确，
故选：．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键．
二.填空题。（共6小题，每小题4分）
11．（4分）不等式的解集是 ．
【分析】两边同时除以，把的系数化成1即可求解．
【解答】解：两边同时除以，得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
解不等式要依据不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
12．（4分）在平面直角坐标系中，点到轴的距离是 3 ．
【分析】点到轴的距离是纵坐标的绝对值，即．
【解答】解：点到轴的距离是，
故答案为：3．
【点评】本题考查平面内点的坐标；熟练掌握平面内点的坐标特点是解题的关键．
13．（4分）若一个正多边形的一个内角是，则该正多边形是 正十 边形．
【分析】先求出外角，再根据外角和公式求边数；也可以直接套用内角和公式，求出边数．
【解答】解：该多边形的一个外角为：，
由外角和公式，可得该正多边形得边数为：，
该多边形是正十边形．
故答案为：正十．
【点评】本题考查多边形得内角与外角，解题的关键时熟记内角和公式或外角和公式．
14．（4分）如果，是2023的两个平方根，那么 ．
【分析】根据平方根的性质可知、互为相反数，再根据相反数的性质即可求出结果．
【解答】解：，是2023的两个平方根，
，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握平方根和相反数的性质是解题的关键．
15．（4分）已知，且，，若，则的取值范围是 ．
【分析】先把，变形为，再由，可得，解得，从而可得，再把，代入，可得，从而确定的范围．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
，
当时，，
当时，，
，
的取值范围是：，
故答案为：．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16．（4分）已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解为 ．
【分析】首先把关于，的方程组的化为，再根据关于，的二元一次方程组解为，得出，解出即可．
【解答】解：方程组的化为，
关于，的二元一次方程组解为，
，
解得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法，其中方程的转化是解题关键．
三.解答题（共9小题，共86分）
17．（10分）解下列方程组或不等式组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用代入消元法，进行计算即可解答；
（2）按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：（1），
由①得：
③，
把③代入②得：
，
解得：，
把代入③得：
，
原方程组的解为：；
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（8分）已知的平方根是，的立方根是3，试求的平方根．
【分析】根据平方根、立方根的定义求出、的值，再代入计算即可．
【解答】解：的平方根是，
，
解得，
又的立方根是3，
，
解得，
，
的平方根是．
【点评】本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义是正确解答的前提．
19．（6分）如图，已知，，试说明的理由．
【分析】由与平行，利用两直线平行，同位角相等得到，利用等式的性质得到，利用同位角相等，两直线平行即可得证．
【解答】解：，
，
，
，
，
．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
20．（8分）如图，、、，把向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△．
（1）在图中画出△．
（2）写出平移后三个点的坐标 ， ， ．
（3）若点在直线上运动，当线段长度最小时，则点的坐标为 ．
【分析】（1）（2）先利用点平移的坐标变换规律写出、、的坐标，然后描点即可；
（3）利用垂线段最短确定点位置，从而得到点坐标．
【解答】解：（1）如图，△为所作；
（2），，；
故答案为：，，；
（3）当时，线段长度最小时，此时点坐标为．
故答案为：．
【点评】本题考查了作图平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
21．（8分）纳溪区开展“育本课堂”教学改革，改变学生的学习模式，变“老师要学生学习”为“学生自主学习”，培养了学生自主学习的能力．某中学学生小华与小明同学就“你最喜欢哪种学习方式”随机调查了他们周围的一些同学，根据收集到的数据绘制了以下两个不完整的统计图（如图）．
请根据上面两个不完整的统计图回答问题：
（1）这次抽样调查中，共调查了 500 名学生；
（2）根据所提供的信息，补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，选择教师直接讲授的占 ，选择小组合作学习的占 ；
（4）根据调查结果，估算该校1800名学生中大约有 人选择小组合作．
【分析】（1）从两个统计图中可知，喜欢“个人自学后教师点拨”的有150人，占调查人数的，根据频率即可求出调查人数；
（2）根据“各组频数之和等于样本容量”可求出喜欢“教师直接讲授”的人数，即可补全条形统计图；
（3）利用各组频率之和等于1可求出喜欢“教师直接讲授”的所占的百分比以及喜欢“小组合作选项”所占的百分比；
（4）用样本中喜欢“小组合作学习”所占的百分比估计总体中喜欢“小组合作学习”所占的百分比，进而求出相应的人数即可．
【解答】解：（1）（名，
故答案为：500；
（2）（名，补全条形统计图如下：
（3）选择“教师直接讲授”的所占的百分比为，
选择“小组合作学习”的所占的百分比为，
故答案为：10，60；
（4）（名，
故答案为：1080．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的前提，掌握频率是正确解答的关键．
22．（10分）某商店计划同时购进一批甲、乙两种型号的计算器，若购进甲型计算器3只和乙型计算器5只，共需资金370元，若购进甲型计算器2只和乙型计算器7只，共需资金430元．
（1）求甲、乙两种型号的计算器每只进价是多少元？
（2）该商店计划购进两种型号的计算器共50只，而可用于购买这两种型号的计算器资金不少于2250元但又不超过2270元，该商店共有几种进货方案？
【分析】（1）设甲种型号的计算器每只进价是元，乙种型号的计算器每只进价是元，根据“购进甲型计算器3只和乙型计算器5只，共需资金370元，购进甲型计算器2只和乙型计算器7只，共需资金430元”，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购进甲种型号计算器只，则购进乙种型号计算器只，根据购买这两种型号的计算器资金不少于2250元但又不超过2270元，列出一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲种型号的计算器每只进价是元，乙种型号的计算器每只进价是元，
依题意得：，
解得：，
答：甲种型号的计算器每只进价是40元只，乙种型号的计算器每只进价是50元只．
（2）设购进甲种型号计算器只，则购进乙种型号计算器只，
依题意得：，
解得：，
又为正整数，
，24，25，
该商店有3种进货方案．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组．
23．（10分）如图，是外角的平分线，且交的延长线于点．
（1）若，，求的度数；
（2）请你写出、、三个角之间存在的等量关系，并写出证明过程．
【分析】（1）根据三角形外角性质求出，即可求出，再利用三角形的外角的性质求出即可．
（2）根据三角形外角性质求出，根据三角形外角求出即可
【解答】解：（1），，，
，
平分，
，
．
（2）结论：．
理由：，
，
．
【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24．（12分）阅读理解：
定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”．
问题解决：
（1）在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是 ③ ；（填序号）
（2）若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围；
（3）若方程，都是关于的不等式组的“子方程”，直接写出的取值范围．
【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；
（2）解不等式组求得其解集，解方程求出，根据“子方程”的定义列出关于的不等式组，解之可得；
（3）先求出方程的解和不等式组的解集，即可得出答案．
【解答】解：（1）解方程得：，
解方程得：，
解方程得：，
解不等式组得：，
所以不等式组的“子方程”是③．
故答案为：③；
（2）解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
解得，
，
解得；
（3）解方程得，
解方程得，
当时，不等式组为，此时不等式组的解集为，不符合题意，舍去；
当时，解关于的不等式组得，
，都是关于的不等式组的“子方程”，
，
解得．
【点评】本题考查了新定义，解一元一次方程和一元一次不等式组，理解“子方程”的定义是解题的关键．
25．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，，，现同时将点，分别向上平移2个单位，再向右平移2个单位，分别得到点，的对应点，，连接，．
（1）直接写出点、的坐标： 0，2 ， ；
（2）如图1，若点在线段上，且，点以每秒1个单位长度的速度从点沿轴正半轴向上运动，是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，已知，射线以的速度绕点顺时针旋转至停止，射线以的速度绕点顺时针旋转，射线、同时开始旋转，同时停止运动．在射线到达之前，会与射线交于点，过作交于，则在转动过程中，的值是否会改变，如果不变请求出这个定值：如果会变，请说明理由．
【分析】（1）由平移的性质即可得出答案；
（2）设，分两种情况，根据面积关系可得出的方程，解方程即可得出答案；
（3）求出，再由平行线的性质和旋转的性质得，，即可解决问题．
【解答】解：（1），，
，，，
将点，分别向上平移2个单位，再向右平移2个单位，分别得到点，的对应点，，
，，，
故答案为：，；
（2）存在，理由如下：
，，
，
设，分两种情况：
①如图1，点在线段上时，，
则，，
，
，
解得：，
；
②如图，点在线段的延长线上时，，
则，，
，
，
解得：，
；
综上所述，存在点，使得，点的坐标为或；
（3）在转动过程中，的值不会改变，理由如下：
如图2，过点作，
，，
，
，，
，
，
，
设运动时间为 ，
射线以速度绕点顺时针旋转至停止，
，
，
射线、同时开始旋转，同时停止运动，
，，，
，
，
，，
，
，
，为定值．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了平移的性质、坐标与图形性质、平行线的判定与性质、旋转的性质、三角形面积、梯形面积公式以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握平行线的判定与性质以及平移的性质是解题的关键，属于中考常考题型．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/15 11:38:02；用户：彼粒星；邮箱：rFmNt3iZ7m9pIbCI01vF5XpREs@；学号：40668998