广东省汕头市金平区汕樟中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列各数是有理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了实数的分类，理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等．
【详解】解：由有理数和无理数的定义可知，四个选项中A、B、D三个选项中的数都是无理数，C选项中的数为有理数，
故选： C．
2. 下列A，B，C，D四幅图案中，能通过平移图案得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平移的性质可进行求解．
【详解】解：观察图形可知，B选项的图案能通过平移图案得到．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平移，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
3. 等于（ ）
A. 2B. ±2C. ﹣2D. ±4
【答案】A
【解析】
【分析】根据算术平方根的概念解答.
【详解】解：∵22＝4，
∴＝2，
故选A．
【点睛】本题考查的是算术平方根的计算，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
4. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的判断，准确分析是解题的关键．根据二元一次方程组的定义，即含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是的方程叫做二元一次方程判断即可．
【详解】解：A、中，未知数的最高次数是，故A选项不符合题意；
B、中，有个未知数，故B选项不符合题意；
C、是二元一次方程组，故C选项符合题意；
D、中未知数在分母上，故D选项不符合题意；
故选：C．
5. 如图，已知AB∥CD，∠A=40°，∠D=45°，则∠1的度数是( )
A. 80°B. 85°C. 90°D. 95°
【答案】B
【解析】
【详解】∵AB∥CD，
∴∠A=∠C=40°，
∵∠1=∠D+∠C，∠D=45°，
∴∠1=45°+40°=85°，
故选：B．
6. 如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法，其依据是（ ）

A. 同旁内角互补，两直线平行
B. 两直线平行，同位角相等
C. 同位角相等，两直线平行
D. 内错角相等，两直线平行
【答案】C
【解析】
【分析】作图时保持∠1＝∠2，则可判定两直线平行．
【详解】如图：

∵∠1＝∠2，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定，善于从问题中抓住问题的本质是关键．
7. 如图表示点A的位置，正确的是（ ）
A. 距离点的地方
B. 在点东偏北的方向上
C. 在点北偏东方向，距点的地方
D. 在点北偏东方向，距点的地方
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查用方向角和距离表示位置，解题关键点：理解用方向角和距离表示位置的方法，用方向角和距离表示位置．
【详解】解：由图，可用方向角和距离表示：A在O点北偏东方向，距O点的地方.
故选D．
8. 下列说法中，正确的个数有（ ）
①不带根号的数一定是有理数； ②任意一个实数都可以用数轴上的点表示；
③无限小数都是无理数； ④是17的平方根；
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据有理数、实数、无理数和平方根的概念判断即可．
【详解】解：①不带根号的数不一定是有理数，如π，所以①错误；
②任意一个实数都可以用数轴上的点表示，正确；
③无限不循环小数都是无理数，所以③错误；
④是17的平方根，正确；
故选：B．
【点睛】此题考查实数，关键是根据有理数、实数、无理数和平方根的概念解答．
9. 如果点在第一、三象限的平分线上，则满足的关系式为（ ）
A. B. C. D. 以上都不对
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是象限内点的坐标特征，根据第一、三象限的角平分线上的点的横、纵坐标相等即可解决．
【详解】解：因为第一、三象限的角平分线上的点的横、纵坐标相等，
所以．
故选：C．
10. 如图，在平面直角坐标系中，OA1＝1，将边长为1的正方形一边与x轴重合按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点A2022的坐标为（ ）

A. （1009，1）B. （1010，1）C. （1011，0）D. （1011，﹣1）
【答案】D
【解析】
【分析】根据横坐标，纵坐标的变化规律，每8个点看作一次循环，再根据点A2022在第253个循环中的第6个点的位置，即可得出点A2022的坐标．
【详解】解：由图可得，第一个正方形中，A1（1，0），A2（1，1），A3（2，1），A4（2，0），
各点的横坐标依次为1，1，2，2，纵坐标依次为0，1，1，0；
第二个正方形中，A5（3，0），A6（3，﹣1），A7（4，﹣1），A8（4，0），
各点的横坐标依次为3，3，4，4，纵坐标依次为0，﹣1，﹣1，0；
根据纵坐标的变化规律可知，每8个点一次循环，
方法一：
∵2016÷8＝252，
∴点A2022在第253个循环中的第6个点的位置，故其纵坐标为﹣1，
又∵A6的横坐标为3，A14的横坐标为7，A22的横坐标为11，
…
∴A2022的横坐标为1011，
∴点A2022的坐标为（1011，﹣1），
方法二：
因为2n＝2022，
所以n＝1011，
即2022为第1011个偶数，
所以横坐标为1011．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了点的坐标变化规律问题以及正方形的性质的运用，解决问题的关键是判断点A2022在第253个循环中的第6个点的位置．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 将命题“同角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为_________________．
【答案】如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等.
【解析】
【分析】每一个命题都是基于条件的一个判断，只要把条件部分和判断部分分开即可.
【详解】解：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等.
12. 若，则______；若，则______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义与性质是解题关键．根据平方根和立方根的定义与性质求解即可．
详解】解：，
，
，
；
，
，
，
；
故答案为：，．
13. 的绝对值是______；的立方根是______；的算术平方根是______；
【答案】 ①. ②. ③.
【解析】
【分析】此题主要考查了实数的相关性质，灵活准确的利用绝对值，立方根、算术平方根是关键．根据算术平方根、立方根、绝对值的概念进行求解．
【详解】解：的绝对值是；
的立方根是；
，
的算术平方根是，
故答案为：，，．
14. 如图，在平面直角坐标系中，A、B坐标分别为、，若将线段AB平移至，则的值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据点的坐标的变化分析出AB的平移方式，再利用平移中点的变化规律算出a、b的值．
【详解】解：∵A（2，0），B（0，1），（3，b），（a，2），
∴线段AB向上平移1个单位，向右平移1个单位得到线段；
∴a＝0＋1＝1，b＝0＋1＝1，
∴a＋b＝2，
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查图形的平移．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
15. 在平面直角坐标系中，已知点，若是轴上一动点，则，两点间的距离的最小值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据垂线段最短求出点B的坐标，从而得到AB的最小值．
【详解】解：当AB⊥x轴时，AB最短，
此时点B的坐标为（-1，0），AB=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了两点间的距离公式，掌握垂线段最短是解题的关键．
16. 如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，道路的宽为2米，则绿化的面积为______．

【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了生活中平移现象，将长方形地块内部修筑两条“之”字路平移到长方形的最上边和最左边，使余下部分是一个矩形是解决本题的关键．把两条“之”字路平移到长方形地块的最上边和最左边，则余下部分是矩形，根据矩形的面积公式即可求出结果．
【详解】解：如图，把两条“之”字路平移到长方形地块的最上边和最左边，则余下部分是矩形，

道路的宽为2米，，，
，，
矩形的面积为：，即绿化的面积为．
故答案为：．
三、解答题（一）（第17题5分，第18题5分，第19题8分，共18分）
17. 解方程组：．
【答案】
【解析】
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】解：，
①﹣②×4得：11y＝﹣11，即y＝﹣1，
把y＝﹣1代入②得：x＝2，
则方程组的解为．
【点睛】此题主要考查二元一次方程组的求解，解题的关键是熟知加减消元法的运用．
18. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据算术平方根、立方根和绝对值的性质计算即可．
【详解】解：
【点睛】本题考查了实数运算，熟练掌握算术平方根、立方根和绝对值的性质是解题关键．
19. 如图，EFAD，∠1=∠2，∠B=35°，将求∠BDG的过程填写完整．
解：∵EFAD，
∴∠2=____ (________________________________)
又∵∠1=∠2
∴∠1= ( 等量代换 )
∴DG_____ (___________________________________)
∴∠B+______=180°(___________________________)
∵∠B=35°
∴∠BDG =_______
【答案】答案见解析．
【解析】
【分析】先根据两直线平行同位角相等可得∠2=∠3，然后根据等量代换可得∠1=∠3，然后根据内错角相等两直线平行可得AB∥DG，然后根据两直线平行同旁内角互补可得∠B+∠BDG=180°，进而可求∠BDG的度数．
【详解】∵EFAD，
∴∠2=∠3 (两直线平行，同位角相等)
又∵∠1=∠2(已知)，
∴∠1=∠3 (等量代换)
∴ DGBA (内错角相等，两直线平行)
∴∠B+∠BDG =180°(两直线平行，同旁内角互补)
∵∠B=35°，
∴∠BDG =145°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
四、解答题（二）（每题8分，共24分）
20. 在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（﹣3，2）．
（1）将△ABC向右平移6个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到△A'B′C′．请画出平移后的△A′B′C′，并写出点的坐标A′（______，______）、B′（______，______）、C′（______，______）；
（2）求出△A′B′C′的面积；
（3）若连接AA′、CC′，则这两条线段之间的关系是_________．

【答案】（1）△A′B′C′见解析；3，﹣2；1，﹣3；4，﹣4；（2）；（3）AA′∥CC′，AA′＝CC′
【解析】
【分析】（1）先根据平移的方式描出平移后点A′、B′、C′的坐标，再顺次连接各点即得平移后的△A′B′C′，进一步即可写出平移后各点的坐标；
（2）用△A′B′C′所在的长方形的面积减去周围三个三角形的面积求解即可；
（3）根据平移的性质解答即可．
【详解】解：（1）△A′B′C′如图所示；点A′（3，﹣2）、B′（1，﹣3）、C′（4，﹣4）．
故答案为：3，﹣2；1，﹣3；4，﹣4；

（2）S△A′B′C′＝3×2﹣×2×1﹣×1×2﹣×1×3＝6﹣1﹣1﹣＝；
（3）由平移的性质可知，AA′∥CC′，AA′＝CC′．
故答案为：AA′∥CC′，AA′＝CC′．
【点睛】本题考查了坐标系中平移作图和平移的性质，属于常考题型，熟练掌握平移的相关知识是解题的关键．
21. 如图，已知，，．
（1）判断与是否平行，并说明理由；
（2）若平分，求的度数．
【答案】（1），理由见解析
（2）
【解析】
【分析】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的概念，
（1）首先根据平行线的性质得到，然后根据即可得到；
（2）首先根据角平分线的概念得到，然后根据平行线的性质求解即可．
【小问1详解】
，理由如下：
∵，，
∴
∴
∴；
【小问2详解】
∵，平分，
∴
∵
∴．
22. 已知的平方根是，的立方根是3，是的整数部分，求的算术平方根．
【答案】的算术平方根为
【解析】
【分析】本题考查是平方根，立方根的含义，无理数的整数部分的含义，先求解、、的值，再求解的算术平方根即可．
【详解】解：的平方根是，
，
，
的立方根是3，
，
，
，
，
是的整数部分，即，
，
的算术平方根是．
五、解答题（三）（每题10分，共30分）
23. 如图1，将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，．
（1）若，求的度数；
（2）试猜想与的数量关系，请说明理由；
（3）若按住三角板不动，绕顶点转动三角板一周，试探究等于多少度时，？并简要说明理由．
【答案】（1）
（2），理由见解析
（3）或时，，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定和性质、分类讨论等知识，熟练掌握平行线的判定和性质定理，进行分类讨论是解题的关键．
（1）由，得出，即可得出结果；
（2）由，，即可得出结论；
（3）当时，，根据求出即可；
当时，，再求出即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：，理由如下：
∵，
，
∴；
【小问3详解】
解：当或时，．
如下图，根据同旁内角互补，两直线平行，
当时，，
，
，
；
如图，根据内错角相等，两直线平行，
当时，．
．
24. 观察：，即，的整数部分为2，小数部分为，请你观察上述式子规律后解决下面问题．
（1）规定用符号表示实数的整数部分，例如：，，填空：______；______；
（2）如果的小数部分为，的小数部分为，求的值．
【答案】（1）5；2 （2）1
【解析】
【分析】此题考查了估算无理数的大小，理解题中的新规定是解本题的关键．
（1）根据题目先判断及整数部分，再根据加减法即可得结果；
（2）根据无理数的整数部分把小数部分分别表示出来，再代入计算即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：5；2；
【小问2详解】
解： ，
∴，
∴，
∴，，
∴．
25. 如图，以直角三角形直角顶点为原点，分别以，所在的直线为轴、轴建立平面直角坐标系，已知，满足．
（1）点的坐标为______，点的坐标为______．
（2）求直角三角形的面积；
（3）已知轴、轴上别有两动点、，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿轴负方向匀速移动，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿轴正方向匀速移动，两点同时出发，当点到达点时，整个运动随之结束，的中点的坐标是，设运动时间为秒，是否存在这样的值，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形综合以及直角坐标系，正确表示出，，的长是解题的关键．
（1）直接利用绝对值的性质结合二次根式的定义分析得出，的值，进而得出答案；
（2）根据三角形面积公式计算即可；
（3）首先得出，，，，再表示出和的面积，进而得出等式求出答案．
【小问1详解】
解：，
，，
解得：，，
，，
故答案为：，；
【小问2详解】
，，
，，
直角三角形的面积为：；
【小问3详解】
存在，
由条件可知点从点运动到点的时间为秒，点从点运动到点的时间为秒，
当时，点在线段上，点在线段上，
由题意可得：，，，， ，
，，
，
，
解得：．