上海市南汇中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷

这是一份上海市南汇中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷，共9页。试卷主要包含了05，; 2，C 14等内容，欢迎下载使用。

一、填空题（本大题共12小题，每小题3分）
1．若点，，则向量的坐标是________．
2．扇形的半径为2，弧长为4，则该扇形的面积为________．
3．函数在上的定义域为________．
4．已知，且，则________．
5．设向量，，且，则的值为________．
6．若向量，的夹角，，，则_______．
7．将函数图像向左平移个单位，得到的图像的解析式为________．
8．已知顶点在原点的锐角，始边在轴的非负半轴，，终边绕原点逆时针转过后交单位圆于，则的值为________．
9．在中，，，为的中点，在线段上，则的最小值为________．
10．若函数，与的图像交于，两点，则________．
11．已知函数的表达式是，若对于任意都满足，则实数的取值范围是________．
12．已知函数，，若方程在区间内无解，则的取值范围是________．
二、选择题（本大题共4小题，每小题3分）
13．已知非零向量，，则是成立的（ ）条件．
A．充分非必要B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要
14．已知两个单位向量和的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（ ）．
A． B． C． D．
15．阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，则（ ）．
A． B． C． D．
16．对于函数，有以下4个结论：
①函数的图像是中心对称图形；
②任取，恒成立；
③函数的图像与轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等；
④函数与直线的图像有无穷多个交点，且任意两相邻交点间的距离相等．
其中正确的个数为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
三、解答题（本大题共5小题，共52分）
17．（本题满分8分，第（1）小题3分，第（2）小题5分）
已知、是同一平面内的两个向量，其中，．
（1）求与的夹角；
（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
18．（本题满分8分，第（1）小题3分，第（2）小题5分）
在中，为边上一点，设．
（1）若，试用，的线性组合表示；
（2）若，且，，求的值．
19．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
设为常数，函数．
（1）设，求函数的严格增区间；
（2）若函数为偶函数，求此函数在上的值域．
20．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7）
落户上海的某休闲度假区预计于2024年开工建设．如图，拟在该度假园区入口处修建平面图呈直角三角形的迎宾区，，迎宾区的入口设置在点处，出口在点处，游客可从入口沿着观景通道到达出口，其中米，米，也可以沿便捷通道到达出口（为内一点）．
（1）若是以为直角顶点的等腰直角三角形，某游客的步行速度为每分钟50米，则该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快几分钟？（结果精确到1分钟）
（2）园区计划将区域修建成室外游乐场，若，该如何设计使室外游乐场的面积最大，请说明理由．
21．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）
已知函数，函数，设．
（1）求证：是函数的一个周期；
（2）当时，求函数在区间上的最大值；
（3）若函数在区间内恰好有奇数个零点，求实数的值．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
二、选择题
13.C 14.B 15. B 16.B
15．阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由正弦型函数的性质,函数示意图如下:
所以, 则,可得.故选:.
三．解答题
17.（1）
（2）
18.（1） （2）
19.（1） （2）
20．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7）
落户上海的某休闲度假区预计于2024年开工建设．如图，拟在该度假园区入口处修建平面图呈直角三角形的迎宾区，，迎宾区的入口设置在点处，出口在点处，游客可从入口沿着观景通道到达出口，其中米，米，也可以沿便捷通道到达出口（为内一点）．
（1）若是以为直角顶点的等腰直角三角形，某游客的步行速度为每分钟50米，则该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快几分钟？（结果精确到1分钟）
（2）园区计划将区域修建成室外游乐场，若，该如何设计使室外游乐场的面积最大，请说明理由．
【答案】（1）3分钟
（2）当时,面积的最大值为平方米.
【解析】(1) 由题设,米,米,
在中, 由余弦定理得,所以米.
游客可从入口沿着观景通道到达出口，所需时间为分钟,
游客沿便捷通道到达出口所需时间为分钟，
所以该游客从入口步行至出口, 走便捷通道比走观景通道可以快分钟.
(2), 设则,在中,
由正弦定理得得,
所以面积
当时,面积的最大值为平方米.
21．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）
已知函数，函数，设．
（1）求证：是函数的一个周期；
（2）当时，求函数在区间上的最大值；
（3）若函数在区间内恰好有奇数个零点，求实数的值．
【答案】（1）见解析 （2） （3）
【解析】(1)证明: 因为
所以是函数的一个周期.
(2)当时，在区间上的解析式为,
令,, 则,
则可转化为,,
由二次函数的性质可得函数的最大值为,
所以当时，在区间上的最大值为.
(3)当时，设,令,
则,, 在,上为单调递减函数,
可知当时, 即时, 此时只有一个解；
当时, 即时, 此时只有一个解;
当时, 即时, 此时有两个解，
当时, 设,令,
则,, 在,上单调递增,
则可知当时，即时,此时有两个解；
当时, 即时, 此时只有一个解.
综上可得, 若函数在区间内恰好有奇数个零点,