四川省成都金苹果锦城第一中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷

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1．A
【分析】由复数的乘法运算求出z，即可得复数对应的点，判断即可.
【详解】因为z=1+i2-i=2-i+2i-i2=3+i，
所以对应点坐标为3,1，该点在第一象限，
故选：A.
2．D
【分析】根据所给条件可得出x1+x22=8.7，再由x1,x2的范围验证选项即可得解.
【详解】因为去掉最高分与最低分后平均分为8.1+8.4+8.5+9.0+9.55=8.7，
所以x1+8.1+8.4+8.5+9.0+9.5+x27=8.7，
解得x1+x22=8.7，
由于得分按照从低到高的顺序排列的，故x1≤8.1，9.5≤x2≤10，
当x1=7.7时，x2=9.7，满足上述条件，故A错误；当x1=7.8时，x2=9.6，满足上述条件，故B错误；当x1=7.9时，x2=9.5，满足上述条件，故C错误；当x1=8.0时，x2=9.4，不满足上述条件，故D正确.
故选：D
3．B
【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断充分性和必要性得到答案.
【详解】两个不同的平面α，β，直线m⊥平面β，
当α⊥β时，m⊂α或m∥α，不充分；当m∥α时，α⊥β，必要.
故选：B.
4．D
【分析】根据给定条件，设出球半径，求出圆柱及内切球的体积即可计算作答.
【详解】设圆柱的内切球半径为R，则圆柱底面圆半径为R，高为2R，
所以圆柱的体积与球的体积之比为πR2⋅2R4π3R3=32.
故选：D
5．B
【分析】由三视图可得此几何体是上下均为正方形的台体，然后根据棱台的体积公式列方程可求得结果.
【详解】此几何体是上下均为正方形的台体，上底面面积为S1=192=361，下底面面积为S2=102=100，
设高为h，由台体体积公式，得V台=13S1+S2+S1S2h≈2000，
所以13×361+100+190h≈2000，解得h≈9.2.
所以其高约为9厘米，
故选：B.
6. D
【分析】计算出事件“t＝12”的概率可判断A；根据对立事件的概念，可判断B；根据互斥事件的概念，可判断C；计算出事件“t＞8且mn＜32”的概率可判断D；
【详解】连掷一枚均匀的骰子两次，
所得向上的点数分别为m，n，则共有6×6=36个基本事件，
记t＝m＋n，
则事件“t＝12”必须两次都掷出6点，则事件“t＝12”的概率为136，故A错误；
事件“t是奇数”与“m＝n”为互斥不对立事件,如事件m=3,n=5，故B错误；
事件“t＝2”与“t≠3”不是互斥事件，故C错误；
事件“t＞8且mn＜32”有
m=3n=6,m=4n=5,m=4n=6,m=5n=4,m=5n=5,m=5n=6,m=6n=3,m=6n=4,m=6n=5共9个基本事件，
故事件“t＞8且mn＜32”的概率为14，故D正确；
故选：D．
7．A
【分析】由条件结合诱导公式化简可得sinβ，根据“广义互余”的定义结合诱导公式同角关系判断各选项的对错.
【详解】若α+β=π2，则β=π2-α，
所以sinβ=sinπ2-α=csα=±154，故选项A符合条件；
csπ+β=-csπ2-α=-sinα=-14，故选项B不符合条件；
tanβ=155，即sinβ=155csβ，又sin2β+cs2β=1，∴sinβ=±64，故选项C不符合条件.
tanβ=1515，即15sinβ=csβ，又sin2β+cs2β=1，∴sinβ=±14，故选项D不符合条件；
故选：A.
8．D
【分析】根据互斥事件、对立事件、相互独立事件的知识确定正确答案.
【详解】设白球编号为1,2,3，黑球的编号为4,5，
从坛子中不放回地取球2次，基本事件有A52=20，
PA1=PA2=35，PA1A2=A32A52=620=310,
PA1A2≠PA1PA2，所以A1和A2是不相互独立的事件.
基本事件包括“第1次取到白球，第2次取到白球”，即A1和A2可以同时发生，
所以A1和A2不是互斥，也不是对立事件.
故选：D
9．BD
【分析】根据得意求出抽样比，进一步即可判断A，B，D；算出样本中的近视人数即可判断C.
【详解】由题意，抽样比为2000120000+75000+55000=1125，则B正确；
从高中生中抽取了55000×1125=440人，A错误；
高中生近视人数约为：55000×80%=44000人，D正确；
学生总人数为：250000人，小学生占比：120000250000=1225，同理，初中生、高中生分别占比：310，1150，在2000的样本中，小学生、初中生和高中生分别抽取：960人，600人和440人，则近视人数为：960×30%+600×70%+440×80%=1060人，所以估计该地区中小学总体的平均近视率为：10602000=53%，C错误.
故选：ABD.
10．BCD
【分析】根据正方体的平面展开图还原正方体，利用正方体的性质，结合异面直线的位置关系，线面位置关系及面面平行的性质依次判断各项正误.
【详解】
如图，把正方体的平面展开图还原成正方体ADBG-FCEH.
在正方体ADBG-FCEH中，可知AC//EG,AC=EG=EF=FG，
故异面直线AC与EF所成的角即为EG与EF所成的角为60°，故A项错误；
同理，EF与BC所成的角即为FG与EF所成的角为60°，故B项正确；
在正方体ADBG-FCEH中，AC=CH，HC⊥EF，HC⊥EB，EF∩EB=E，故HC⊥平面ABEF，则点C到平面ABE的距离为12HC=12AC，
设直线AC与平面ABE所成的角为θ，则sinθ=12HCAC=12，故θ=30°，故C项正确；
在正方体ADBG-FCEH中，AC//EG,AB//EF,AC∩AB=A,EG∩EF=E，
则平面ABC//平面EFG，平面EFG∩平面CEF于直线EF，平面ABC∩平面CEF=l，故直线EF∥直线l，故D项正确.
故选：ABD.
11．BC
【分析】利用正弦定理结合正弦函数的性质可判断A；根据边角关系判断三角形解的个数可判断B； 由已知得π2>A>π2-B>0，结合正弦函数性质可判断C；利用二倍角的余弦公结合余弦定理可判断D.
【详解】对于A，由正弦定理可得sinAcsA=sinBcsB，∴sin2A=sin2B，∴A=B或2A+2B=180∘即A+B=90∘，∴△ABC为等腰或直角三角形，故A错误；
对于B，asinB=40sin25∘π2-B>0，由正弦函数性质结合诱导公式得sinA>sinπ2-B=csB，故C正确；
对于D，利用二倍角的余弦公式知1-2sin2A+1-2sin2B-1+2sin2C0，即a2+b2-c2>0，∴csC>0，即C为锐角，不能说明△ABC为锐角三角形，故D错误.
故选：BC
【点睛】方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有sinx的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有a,b,c的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有csx的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
12．ABD
【分析】构造线面角∠PA1E，由已知线段的等量关系求tan∠PA1E=EPAE的值即可判断A的正误；利用线面垂直的性质，可证明A1P⊥OB1即可知B的正误；由中位线的性质有PQQA1=12可知C的正误；由直线的平行关系构造线线角为∠B1A1P，结合动点P分析角度范围即可知D的正误
【详解】直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=BB1
选项A中，当点P运动到BC1中点时，有E为B1C1的中点，连接A1E、EP，如下图示
即有EP⊥面A1B1C1
∴直线A1P与平面A1B1C1所成的角的正切值：tan∠PA1E=EPAE
∵EP=12BB1，AE=A1B12+B1E2=52BB1
∴tan∠PA1E=55，故A正确
选项B中，连接B1C，与BC1交于E，并连接A1B，如下图示
由题意知，B1BCC1为正方形，即有B1C⊥BC1
而AB⊥BC且ABC-A1B1C1为直三棱柱，有A1B1⊥面B1BCC1，BC1⊂面B1BCC1
∴A1B1⊥BC1，又A1B1∩B1C=B1
∴BC1⊥面A1B1C，OB1⊂面A1B1C，故BC1⊥OB1
同理可证：A1B⊥OB1，又A1B∩BC1=B
∴OB1⊥面A1BC1，又A1P⊂面A1BC1，即有A1P⊥OB1，故B正确
选项C中，点P运动到BC1中点时，即在△A1B1C中A1P、OB1均为中位线
∴Q为中位线的交点
∴根据中位线的性质有：PQQA1=12，故C错误
选项D中，由于A1B1//AB，直线A1P与AB所成角即为A1B1与A1P所成角：∠B1A1P
结合下图分析知：点P在BC1上运动时
当P在B或C1上时，∠B1A1P最大为45°
当P在BC1中点上时，∠B1A1P最小为arctan22>arctan33=30°
∴∠B1A1P不可能是30°，故D正确
故选：ABD
【点睛】本题考查了利用射影定理构造线面角，并计算其正弦值；利用线面垂直证明线线垂直；中位线的性质：中位线交点分中位线为1：2的数量关系；由动点分析线线角的大小
13．4π9/49π
【分析】根据扇形的面积公式求得扇形的弧长，列出方程求得圆锥底面圆的半径，进而求得底面面积.
【详解】由题意，半径为2，圆心角为2π3的扇形的弧长为l=2π3×2=4π3，
设卷成后的圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=4π3，解得r=23，
所以圆锥底面圆的面积为S=πr2=4π9.
故答案为：4π9.
14．23
【分析】由题知AM=λAC+1-λAB，BN=12AC-AB，进而根据题意，结合向量数量积运算律得λ=23.
【详解】解：因为BM=λBC,N为AC中点，
所以，AM=AB+BM=AB+λBC=AB+λAC-AB=λAC+1-λAB，
BN=BA+AN=BA+12AC=12AC-AB，
因为AB=3,AC=2,∠BAC=120∘，AM⋅BN=-16
所以AM⋅BN=λAC+1-λAB⋅12AC-AB=-16，
因为AC⋅AB=AC⋅ABcs∠BAC=-3
所以，2λ+3λ-3-3λ2-91-λ=-16，解得λ=23.
故答案为：23
15．60
【分析】先判断更正前后平均分没有变化都是80分，再根据方差的概念先表示出更正前的方差和更正后的方差，比较其异同，然后整体代入即可求解.
【详解】因为甲实得80分，记为60分，少记20分，乙实得70分，记为90分，多记20分，
所以总分没有变化，因此更正前后的平均分没有变化，都是80分，
设甲乙以外的其他同学的成绩分别为a3,a4,...,a40，
因为更正前的方差为70，
所以60-802+90-802+a3-802+...+a40-802=70×40，
所以a3-802+...+a40-802=2800-400-100=2300，
更正后的方差为：
s2=80-802+70-802+a3-802+...+a40-80240=100+230040=60，
所以更正后的方差为60，
故答案为：60.
16．23
【解析】过B作BD'//CD，由题设知四边形BO'OE为矩形且BC⊥面ABD'，根据△ABD'外接圆圆心与四面体A-BCD外接球球心以及BC的关系即可求△ABD'外接圆半径，利用余弦定理求AD'，并得到a2+b2-ab=12(BD'=a,AB=b)，而四面体A-BCD的体积V=3ab6，结合基本不等式即可求体积最大值.
【详解】四面体A-BCD中，AB⊥BC，CD⊥BC，异面直线AB和CD所成的角为60°，可得如下示意图：过B点作BD'//CD且BD'=CD，连接DD'，

则有∠ABD'=60°且BC⊥面ABD'，
如下图，若O'为△ABD'外接圆圆心，则可找到外接球圆心O，E为BC的中点，即OE⊥BC,BE=EC=1，外接球半径为OC=5，
∴四边形BO'OE为矩形，OE=O'B=OC2-EC2=2，
∴在平面ABD'中有O'B=O'A=O'D'=2,∠AO'D'=120°，可得AD'=23，
令BD'=a,AB=b，则四面体A-BCD的体积V=13×bsin60°×12×2×a=3ab6，
而由余弦定理知：a2+b2-2abcs60°=AD'2=12，即ab≤12当且仅当a=b时等号成立，所以V=3ab6≤23，
故答案为：23.
【点睛】思路点睛：
1、由已知线线垂直关系，可知线面垂直：BC⊥面ABD'，以及面面垂直：面BO'OE⊥面ABD'；
2、由上述垂直关系，结合△ABD'外接圆圆心，即可根据在四面体A-BCD外接球半径求得△ABD'外接圆半径；
3、在△ABD'中利用余弦定理得到AD'，以及另两边a，b与AD'的数量关系，应用体积公式用a，b表示四面体的体积，结合基本不等式求最值.
17．（1）设工作人员提供的5道灯谜题目为a，b，c，x，y，甲能答对的题目为x，y.
从这5道题目中随机选取2道，总的事件有ab，ac，ax，ay，bc，bx，by，cx，cy，xy，共10种情况，
甲2道题目全答对的事件有xy这1种情况，故甲能获得奖品的概率为110.
（2）因为甲不能获得奖品的概率为710，所以甲能获得奖品的概率为1-710=310.
设甲能答对所提供灯谜题目的数量为n，由（1）可知，n≥3.
若n=3，不妨设甲能答对的题目为a，b，c，
则甲2道题目全答对的事件有ab，ac，bc，共3种情况，
甲能获得奖品的概率为310，符合题意，
故甲能答对所提供灯谜题目的数量为3.
18．(1)28
(2)12
【分析】（1）若选①则根据余弦定理得accsB=1，且csB>0，于是利用平方公式得csB，即可得ac的值，再根据面积公式即可得△ABC的面积；若选②根据向量数量积定义得AB⋅BC =-accsB，且csB>0，于是利用平方公式得csB，即可得ac的值，再根据面积公式即可得△ABC的面积；
（2）由正弦定理得即可求得b的值.
【详解】（1）若选①a2-b2+c2=2，由余弦定理得csB=a2+c2-b22ac，整理得accsB=1，则csB>0，
又sinB=13，则csB=1-132=223，ac=1csB=324，则S△ABC=12acsinB=28；
若选②AB⋅BC=-10，又sinB=13，则csB=1-132=223，
又AB⋅BC =-accsB，得ac=1csB=324，则S△ABC=12acsinB=28；
（2）由正弦定理得：bsinB=asinA=csinC，则b2sin2B=asinA⋅csinC=acsinAsinC=32423=94，则bsinB=32，b=32sinB=12．
19．（1）f(x)=4sin2x+π3；（2）t∈-27,1-143∪1+143,29.
【分析】（1）根据正弦型函数的性质得出A=4,T=π，由周期公式得出ω=2，由函数的最大值得出π6+φ=π2+2kπ,k∈Z，结合φ