四川省成都市成都七中万达学校2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题

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填空题：12：-1 13：0.915 14：e
解答题：
15，解：（1）设事件A为“被取出的两人的成绩均不低于120分”，则由表格可得，甲、乙两班中成绩不低于120分的人数分别为7和6，
∴，
∴被取出的两人的成绩均不低于120分的概率为．
（2）易知甲、乙两班的这20位同学中，分数不低于130分的有7人，分数不低于140分的有3人，
∴随机变量X的可能取值为0，1，2，3，
∴，，，
，
∴X的分布列为
∴X的数学期望为．
16，（1）
因为平面，四边形为矩形，因此两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，
因为，所以，即；
因为，所以，即；
又，平面，因此平面．

（2）
因为平面，所以为平面的一个法向量，
由（1）知为平面的一个法向量，
，
显然二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为．
17，解（1）
由，
可得，
因为，
所以表示以1为首项，2为公比的等比数列；所以
（2）
由（1）得，，可得，
记，
则，
，
两式相减，可得，
即，
所以.
18，（1）
，，，
，
， ，
在处的切线方程为，即；
（2）
，，
则，，
令，则在上单调递增，
当时，当时，
故存在唯一使得，即，
则当时，即，所以在上单调递减，
当时，即，所以在上单调递增，
所以，
所以，即，
所以，，
令，，
则，所以当时，即在上单调递减，
当时，即在上单调递增，
所以，
所以的最小值为.
19，(1)将点代入抛物线方程，可得，解得，
所以抛物线方程为，
(2)设直线的方程为：，
联立方程，消去得，，
由韦达定理得，
根据抛物线定义：，可得，
此时，解得或，
设的中点坐标为，则，
可得的垂直平分线方程为：，
将代入整理得：，故的垂直平分线过定点．
(3)由（1）可得，
且点到直线的距离，
则的面积为，
可得，

设，设，则
令，解得；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减．
所以当时，的面积取最大值，此时，即．此时.

X
0
1
2
3
P