【冲刺2024】中考真题及变式题强化训练-解答题部分（广东统考专用）

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2023广东中考数学整体上难度偏简单，注重基础，同时又有所创新，灵活性相对较高。试卷内容涵盖了负数、轴对称图形、科学记数法、不等式组、一元一次方程、概率、统计、函数、圆周角计算、二次函数与正方形结合、平方差公式、根式乘法、反比例函数运算、相似与正方形结合、三角函数实际应用、作边的高（尺规作图）、正方形的折叠、概率的实际意义
矩形和圆的综合、正方形与一次函数结合（含四点共圆）等知识点，基础占比比较合理，难度区分度又明显，90分以上的难度不低，要求考生具备扎实的数学基础知识和较强的解题能力。
【2024中考考情预测】
针对2023广东真题，再结合近三年的考情，2024届考生需多加注重基础，前面6道大题尽量不丢分，注重细节，减少计算小错误。在此基础上，提高数学分析能力，活跃数学思维，多加重视四边形类的几何性质复习，提高四边形的综合分析能力。
一、2023广东真题第16
1．（1）计算：；
（2）已知一次函数的图象经过点与点，求该一次函数的表达式．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先求出立方根及有理数的乘方运算，绝对值的化简，然后计算加减法即可；
（2）将两个点代入解析式求解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）∵一次函数的图象经过点与点，
∴代入解析式得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为：．
【点睛】题目主要考查实数的混合运算及待定系数法确定一次函数解析式，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．
二、变式题16
2．（1）计算：；
（2）已知一次函数的图象经过点（2，6）和（-4，-9），求这个函数的解析式．
【答案】（1）；（2）
【分析】(1)根据实数的运算法则，先算乘除，在算加减，要合并同类二次根式，计算即可，
(2)利用待定系数法即可求得函数的解析式．
【详解】原式
；
设一次函数的解析式为，
则，
解得．
所以一次函数的解析式为．
【点睛】本题考查的是实数的运算，用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟记用待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．
3．（1）计算：；
（2）一次函数的图像与平行且与x轴交于点（-2,0）求解析式
【答案】（1）；（2）y=2x+4.
【分析】（1）根据二次根式的乘法、二次根式的化简、零指数幂的运算性质分别计算，再合并同类二次根式即可；
（2）由于一次函数的图象与平行，可设一次函数的解析式为y=2x+b，再把（－2,0）代入解析式可求得b的值，问题即得解决.
【详解】解：（1）
=
=
=
=；
（2）∵一次函数的图象与平行，
∴设一次函数的解析式为y=2x+b，
把（－2,0）代入y=2x+b，得0=2×（－2）+b，解得b=4，
∴一次函数的解析式为y=2x+4.
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算和待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握二次根式的混合运算法则和待定系数法求解的方法是解题的关键.
4．（1）计算：（＋）×﹣＋；
（2）已知直线y＝kx＋b经过（1，0），（2，3），求直线的解析式．
【答案】（1）2+4；（2）y＝3x﹣3
【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则算乘法，再根据二次根式的加减法则算加减即可；
（2）把点的坐标代入函数的解析式，得出关于k、b的方程组，求出方程组的解即可．
【详解】解：（1）（＋）×﹣＋
＝4+3﹣2＋
＝2+4；
（2）∵直线y＝kx＋b经过点（1，0），（2，3），
∴代入得：，
解得：k＝3，b＝﹣3，
∴直线的解析式是y＝3x﹣3．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，待定系数法求一次函数解析式．（1）中熟练掌握二次根式的混合运算的运算顺序和每一步的运算法则是解题关键；（2）中能根据题意列出二元一次方程组并正确求解是解题关键．
5．（1）计算：；
（2）已知一个正比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，点纵坐标为2，求这个正比例函数的解析式．
【答案】（1）-1；（2）．
【分析】（1）利用多项式除以单项式法则和二次根式除法法则计算前半部分，将最后一个括号内的二次根式化简，提出公因式2，再利用平方差公式计算，最后相加即可；
（2）把P点的纵坐标代入一次函数解析式求出P点的横坐标，再把P点的坐标代入设出的正比例函数解析式即可得出答案.
【详解】解：（1）原式
．
（2）∵正比例函数图象与一次函数的图象相交于点，点的纵坐标为2，
∴，解得．
∴点的坐标为．
设正比例函数的解析式为．
∴，解得．
∴正比例函数的解析式为．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算和利用待定系数法求函数的解析式，熟记二次根式的运算法则和整式除法法则及平方差公式是解决（1）的关键，求出点P的坐标是解决（2）的关键.
6．完成下列各题：
(1)计算：
(2)解方程：
(3)已知：与成正比例，且当时，．①写出y与x之间的函数表达式；②计算当时，x的值．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②
【分析】（1）先计算立方根，绝对值，零次幂，再计算加减法；
（2）先除以8，再根据立方根定义解方程即可；
（3）①设，将，代入计算求出k，即可得到y与x的函数关系式；②将代入计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）①设，
∵当时，，
∴，
解得，，
∴，
∴y与x的函数关系式为；
②当时，，
解得．
【点睛】此题考查了学生的综合能力，实数的混合运算，利用立方根解方程，求函数解析式，已知函数值求自变量的值，熟练掌握各知识点是解题的关键．
三、2023广东真题第17
7．某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的倍，结果甲比乙早到，求乙同学骑自行车的速度．
【答案】乙同学骑自行车的速度为千米/分钟．
【分析】设乙同学骑自行车的速度为x千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为千米/分钟，根据时间=路程÷速度结合甲车比乙车提前10分钟到达，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论．
【详解】解：设乙同学骑自行车的速度为x千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为千米/分钟，
根据题意得：，
解得：．
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：乙同学骑自行车的速度为千米/分钟．
【点睛】题目主要考查分式方程的应用，理解题意列出分式方程是解题的关键．
四、变式题17
8．为保护耕地，某地需要退林还耕1500亩．已知甲施工队每天退林还耕的亩数是乙施工队的1.2倍；若单独完成退林还耕任务，甲施工队会比乙施工队少用5天．求甲、乙两队每天完成退林还耕多少亩．
【答案】甲队每天退林还耕60亩，乙队每天退林还耕50亩
【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意“单独完成退林还耕任务，甲施工队会比乙施工队少用5天”列出方程是解题的关键．
【详解】解：设乙队每天退林还耕x亩，根据题意得
．
解得．
经检验，是原方程的解．
甲队每天退林还耕的亩数是（亩）．
答：甲队每天退林还耕60亩，乙队每天退林还耕50亩．
9．某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题：

同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元？
【答案】篮球的单价为元，排球的单价为元．
【分析】设排球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据“用元购买的排球个和用元购买的篮球个数相等”列方程，解方程并检验即可．
【详解】设排球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据题意，列方程得：
．
解得：．
经检验，是原方程的根，
当时，．
答：篮球的单价为元，排球的单价为元．
【点睛】本题考查了列分式方程解决实际问题，分式方程的解法的运用，解答时根据排球和篮球的数量相等建立方程是解题的关键．
10．刘芳和李婷进行跳绳比赛．已知刘芳每分钟比李婷多跳20个，刘芳跳135个所用的时间与李婷跳120个所用的时间相等．求李婷每分钟跳绳的个数．
【答案】160个
【分析】设李婷每分钟跳绳的个数为个，则刘芳每分钟跳绳的个数为个，根据“刘芳跳135个所用的时间与李婷跳120个所用的时间相等”建立方程，解方程即可得．
【详解】解：设李婷每分钟跳绳的个数为个，则刘芳每分钟跳绳的个数为个，
由题意得：，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
答：李婷每分钟跳绳的个数为160个．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，正确找出等量关系，并建立方程是解题关键．
11．小亮到某水果店买草莓．第一次花了60元．几天后水果店搞促销，草莓每千克降价4元，小亮花48元买到了和第一次一样多的草莓．求小明第一次购买时草莓的单价．
【答案】20元/千克
【分析】设小明第一次购买时草莓的单价为元/千克．根据小亮花48元买到了和第一次一样多的草莓，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设小明第一次购买时草莓的单价为元/千克．
由题意，得．解得．
经检验，是原方程的解．
答：小明第一次购买时草莓的单价为20元/千克．
【点睛】本题考查分式方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
12．为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校决定在课后看护中增加乒乓球项目．体育用品商店得知后，第一次用600元购进乒乓球若干盒，第二次又用600元购进该款乒乓球，但这次每盒的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30盒，求第一次每盒乒乓球的进价是多少元？
【答案】4元
【分析】设第一次每盒乒乓球的进价是x元，则第二次每盒乒乓球的进价是元，根据“第一次用600元购进乒乓球若干盒，第二次又用600元购进该款乒乓球，购进数量比第一次少了30盒，”列出方程，即可求解．
【详解】解：设第一次每盒乒乓球的进价是x元，则第二次每盒乒乓球的进价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意，
答：第一次每盒乒乓球的进价是4元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
五、2023广东真题第18
13．2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂，两臂夹角时，求A，B两点间的距离．(结果精确到，参考数据，，)

【答案】
【分析】连接，作作于D，由等腰三角形“三线合一”性质可知，，，在中利用求出，继而求出即可．
【详解】解：连接，作于D，

∵，，
∴是边边上的中线，也是的角平分线，
∴，，
在中，，，
∴，
∴
∴
答：A，B两点间的距离为．
【点睛】本题考查等腰三角的性质，解直角三角形的应用等知识，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
六、变式题18
14．如图，为了测量河流某一段的宽度，在河北岸选了一点，在河南岸选了相距100m的，两点．现测得，，求这段河流的宽度（结果精确到0.1m）．
【答案】63.4m
【分析】过A作AD⊥BC于D，根据∠ABC＝60°，∠ACB＝45°即可求出BD、CD与AD关系，根据BC＝100m，可以求得AD的长度．
【详解】解：过A作AD⊥BC于D，

在Rt△ADB中，∠B＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝AD•tan30°＝AD，
在Rt△ADC中，∠C＝45°，
∴CD＝AD，又BC＝100m，
∴BD+CD＝AD+AD＝100．
解得AD≈63.4m．
答：这段河的宽约为63.4米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是恰当构建直角三角形，利用三角函数求解．
15．已知：如图，AB＝52m，∠DAB＝43°，∠CAB＝40°，求大楼上的避雷针CD的长．(精确到0.01m)
【答案】大楼上的避雷针CD的长约是4.86m．
【分析】在直角△ABC中，利用正切函数即可求得BC，同理可以求得BD的长，然后根据CD=BD-BC即可求解．
【详解】在Rt△ABC中，tan∠CAB=，
∴BC=AB•tan∠CAB=52•tan40°，
同理，BD=AB•tan∠DAB=52•tan43°，
∴CD=BD-BC=52（tan43°-tan40°）≈4.86 m，
答：大楼上的避雷针CD的长约是4.86m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确利用三角函数求得BC，BD的长是关键．
16．图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图2是其示意图，经测量，钢条，，．
(1)求车位锁的底盒长；
(2)若一辆汽车的底盘高度为，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？通过计算说明理由．（参考数据：，，）
【答案】(1)的长为；
(2)不能，理由见解析．
【分析】（1）过点作于点，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
（2）根据锐角三角函数的定义求出的长度即可判断．
【详解】（1）解：过点作于点，如下图：
∵，
∴，
在中，，，
∴(cm)，
∴；
（2）解：在中，
∴(cm)，
∴，
∴当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角函数的定义，本题属于基础题型．
17．某县消防大队到某小区进行消防演习已知，图是一辆登高云梯消防车的实物图，图是其工作示意图，起重臂可伸缩，且起重臂可绕点在一定范围内转动，张角为转动点A距离地面的高度为．

(1)当起重臂长度为，张角，求云梯消防车最高点距离地面的高度；
(2)已知该小区层高为，若某居民家突发险情，请问该消防车有效救援能达到几层？请说明理由．（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】(1)云梯消防车最高点距离地面的高度为
(2)该消防车能有效救援层
【分析】如图所示，过点作，垂足为，可求出，在中，根据余弦的计算方法即可求出的长，由此即可求解；
当，时，能达到最高高度，可求出的度数，在中，根据正弦的计算方法即可求出的长，由此即可求解．
【详解】（1）如图所示，过点作，垂足为，过点A作，垂足为，

则，，
，
，
在中，，，
，
，
云梯消防车最高点距离地面的高度为．
（2）该消防车能有效救援层，理由如下，
当，时，能达到最高高度，
，
，
在中，，
，
，
，
该消防车能有效救援层．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．
18．如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2，梯子与地面所成的角α为75°，梯子AB长3m，求梯子顶部离地竖直高度BC．（结果精确到0.1m；参考数据：sin75°≈0.97，cs75°≈0.26，tan75°≈3.73）
【答案】梯子顶部离地竖直高度BC约为2.9m．
【分析】根据竖直的墙与梯子形成直角三角形，利用锐角三角函数即可求出AC的长．
【详解】解：在Rt△ABC中，AB=3，∠ACB=90°，∠BAC=75°，
∴BC=AB⋅sin75°
≈3×0.97=2.91
≈2.9(m)．
答：梯子顶部离地竖直高度BC约为2.9m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握锐角三角函数．
七、2023广东真题第19
19．如图，在中，．

(1)实践与操作：用尺规作图法过点作边上的高；(保留作图痕迹，不要求写作法)
(2)应用与计算：在（1）的条件下，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可，可用圆规以点D为圆心，在上找到两个点到点D的距离相等，再分别以这两个点为圆心，相等且大于这两点距离的一半为半径画弧，再找到一个到这两个点的距离相等的点，连接最后得到的点与点D所得线段所在的直线就是高所在的直线，据此画图即可；
（2）先利用度角的余弦值求出，再由计算即可．
【详解】（1）解：依题意作图如下，则即为所求作的高：

（2）∵，，是边上的高，
∴，即，
∴．
又∵，
∴，
即的长为．
【点睛】本题考查尺规作图—作垂线，度角的余弦值，掌握过直线外一点作垂线的方法和度角的余弦值是解题的关键．
八、变式题19
20．如图，已知钝角△ABC．
(1)过钝角顶点B作BD⊥AC，交AC于点D（使用直尺和圆规，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若BC＝8，∠C＝30°，，求AB的长．
【答案】(1)图形见解析；
(2)AB＝10．
【分析】(1)以B为圆心，任意长度为半径作弧，交A，C于M，N两点；然后分别以M，N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点E，连接BE交AC于D，由作图可知，；
(2)利用锐角三角函数即可求出，再利用锐角三角函数可求出AB．
【详解】（1）如图，线段BD即为所求．
（2）在中，
∵BC＝8，∠C＝30°，
∴BD＝BC•sin30°＝4，
在中，，
故答案为：10．
【点睛】本题考查的是利用尺规作图作垂线和解直角三角形，掌握垂直平分线的作法以及利用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键．
21．如图，在中，∠ACB为钝角．
(1)尺规作图：在边AB上确定一点D，使∠ADC＝2∠B（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）；
(2)在（1）的条件下，若∠B＝15°，∠ACB＝105°，CD＝3，AC＝，求的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）作线段BC的垂直平分线交AB于点D，连接CD，点D即为所求；
（2）根点C作CH⊥AB于点H，求出AB，CH可得结论．
【详解】（1）解：如图，点D即为所求；
（2）解：过点C作CH⊥AB于点H．
∵点D在BC的垂直平分线上，
∴DC＝DB，
∴∠B＝∠DCB＝15°，
∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝30°，
∵∠ACB＝105°，
∴∠ACD＝90°，
∵CD＝，
∴AC＝CD•tan30°＝1，
∴AD＝2AC＝2，CH＝CD＝，
∵AB＝AD+BD＝2+，
∴S△ABC＝•AB•CH＝×（2+）×＝．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．如图，已知，为对角线．
（1）请用尺规作图法，过点D作的垂线，交于点E；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，，求点D到线段的距离．
【答案】（1）见解析；（2）点D到线段的距离是2，见解析.
【详解】（1）解：过点D作的垂线如图；
①任意取一点P，使该点和点D在对角线的两侧；②以点D为圆心，的长为半径作弧，交对角线于F，G两点；③分别以点F，G为圆心，大于的长为半径作弧，在点P的同侧交于点H；④过点D、H作直线，交于点E，直线即为所求作的垂线．
（2）解答的关键是：①理解点D到线段的距离是点D到线段的垂线段的长度，即为线段的长度；②根据平行四边形的性质求出；③利用锐角三角函数求解．
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴.
由（1）知，
∴在中，，
即点D到线段的距离是2.
23．如图，在中，已知，，．
(1)用没有刻度的直尺和圆规过点作交的延长线于点保留作图痕迹，不写作法
(2)求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据过直线外的一点作直线的垂线的方法作图即可；
（2）解直角三角形求出，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解：如图，即为所作的图形；
（2）在中，，，
，
的面积．
【点睛】本题主要考查了基本作图，解直角三角形，三角形面积公式，熟练掌握过直线外的一点作直线的垂线的方法是解决问题的关键．
24．如图，已知，B为边上一点．

(1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①过点B作交边于点C；
②以为边作，且交于点D．
(2)若，，请利用（1）中所作的图形求的值．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)
【分析】（1）①根据作垂线的方法进行画图即可；②根据线段垂直平分线的作法画图即可．
（2）解直角三角形求出，可得结论．
【详解】（1）①如图，直线即为所求作．

②如图，射线即为所求作．

（2）由作图可知，垂直平分线段，
∴，
∵，,
∴，，
在中，，
∴．
【点睛】本题考查作图-基本作图、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
九、2023广东真题第20
25．综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．
猜想与证明：

(1)直接写出纸板上与纸盒上的大小关系；
(2)证明（1）中你发现的结论．
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）和均是等腰直角三角形，；
（2）证明是等腰直角三角形即可.
【详解】（1）解：
（2）证明：连接，

设小正方形边长为1，则，，
，
为等腰直角三角形，
∵，
∴为等腰直角三角形，
，
故
【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用和等腰三角形的性质，熟练掌握其性质是解答此题的关键．
十、变式题20
26．综合与实践
主题：探究角，制作无盖正方体形纸盒．
素材：两张边长为的正方形纸板．
步骤1：如图1，分别将两张正方形纸板的边长三等分，画出九个小方格；
步骤2：如图2，利用第一张纸板上的格点，画；
步骤3：如图3，利用第二张纸板，剪去四个角上的小正方形，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．
猜想与说理：
(1)三条边中，有______条的长度是无理数；
(2)直接写出纸板上与纸盒上的大小关系：______；
(3)说明（2）中你判断的理由．
【答案】(1)3
(2)
(3)见解析
【分析】
本题考查了无理数的定义，勾股定理，勾股定理逆定理，解题的关键是掌握无限不循环小数是无理数；直角三角形两直角边平方和等于斜边平方；两边平方和等于斜边平方的三角形是直角三角形．
（1）根据勾股定理分别求出，即可解答；
（2）根据勾股定理逆定理，得出，根据正方体的性质，得出，即可得出结论；
（3）根据勾股定理逆定理，得出，根据正方体的性质，得出，即说明．
【详解】（1）解：根据勾股定理可得：
，
∴三条边中，有3条的长度是无理数，
故答案为：3．
（2）解：∵，
∴，
∵该几何体为正方体，
∴，
∴，
故答案为：．
（3）解：∵，
∴，
∵该几何体为正方体，
∴，
∴．
27．综合与实践
主题：折一个长方体盒子．

素材：如图（1）所示，一张长为，宽为的矩形硬纸板．
步骤：如图（2）所示，把矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个长方体无盖纸盒；
问题：小明设计了如图（3）所示的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形，右侧两个空白部分为矩形，问能否折出底面积为的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状完全相同）?如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由．
【答案】能，
【分析】设切去的正方形的边长为，则折成的方盒的底面为长，宽为的矩形，根据矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此问得解．
【详解】解:设切去的正方形的边长为，则折成的长方体盒子的底面长为，宽为的矩形.
由题意得：，
整理得： ，
解得，）（不合题意，舍去），
，
∴盒子的体积为，
答：能折出底面积为的有盖盒子，盒子的体积为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
28．综合实践．
【问题情境】某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动．他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒．
【操作探究】
（1）若准备制作一个无盖的正方体形纸盒，如图，图形 经过折叠能围成无盖正方体形纸盒？
（2）如图是小明的设计图，把它折成无盖正方体形纸盒后与“保”字相对的是哪个字？
（3）如图，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四个角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体形纸盒．
①请你在图中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕．
②若四个角各剪去了一个边长为的小正方形，求这个纸盒的底面积和容积分别为多少？
【答案】（1）C；（2）卫；（3）①见解析；②纸盒的底面积为，纸盒的容积为
【分析】（1）由平面图形的折叠及正方体的展开图解答本题；
（2）正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，据此作答；
（3）①根据题意，画出图形即可；
②根据正方体底面积、体积，即可解答．
【详解】解：（1）A．有田字，故A不能折叠成无盖正方体；
B．只有4个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体；
C．可以折叠成无盖正方体；
D．有6个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体．
故选C．
（2）正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，所以与“保”字相对的字是“卫”．
（3）①如图，
②当小正方形边长为时，
纸盒的底面积为，
纸盒的容积为
答：纸盒的底面积为，纸盒的容积为
【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体，每一个面都有唯一的一个对面的展开图才能折叠成正方体．还考查了列代数式，解答本题的关键是读懂题意．
29．【问题情境】
乐乐所在的数学实践小组准备制作一些无盖纸盒收纳班级讲台上的粉笔．
【操作探究】
(1)乐乐准备制作一个无盖的正方体形纸盒，图1中的哪些图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒？______（填序号）；
(2)图2是乐乐的设计图，把它折成无盖正方体形纸盒后与“祝”字相对的字是______；
(3)乐乐把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四个角各剪去一个边长为a cm（a